6.21: Кола в координатній площині
- Page ID
- 54450
Графік кола. Використовуйте\((h, k)\) як центр, так і точку на колі. Формула:\((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\)\((h, k)\) де центр і\(r\) радіус.
Нагадаємо, що коло - це сукупність всіх точок на площині, які знаходяться на однаковій відстані від центру. Це визначення може бути використано для пошуку рівняння кола в координатній площині.
Почнемо з кола по центру\((0, 0)\). Якщо\((x,y)\) точка на колі, то відстань від центру до цієї точки буде радіусом, r. x - відстань по горизонталі, а y - відстань по вертикалі. Це утворює прямокутний трикутник. З теореми Піфагора рівняння кола, зосередженого на початку, є\(x^2+y^2=r^2\).
Центр не завжди повинен бути включеним\((0, 0)\). Якщо його немає, то маркуємо центр\((h,k)\). Потім ми використаємо формулу відстані, щоб знайти довжину радіуса.
\(r=\sqrt{(x−h)^2+(y−k)^2}\)
Якщо ви квадратуєте обидві сторони цього рівняння, то у вас буде стандартне рівняння кола. Стандартне рівняння кола з центром\((h,k)\) і радіусом\(r\) є\(r^2=(x−h)^2+(y−k)^2\).
Що робити, якщо вам дали довжину радіуса кола і координати його центру? Як ви могли записати рівняння кола в координатній площині?
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Знайдіть центр і радіус наступного кола.
\((x+2)^2+(y−5)^2=49\)
Рішення
Перепишіть рівняння як\((x−(−2))^2+(y−5)^2=7^2\). Центром є\((-2, 5)\) і\(r=7\).
Майте на увазі, що через мінусових знаків у формулі координати центру мають протилежні ознаки того, якими вони можуть спочатку здаватися.
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Знайдіть центр і радіус наступного кола.
Знайдіть рівняння кола з центром\((4, -1)\) і яке проходить\((-1, 2)\).
Рішення
Спочатку підключіть до центру стандартне рівняння.
\(\begin{aligned} (x−4)^2+(y−(−1))^2&=r^2 \\ (x−4)^2+(y+1)^2&=r^2\end{aligned}\)
Тепер підключіть (-1, 2) для\(x\)\(y\) і вирішуйте для\(r\).
\(\begin{aligned} (−1−4)^2+(2+1)^2=r^2 \\ (−5)^2+(3)^2&=r^2 \\ 25+9&=r^2 \\ 34&=r^2\end{aligned}\)
Підставляючи в\(34\) for\(r^2\), рівняння є\((x−4)^2+(y+1)^2=34\).
Приклад\(\PageIndex{3}\)
Графік\(x^2+y^2=9\).
Рішення
Центр - це\((0, 0)\). Його радіус - квадратний корінь з 9, або 3. Помістіть центр, побудуйте точки, які є 3 одиницями вправо, вліво, вгору і вниз від центру, а потім з'єднайте ці чотири точки, щоб сформувати коло.
Приклад\(\PageIndex{4\)
Знайдіть рівняння кола нижче.
Рішення
Спочатку знайдіть центр. Намалюйте горизонтальний і вертикальний діаметри, щоб побачити, де вони перетинаються.
З цього ми бачимо, що центр є\((-3, 3)\). Якщо порахувати одиниці від центру до кола на будь-якому з цих діаметрів, знайдемо\(r=6\). Включивши це в рівняння кола, отримуємо:\((x−(−3))^2+(y−3)^2=6^2\) або\((x+3)^2+(y−3)^2=36\).
Приклад\(\PageIndex{5}\)
Визначте, чи є наступні пункти\((x+1)^2+(y−5)^2=50\).
Рішення
Підключіть точки для x і y в\((x+1)^2+(y−5)^2=50\).
- \((8, -3)\)
\(\begin{aligned} (8+1)^2+(−3−5)^2&=50 \\ 9^2+(−8)^2&=50 \\ 81+64 &\neq 50\end{aligned}\)
\((8, -3)\)не на колі
- \((-2, -2)\)
\(\begin{aligned} (−2+1)^2+(−2−5)^2&=50 \\ (−1)^2+(−7)^2&=50 \\ 1+49&=50\end{aligned}\)
\( (-2, -2)\)знаходиться на колі
Рецензія
Знайдіть центр і радіус кожного кола. Потім графуйте кожне коло.
- \((x+5)^2+(y−3)^2=16\)
- \ (х ^ 2+ (y+8) ^2=4
- \ (x−7) ^2+ (y−10) ^2=20
- \ (x+2) ^2+y^2=8
Знайдіть рівняння кіл нижче.
- Чи є (-7, 3) на\((x+1)^2+(y−6)^2=45\)?
- Чи є (9, -1) на\((x−2)^2+(y−2)^2=60\)?
- Чи є (-4, -3) на\((x+3)^2+(y−3)^2=37\)?
- Чи є (5, -3) на\((x+1)^2+(y−6)^2=45\)?
Знайдіть рівняння кола з заданим центром і точкою на колі.
- центр: (2, 3), точка: (-4, -1)
- центр: (10, 0), точка: (5, 2)
- центр: (-3, 8), точка: (7, -2)
- центр: (6, -6), точка: (-9, 4)
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 9.12.
Лексика
Термін | Визначення |
---|---|
коло | Безліч всіх точок, які знаходяться на однаковій відстані від певної точки, називається центром. |
радіус | Відстань від центру до зовнішнього обідка кола. |
Формула відстані | Відстань між двома точками\((x_1, y_1)\) і\((x_2, y_2)\) може бути визначено як\(d=\sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2}\). |
Походження | Походження - точка перетину осей x і y на декартовій площині. Координати початку координат є (0, 0). |
Додаткові ресурси
Інтерактивний елемент
Відео: Принципи графічних кіл - Основні
Види діяльності: Кола в координатній площині Дискусійні питання
Навчальні посібники: властивості кола навчальний посібник
Практика: Кола в координатній площині
Реальний світ: Геометрія GPS