7.2: Співвідношення та пропорції в аналогічних цифрах

Спростіть способи порівняння двох чисел.

Пропорції

Пропорція - це два співвідношення, які встановлюються рівними один одному. Зазвичай співвідношення в пропорціях пишуть у вигляді дробів. Прикладом пропорції є$\dfrac{2}{x}=510$. Щоб вирішити пропорцію, потрібно перехресне множення. Теорема про перехресне множення, яка дозволяє вирішувати пропорції за допомогою цього методу, стверджує, що if$a$$b$,$c$,, і$d$ є дійсними числами, з$b\neq 0$$d\neq 0$ і і якщо$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$, то$\dfrac{a}{d}=\dfrac{b}{c}$. Перехресне множення дозволяє позбутися від дробів у нашому рівнянні. Теорема про перехресне множення має кілька підтеорем, званих слідством.

Наслідок #1: Якщо$a$,$b$,$c$, і$d$ ненульові і$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$, то$\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$.

Перемикач$b$ і$c$ .

Наслідок #2: Якщо$a$,$b$,$c$, і$d$ ненульові і$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$, то$\dfrac{d}{b}=\dfrac{c}{a}$.

Перемикач$a$ і$d$.

Наслідок #3: Якщо$a$,$b$$c$, і$d$ є ненульовими і$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$\), то$\dfrac{b}{a}=\dfrac{c}{d}$.

Переверніть кожне співвідношення догори дном.

Слідство #4: Якщо$a$,$b$$c$, і$d$ є ненульовими і\ dfrac {a} {b} =\ dfrac {c} {d}\), то$\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}$.

Наслідок #5: Якщо$a$,$b$,$c$, і$d$ ненульові і$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$, то$\dfrac{a−b}{b}=\dfrac{c−d}{d}$.

Що робити, якщо вам сказали, що масштабна модель пітона знаходиться в співвідношенні 1:24? Якщо модель вимірює довжину 0, 75 футів, як довго справжній пітон?

Приклад$\PageIndex{1}$

На малюнку,$\dfrac{AB}{XY}=\dfrac{BC}{YZ}=\dfrac{AC}{XZ}$.

Знайдіть заходи$AC$ і$XY$.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Рішення

Підключіть довжини сторін, які ми знаємо.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Приклад$\PageIndex{2}$

На малюнку,$\dfrac{AB}{BE}=\dfrac{AC}{CD}$. Знайти$BE$.

Малюнок$\PageIndex{3}$

Рішення

Підставляємо в довжину відомих нам сторін.

$\begin{aligned} \dfrac{12}{BE}=\dfrac{20}{25} \rightarrow 20(BE)&=12(25)\\ BE&=15\end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{3}$

Вирішіть пропорції. Пам'ятайте, щоб вирішити пропорцію, потрібно перехресне множення.

1. $\dfrac{4}{5}=\dfrac{x}{30}$
2. $\dfrac{y+1}{8}=\dfrac{5}{20}$
3. $\dfrac{6}{5}=\dfrac{2x+4}{x−2}$

Рішення

1. 

   Малюнок$\PageIndex{4}$

2. 

   Малюнок$\PageIndex{5}$

3. 

   Малюнок$\PageIndex{6}$

Приклад$\PageIndex{4}$

Ваші батьки мають креслення архітектора свого будинку. На папері розміри будинку становлять 36 в на 30 дюймів. Якщо коротша довжина будинку насправді 50 футів, яка довша довжина?

Рішення

Щоб вирішити, спочатку налаштуйте пропорцію. Якщо коротша довжина становить 50 футів, то вона вирівнюється з 30 дюймів, тим коротша довжина паперу розмірів.

$\begin{aligned}\dfrac{30}{3}6=\dfrac{50}{x} \rightarrow 30x&=1800 \\ x&=60 \qquad \text{The longer length is 60 feet.}\end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{5}$

Припустимо, у нас є пропорція$\dfrac{2}{5}=\dfrac{14}{35}$. Напишіть три справжні пропорції, які слідують.

Рішення

Перш за все, ми знаємо, що це справжня пропорція, тому що ви б$\dfrac{2}{5}$ помножили на$\dfrac{7}{7}$, щоб отримати$\dfrac{14}{35}$. Використовуючи перші три слідства:

1. $\dfrac{2}{14}=\dfrac{5}{35}$
2. $\dfrac{35}{5}=\dfrac{14}{2}$
3. $\dfrac{5}{2}=\dfrac{35}{14}$

Рецензія

Вирішіть кожну пропорцію.

1. $\dfrac{x}{10}=\dfrac{42}{35}$
2. $\dfrac{x}{x−2}=\dfrac{5}{7}$
3. $\dfrac{6}{9}=\dfrac{y}{24}$
4. $\dfrac{x}{9}=\dfrac{16}{x}$
5. $\dfrac{y−3}{8}=\dfrac{y+6}{5}$
6. $\dfrac{20}{z+5}=\dfrac{16}{7}$
7. Шона проїхала 245 миль і використовувала 8.2 галонів газу. При такій же швидкості, якщо вона проїхала 416 миль, скільки галонів газу їй знадобиться? Округлити до найближчої десятої.
8. Президент, віце-президент та фінансовий директор компанії поділяють прибуток у співвідношенні 4:3: 2. Якщо компанія зробила $1,800,000 минулого року, скільки отримала кожна людина?

Враховуючи істинну пропорцію$d$,$\dfrac{10}{6}=\dfrac{15}{d}=\dfrac{x}{y}$ і$x$, і$y$ є ненульовими, визначте, чи відповідають і такі пропорції.

9. $\dfrac{10}{y}=\dfrac{x}{6}$
10. $\dfrac{15}{10}=\dfrac{d}{6}$
11. $\dfrac{6+10}{10}=\dfrac{y+x}{x}$
12. $\dfrac{15}{x}=\dfrac{y}{d}$

З питань 13-16,$\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{BC}{CD}$ і$\dfrac{ED}{AD}=\dfrac{CD}{DB}=\dfrac{EC}{AB}$.

Малюнок$\PageIndex{7}$

13. Знайти БД.
14. Знайти ЕК.
15. Знайти CB.
16. Знайти AD.

Ресурси

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 7.2.

Лексика

Термін	Визначення
наслідок	Теорема, яка випливає безпосередньо з іншої теореми.
пропорція	Два співвідношення, які встановлюються рівними один одному.
співвідношення	Спосіб порівняння двох чисел. Співвідношення можна записати трьома способами:\ dfrac {a} {b}, a:b і a до b.
Крос-продукти	Щоб спростити пропорцію за допомогою перехресних виробів, помножте діагоналі кожного співвідношення.
Теорема про перехресне множення	Теорема про перехресне множення стверджує$a$, що якщо$b$,$c$ і$d$ є дійсними числами, з$b\neq 0$$d\neq 0$ і і якщо$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$, то$\dfrac{a}{d}=\dfrac{b}{c}$.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Співвідношення

Види діяльності: Форми коефіцієнтів Дискусійні питання

Навчальні посібники: Співвідношення та пропорції навчальний посібник

Практика: Співвідношення і пропорції в аналогічних цифрах

Реальний світ: У ляльковому будинку