7.3: Подібні багатокутники та масштабні фактори

Подібні багатокутники

Подібні багатокутники - це два багатокутника з однаковою формою, але не однакового розміру. Подібні багатокутники мають відповідні кути, які є конгруентними, і відповідні сторони, які пропорційні.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Ці багатокутники не схожі:

Малюнок$\PageIndex{2}$

Масштабні фактори

Подумайте про подібні багатокутники як про збільшення або зменшення тієї ж форми. Символ\ sim\) використовується для представлення подібності. Конкретні типи трикутників, чотирикутників та багатокутників завжди будуть однаковими. Наприклад, всі рівносторонні трикутники схожі і всі квадрати схожі . Якщо два полігони схожі, ми знаємо, що довжини відповідних сторін пропорційні. У подібних багатокутниках відношення однієї сторони багатокутника до відповідної сторони іншого називається масштабним коефіцієнтом. Співвідношення всіх частин багатокутника (включаючи периметри, діагоналі, медіани, середні сегменти, висоти) таке ж, як і співвідношення сторін.

Що робити, якби вам сказали, що два п'ятикутника схожі, і вам дали довжини сторін кожного п'ятикутника. Як ви могли визначити масштабний коефіцієнт п'ятикутника #1 до п'ятикутника #2?

Приклад$\PageIndex{1}$

$ABCD$$UVWX$і нижче. Ці два прямокутника схожі?

Малюнок$\PageIndex{3}$

Рішення

Всі відповідні кути є конгруентними, оскільки фігури є прямокутниками.

Давайте подивимося, чи пропорційні сторони. $\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$і$\dfrac{18}{24}=\dfrac{3}{4}$. $\dfrac{2}{3}\neq \dfrac{3}{4}$, Тому сторони не в однаковій пропорції, а прямокутники не схожі.

Приклад$\PageIndex{2}$

$\Delta ABC\sim \Delta MNP$. Периметр$\Delta ABC$ становить 150,$AB=32$ а$MN=48$. Знайдіть периметр$\Delta MNP$.

Рішення

Від подібності висловлювання,$AB$ і$MN$ йдуть відповідні сторони. Коефіцієнт масштабування -$\dfrac{32}{48}=\dfrac{2}{3}$ або$\dfrac{3}{2}$. \ Delta ABC\) - це менший трикутник, тому периметр$\Delta MNP$ дорівнює$\dfrac{3}{2}(150)=225$.

Приклад$\PageIndex{3}$

Припустимо$\Delta ABC\sim \Delta JKL$. Виходячи з твердження подібності, які кути є конгруентними, а які сторони пропорційні?

Рішення

Так само, як і в заяві конгруентності, конгруентні кути вибудовуються всередині заяви подібності. Отже,$\angle A\cong \angle J$$\angle B\cong \angle K$, і\ кут C\ cong\ кут L\). Напишіть сторони в пропорції:$\dfrac{AB}{JK}=\dfrac{BC}{KL}=\dfrac{AC}{JL}$. Зверніть увагу, що пропорція може бути записана по-різному. Наприклад, також$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{JK}{KL}$ вірно.

Приклад$\PageIndex{4}$

$MNPQ \sim RSTU$. Які значення мають$x$,$y$ і$z$?

Малюнок$\PageIndex{4}$

Рішення

У подібності твердження$\angle M\cong \angle R$, так$z=115^{\circ}$. Для$x$ і$y$, встановіть пропорції.

$\dfrac{18}{30}=\dfrac{x}{25} \qquad \dfrac{18}{30}=\dfrac{15}{y}$

$450=30x \qquad 18y=450$

$x=15\qquad y=25$

Приклад$\PageIndex{5}$

$ABCD\sim AMNP$. Знайдіть масштабний коефіцієнт і довжину$BC$.

Малюнок$\PageIndex{5}$

Рішення

Вибудовуйте відповідні сторони,$AB$ і$AM=CD$, таким чином, коефіцієнт масштабу$\dfrac{30}{45}=\dfrac{2}{3}$ або$\dfrac{3}{2}$. Тому що$BC$ знаходиться в великому прямокутнику, ми помножимо 40 на$\dfrac{3}{2}$$\dfrac{3}{2}$ тому що більше 1. $BC=\dfrac{3}{2}(40)=60$.

Рецензія

Для питань 1-8 визначте, чи є наступні твердження вірними чи хибними.

1. Всі рівносторонні трикутники схожі.
2. Всі рівнобедрені трикутники схожі.
3. Всі прямокутники схожі.
4. Всі ромби схожі.
5. Всі квадрати схожі.
6. Всі конгруентні багатокутники схожі.
7. Всі подібні багатокутники є конгруентними.
8. Всі звичайні п'ятикутники схожі.
9. $\Delta BIG \sim \Delta HAT$. Перерахуйте конгруентні кути і пропорції для сторін.
10. Якщо$BI=9$ і$HA=15$, то знайдіть масштабний коефіцієнт.
11. Якщо$BG=21$, знайдіть$HT$.
12. Якщо$AT=45$, знайдіть$IG$.
13. Знайдіть периметр$\Delta BIG$ і$\Delta HAT$. Яке співвідношення периметрів?
14. Баскетбольний майданчик НБА - це прямокутник, який становить 94 футів на 50 футів. Баскетбольний майданчик середньої школи - це прямокутник, який становить 84 футів на 50 футів. Чи схожі два прямокутника?
15. Телевізори HD мають сторони в співвідношенні 16:9. Телевізори без HD мають сторони в співвідношенні 4:3. Чи еквівалентні ці два співвідношення?

Використовуйте картинку праворуч, щоб відповісти на питання 16-20.

Малюнок$\PageIndex{6}$

16. Знайти$m\angle E$ і$m\angle Q$.
17. $ABCDE\sim QLMNP$, знайти коефіцієнт масштабу.
18. Знайти до н.е.
19. Знайти компакт-диск.
20. Знайти NP.

Визначте, чи схожі наступні трикутники і чотирикутники. Якщо вони є, напишіть заяву подібності.

21. 

    Малюнок$\PageIndex{7}$

22. 

    Малюнок$\PageIndex{8}$

23. 

    Малюнок$\PageIndex{9}$

24. 

    Малюнок$\PageIndex{10}$

25. 

    Малюнок$\PageIndex{11}$

26. 

    Малюнок$\PageIndex{12}$

27. 

    Малюнок$\PageIndex{13}$

28. \(\Індекс сторінки малюнка {14}\)

29. 

    Малюнок$\PageIndex{15}$

30. 

    Малюнок$\PageIndex{16}$

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
подібні багатокутники	Два багатокутника з однаковою формою, але не однакового розміру. Відповідні кути подібних багатокутників конгруентні (точно такі ж) і відповідні сторони пропорційні (в однаковому співвідношенні). У подібних багатокутниках відношення однієї сторони багатокутника до відповідної сторони іншого називається масштабним коефіцієнтом.
Конгруентний	Конгруентні фігури ідентичні за розміром, формою і мірою.
Пропорція	Пропорція - це рівняння, яке показує два еквівалентних співвідношення.
Коефіцієнт масштабування	Масштабний коефіцієнт - це відношення масштабу до вихідного або фактичного виміру, написаного в найпростішій формі.
синус	Синус кута в прямокутному трикутнику - це величина, знайдена діленням довжини сторони, протилежної заданому куту, на довжину гіпотенузи.
Тригонометричні коефіцієнти	Співвідношення, які допомагають нам зрозуміти відносини між сторонами і кутами прямих трикутників.