6.20: Теорема про дотичну секантну

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 6.19: Теорема про перетинаються секанти
- 6.21: Кола в координатній площині

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Добуток зовнішнього відрізка і цілого секанса дорівнює квадрату дотичної до тієї ж точки.

Відрізки від секансів і дотичних

Якщо дотична і січна зустрічаються в загальній точці поза колом, створені сегменти мають аналогічне відношення до двох січних променів.

Теорема дотичної секантного сегмента: Якщо дотична і січна витягуються із загальної точки поза колом (а сегменти позначені як на малюнку нижче), то $a^2=b(b+c)$ .

Ф-Д_КДА 77Ф0Ф455 ЕД додати 01497F019B2B39C5E95AE1CF9fd36164785439+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{1}$

Що робити, якщо вам дали коло з дотичною і січною, які перетинаються за межами кола? Як можна використовувати довжину деяких відрізків, утворених їх перетином, для визначення довжин невідомих відрізків?

Приклад $\PageIndex{1}$

Знайти $x$ . Спрощуйте будь-які радикали.

F-D_13A0E460AD2FE519 ЕЦ1А021С6 ФК8 А2ДФ 3Ф8А5ЕБ1Б9682 Фад08ЕБЕ84+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{2}$

Рішення

Скористайтеся теоремою дотичної секантного відрізка.

$\begin{aligned} 18^2&=10(10+x) \\ 324&=100+10x \\ 224&=10x \\ x&=22.4\end{aligned}$

Приклад $\PageIndex{2}$

Знайти $x$ . Спрощуйте будь-які радикали.

F-D_0AE0 ЕЦВЕ 660D16 БББ4 БББ8 ЕДД 3С5 CFB652D8E 7607586C46A8BA3+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{3}$

Рішення

Скористайтеся теоремою дотичної секантного відрізка.

$\begin{aligned} x^2&=16(16+25) \\ x^2&=656 \\ x&=4\sqrt{41}\end{aligned}$

Приклад $\PageIndex{3}$

Знайти довжину відсутнього відрізка.

F-д_6ф6д8c867a669E69F1F2A ADC 71 Деб091Ед 3БК 974039E7D292C9+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{4}$

Рішення

Скористайтеся теоремою дотичної секантного відрізка.

$\begin{aligned} x^2&=4(4+12) \\ x^2&=4\cdot 16=64 \\ x&=8\end{aligned}$

Приклад $\PageIndex{4}$

Заповніть бланк, а потім вирішіть для відсутнього сегмента.

F-д_ФБФ Б 192Б288Е2ЕФ96697А491914793398Ф4С77Б4А4А4С0192E07EC917+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{5}$

Рішення

$\text{______}=\text{______}(4+5)$

$\begin{aligned} x^2&=4(4+5) \\ x^2&=36 \\ x&=6\end{aligned}$

Приклад $\PageIndex{5}$

Знайти значення відсутнього відрізка.

F-д_91f8c15f53238269ad4 ББФ Ф 56E089CA36e449cd099cd099a7729227348E7+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{6}$

Рішення

Скористайтеся теоремою дотичної секантного відрізка.

$\begin{aligned} 20^2&=y(y+30) \\ 400&=y^2+30y \\ 0&=y^2+30y−400 \\ 0&=(y+40)(y−10) \\ y&=\xcancel{−40},10 \end{aligned}$

Рецензія

Заповніть пропуски для кожної задачі нижче, а потім вирішіть для відсутнього відрізка.

Малюнок $\PageIndex{7}$

$10^2=x(\text{______}+\text{______})$

Знайдіть $x$ на кожній схемі нижче. Спрощуйте будь-які радикали.

Малюнок $\PageIndex{8}$
Малюнок $\PageIndex{9}$
Малюнок $\PageIndex{10}$
Опишіть і виправте помилку при знаходженні $y$ .

Малюнок $\PageIndex{11}$

$\begin{aligned} 10\cdot 10&=y\cdot 15y \\ 100&=15y^2 \\ \dfrac{20}{3}&=y^2 \\ \dfrac{2\sqrt{15}}{3}&=y \color{red} \leftarrow \text{y is \underline{not} correct}\end{aligned}$

Вирішити для невідомої змінної.

Малюнок $\PageIndex{12}$
Малюнок $\PageIndex{13}$
Малюнок $\PageIndex{14}$
Малюнок $\PageIndex{15}$
Малюнок $\PageIndex{16}$
Малюнок $\PageIndex{17}$
Малюнок $\PageIndex{18}$
Малюнок $\PageIndex{19}$
Малюнок $\PageIndex{20}$
Малюнок $\PageIndex{21}$

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 9.11.

Лексика

Термін	Визначення
центральний кут	Кут, утворений двома радіусами і вершина якого знаходиться в центрі кола.
акорд	Відрізок лінії, кінцеві точки якого знаходяться на колі.
коло	Безліч всіх точок, які знаходяться на однаковій відстані від певної точки, називається *центром*.
діаметр	Хорда, яка проходить через центр кола. Довжина діаметра в два рази перевищує довжину радіуса.
вписаний кут	Кут з його вершиною на колі і сторони якого є хордами.
перехоплена дуга	Дуга, яка знаходиться всередині вписаного кута і кінцеві точки якої знаходяться на куті.
точка дотику	Точка, де дотична лінія стосується кола.
радіус	Відстань від центру до зовнішнього обідка кола.
Секантний	Секанс кута в прямокутному трикутнику - це величина, знайдена діленням довжини гіпотенузи на довжину сторони, прилеглої до заданого кута. Відношення секанс - це зворотне косинусного відношення.
Теорема про дотичні січні відрізки	Якщо дотична і січна намальовані із загальної точки за межами кола (а відрізки позначені як на малюнку нижче), то $a^2 = b(b+c)$ .

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Діяльність: Сегменти з секансів і дотичних Питання обговорення

Навчальні посібники: Кола: Сегменти та довжини навчальний посібник

Практика: Теорема про дотичну секантну