6.19: Теорема про перетинаються секанти

Довести і використовувати теореми, що включають лінії, які перетинають коло в двох точках.

Сегменти з секантів

Коли дві секанти перетинаються за межами кола, коло ділить секанти на відрізки, пропорційні один одному.

Теорема про два сегменти секантів: Якщо дві секанти витягуються із загальної точки поза колом, а відрізки позначені, як показано нижче, то$a(a+b)=c(c+d)$.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Що робити, якщо вам дали коло з двома секантами, які перетинаються за межами кола? Як можна використовувати довжину деяких відрізків, утворених їх перетином, для визначення довжин невідомих відрізків?

Приклад$\PageIndex{1}$

Знайти$x$. Спрощуйте будь-які радикали.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Рішення

Використовуйте теорему про два сегменти секантів.

$\begin{aligned} 8(8+x)&=6(6+18) \\ 64+8x&=144 \\ 8x&=80 \\ x&=10\end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайти$x$. Спрощуйте будь-які радикали.

Малюнок$\PageIndex{3}$

Рішення

Використовуйте теорему про два сегменти секантів.

$\begin{aligned} 15(15+27)&=x\cdot45 \\ 630&=45x \\ x&=14 \end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайдіть значення$x$.

Малюнок$\PageIndex{4}$

Рішення

Використовуйте теорему про два сегменти секантів.

$\begin{aligned}18\cdot(18+x)&=16\cdot(16+24) \\ 324+18x&=256+384 \\ 18x&=316 \\ x&=17\dfrac{5}{9}\end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{4}$

Знайдіть значення$x$.

Малюнок$\PageIndex{5}$

Рішення

Використовуйте теорему про два сегменти секантів.

$\begin{aligned}x\cdot(x+x)&=9\cdot 32 \\ 2x^2&=288 \\ x^2&=144 \\ x&=12,\: x\neq −12 (\text{length is not negative})\end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{5}$

True або False: Дві секанти завжди перетинаються за межами кола.

Рішення

Помилкові. Якщо дві секанти паралельні, вони ніколи не перетинаються. Також можливо, щоб дві секанти перетиналися всередині кола.

Рецензія

Заповніть пропуски для кожної задачі нижче. Потім вирішуйте для відсутнього відрізка.

1. 

   Малюнок$\PageIndex{6}$

$3(\text{______}+\text{______})=2(2+7)$

2. 

   Малюнок$\PageIndex{7}$

$x\cdot\text{______}=8(\text{______}+\text{______})$

Знайдіть x на кожній діаграмі нижче. Спрощуйте будь-які радикали.

3. 

   Малюнок$\PageIndex{8}$

4. 

   Малюнок$\PageIndex{9}$

5. 

   Малюнок$\PageIndex{10}$

6. Заповніть пробіли доказу теореми про відрізки двох секантів.

   

   Малюнок$\PageIndex{11}$

Дано: Секанти$\overline{PR}$ і$\overline{RT}$

Доведіть:$a(a+b)=c(c+d)$

Заява	Причина
1. Секанти$\overline{PR}$ і$\overline{RT}$ з відрізками$a$$b$,$c$,, і$d$.	1. Враховується
2. $\angle R\cong \angle R$	2. Рефлексивний PoC
3. $\angle QPS\cong \angle STQ$	3. Теорема про конгруентні вписані кути
4. $\Delta RPS\sim \Delta RTQ$	4. Постулат подібності AA
5. $ac+d=ca+b$	5. Відповідні частини подібних трикутників пропорційні
6. $a(a+b)=c(c+d)$	6. перехресне множення

Вирішити для невідомої змінної.

7. 

   Малюнок$\PageIndex{12}$

8. 

   Малюнок$\PageIndex{13}$

9. 

   Малюнок$\PageIndex{14}$

10. 

    Малюнок$\PageIndex{15}$

11. 

    Малюнок$\PageIndex{16}$

12. 

    Малюнок$\PageIndex{17}$

13. 

    Малюнок$\PageIndex{18}$

14. 

    Малюнок$\PageIndex{19}$

15. 

    Малюнок$\PageIndex{12}$

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 9.10.

Лексика

Термін	Визначення
центральний кут	Кут, утворений двома радіусами і вершина якого знаходиться в центрі кола.
акорд	Відрізок лінії, кінцеві точки якого знаходяться на колі.
коло	Безліч всіх точок, які знаходяться на однаковій відстані від певної точки, називається центром.
діаметр	Хорда, яка проходить через центр кола. Довжина діаметра в два рази перевищує довжину радіуса.
Вписаний кут	Вписаний кут - це кут з його вершиною на колі. Міра вписаного кута - половина міри його перехопленої дуги.
перехоплена дуга	Дуга, яка знаходиться всередині вписаного кута і кінцеві точки якої знаходяться на куті.
точка дотику	Точка, де дотична лінія стосується кола.
радіус	Відстань від центру до зовнішнього обідка кола.
Постулат подібності AA	Якщо два кути в одному трикутнику конгруентні двом кутам в іншому трикутнику, то два трикутника схожі.
Конгруентний	Конгруентні фігури ідентичні за розміром, формою і мірою.
Рефлексивне властивість конгруентності	$\overline{AB}\cong \overline{AB}$або$\angle B\cong \angle B$
Секантний	Секанс кута в прямокутному трикутнику - це величина, знайдена діленням довжини гіпотенузи на довжину сторони, прилеглої до заданого кута. Відношення секанс - це зворотне косинусного відношення.
січна лінія	Січна лінія - це лінія, яка з'єднує дві точки на кривій.
дотична лінія	Дотична лінія - це лінія, яка «просто торкається» кривої в одній точці і ніякої іншої.
Теорема про відрізки двох секантів	Теорема про два відрізки секантів стверджує, що якщо ви маєте точку поза колом і намалюєте дві січні лінії від неї, існує зв'язок між утвореними відрізками лінії.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Сегменти з принципів секантів - Основні

Діяльність: Сегменти з питань обговорення секантів

Навчальні посібники: Кола: Сегменти та довжини навчальний посібник

Практика: Теорема про перетинаються секанти