6.19: Теорема про перетинаються секанти

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 6.18: Дотичні лінії
- 6.20: Теорема про дотичну секантну

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Довести і використовувати теореми, що включають лінії, які перетинають коло в двох точках.

Сегменти з секантів

Коли дві секанти перетинаються за межами кола, коло ділить секанти на відрізки, пропорційні один одному.

Теорема про два сегменти секантів: Якщо дві секанти витягуються із загальної точки поза колом, а відрізки позначені, як показано нижче, то $a(a+b)=c(c+d)$ .

Ф-д_5С8Е2ДД1С6С53923Б1Е1Ф49С68518 ФФФ 5Д554FF6A1Б638Б87ФД9Д+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{1}$

Що робити, якщо вам дали коло з двома секантами, які перетинаються за межами кола? Як можна використовувати довжину деяких відрізків, утворених їх перетином, для визначення довжин невідомих відрізків?

Приклад $\PageIndex{1}$

Знайти $x$ . Спрощуйте будь-які радикали.

F-д_БКСД 0Е619Е63048D8 ЕФБ925965А462ДК138С2С2 Бад 9540445D26 ADB+зображення_крихіткий+зображення_крихітка_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{2}$

Рішення

Використовуйте теорему про два сегменти секантів.

$\begin{aligned} 8(8+x)&=6(6+18) \\ 64+8x&=144 \\ 8x&=80 \\ x&=10\end{aligned}$

Приклад $\PageIndex{2}$

Знайти $x$ . Спрощуйте будь-які радикали.

Ф-Д_ААД 0БФ ФС0Ф 2FF766E0CF443 БКФ 67А 463 ЕЦФ9А01074FF49D6DCA2FD+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{3}$

Рішення

Використовуйте теорему про два сегменти секантів.

$\begin{aligned} 15(15+27)&=x\cdot45 \\ 630&=45x \\ x&=14 \end{aligned}$

Приклад $\PageIndex{3}$

Знайдіть значення $x$ .

Ф-Д_45БФ 07361ФБФ 28Б6929Б9Б5Ф41Е945Е3АФ9Б2 БК ЕДК 19081Е5Ф949+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{4}$

Рішення

Використовуйте теорему про два сегменти секантів.

$\begin{aligned}18\cdot(18+x)&=16\cdot(16+24) \\ 324+18x&=256+384 \\ 18x&=316 \\ x&=17\dfrac{5}{9}\end{aligned}$

Приклад $\PageIndex{4}$

Знайдіть значення $x$ .

F-D_D81721Д7А46АА7БД АФ 75388 подача 5Б1Ф2 ББ2ФФ 46А7А7А7АА24+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{5}$

Рішення

Використовуйте теорему про два сегменти секантів.

$\begin{aligned}x\cdot(x+x)&=9\cdot 32 \\ 2x^2&=288 \\ x^2&=144 \\ x&=12,\: x\neq −12 (\text{length is not negative})\end{aligned}$

Приклад $\PageIndex{5}$

True або False: Дві секанти завжди перетинаються за межами кола.

Рішення

Помилкові. Якщо дві секанти паралельні, вони ніколи не перетинаються. Також можливо, щоб дві секанти перетиналися всередині кола.

Рецензія

Заповніть пропуски для кожної задачі нижче. Потім вирішуйте для відсутнього відрізка.

Малюнок $\PageIndex{6}$

$3(\text{______}+\text{______})=2(2+7)$

Малюнок $\PageIndex{7}$

$x\cdot\text{______}=8(\text{______}+\text{______})$

Знайдіть x на кожній діаграмі нижче. Спрощуйте будь-які радикали.

Малюнок $\PageIndex{8}$
Малюнок $\PageIndex{9}$
Малюнок $\PageIndex{10}$

Заповніть пробіли доказу теореми про відрізки двох секантів.

Малюнок $\PageIndex{11}$

Дано: Секанти $\overline{PR}$ і $\overline{RT}$

Доведіть: $a(a+b)=c(c+d)$

*Заява*	*Причина*
1. Секанти $\overline{PR}$ і $\overline{RT}$ з відрізками $a$ $b$ , $c$ ,, і $d$ .	1. Враховується
2. $\angle R\cong \angle R$	2. Рефлексивний PoC
3. $\angle QPS\cong \angle STQ$	3. Теорема про конгруентні вписані кути
4. $\Delta RPS\sim \Delta RTQ$	4. Постулат подібності AA
5. $ac+d=ca+b$	5. Відповідні частини подібних трикутників пропорційні
6. $a(a+b)=c(c+d)$	6. перехресне множення

Вирішити для невідомої змінної.

Малюнок $\PageIndex{12}$
Малюнок $\PageIndex{13}$
Малюнок $\PageIndex{14}$
Малюнок $\PageIndex{15}$
Малюнок $\PageIndex{16}$
Малюнок $\PageIndex{17}$
Малюнок $\PageIndex{18}$
Малюнок $\PageIndex{19}$
Малюнок $\PageIndex{12}$

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 9.10.

Лексика

Термін	Визначення
центральний кут	Кут, утворений двома радіусами і вершина якого знаходиться в центрі кола.
акорд	Відрізок лінії, кінцеві точки якого знаходяться на колі.
коло	Безліч всіх точок, які знаходяться на однаковій відстані від певної точки, називається *центром*.
діаметр	Хорда, яка проходить через центр кола. Довжина діаметра в два рази перевищує довжину радіуса.
Вписаний кут	Вписаний кут - це кут з його вершиною на колі. Міра вписаного кута - половина міри його перехопленої дуги.
перехоплена дуга	Дуга, яка знаходиться всередині вписаного кута і кінцеві точки якої знаходяться на куті.
точка дотику	Точка, де дотична лінія стосується кола.
радіус	Відстань від центру до зовнішнього обідка кола.
Постулат подібності AA	Якщо два кути в одному трикутнику конгруентні двом кутам в іншому трикутнику, то два трикутника схожі.
Конгруентний	Конгруентні фігури ідентичні за розміром, формою і мірою.
Рефлексивне властивість конгруентності	$\overline{AB}\cong \overline{AB}$ або $\angle B\cong \angle B$
Секантний	Секанс кута в прямокутному трикутнику - це величина, знайдена діленням довжини гіпотенузи на довжину сторони, прилеглої до заданого кута. Відношення секанс - це зворотне косинусного відношення.
січна лінія	Січна лінія - це лінія, яка з'єднує дві точки на кривій.
дотична лінія	Дотична лінія - це лінія, яка «просто торкається» кривої в одній точці і ніякої іншої.
Теорема про відрізки двох секантів	Теорема про два відрізки секантів стверджує, що якщо ви маєте точку поза колом і намалюєте дві січні лінії від неї, існує зв'язок між утвореними відрізками лінії.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Сегменти з принципів секантів - Основні

Діяльність: Сегменти з питань обговорення секантів

Навчальні посібники: Кола: Сегменти та довжини навчальний посібник

Практика: Теорема про перетинаються секанти