Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.21: Кола в координатній площині

  • Page ID
    54450
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Графік кола. Використовуйте\((h, k)\) як центр, так і точку на колі. Формула:\((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\)\((h, k)\) де центр і\(r\) радіус.

    Нагадаємо, що коло - це сукупність всіх точок на площині, які знаходяться на однаковій відстані від центру. Це визначення може бути використано для пошуку рівняння кола в координатній площині.

    F-д_887 да 444С39Е59С45д97А9Ф7Д9А6Д2475Д4Б4Д27де5А07д+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Почнемо з кола по центру\((0, 0)\). Якщо\((x,y)\) точка на колі, то відстань від центру до цієї точки буде радіусом, r. x - відстань по горизонталі, а y - відстань по вертикалі. Це утворює прямокутний трикутник. З теореми Піфагора рівняння кола, зосередженого на початку, є\(x^2+y^2=r^2\).

    Центр не завжди повинен бути включеним\((0, 0)\). Якщо його немає, то маркуємо центр\((h,k)\). Потім ми використаємо формулу відстані, щоб знайти довжину радіуса.

    Ф-д_А2ДК 1936453 АБ 0Б1ФК 6БК ФЦ35КБС2Б64А1663307Б59307А4ЕФФ17А7+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    \(r=\sqrt{(x−h)^2+(y−k)^2}\)

    Якщо ви квадратуєте обидві сторони цього рівняння, то у вас буде стандартне рівняння кола. Стандартне рівняння кола з центром\((h,k)\) і радіусом\(r\) є\(r^2=(x−h)^2+(y−k)^2\).

    Що робити, якщо вам дали довжину радіуса кола і координати його центру? Як ви могли записати рівняння кола в координатній площині?

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Знайдіть центр і радіус наступного кола.

    \((x+2)^2+(y−5)^2=49\)

    Рішення

    Перепишіть рівняння як\((x−(−2))^2+(y−5)^2=7^2\). Центром є\((-2, 5)\) і\(r=7\).

    Майте на увазі, що через мінусових знаків у формулі координати центру мають протилежні ознаки того, якими вони можуть спочатку здаватися.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Знайдіть центр і радіус наступного кола.

    Знайдіть рівняння кола з центром\((4, -1)\) і яке проходить\((-1, 2)\).

    Рішення

    Спочатку підключіть до центру стандартне рівняння.

    \(\begin{aligned} (x−4)^2+(y−(−1))^2&=r^2 \\ (x−4)^2+(y+1)^2&=r^2\end{aligned}\)

    Тепер підключіть (-1, 2) для\(x\)\(y\) і вирішуйте для\(r\).

    \(\begin{aligned} (−1−4)^2+(2+1)^2=r^2 \\ (−5)^2+(3)^2&=r^2 \\ 25+9&=r^2 \\ 34&=r^2\end{aligned}\)

    Підставляючи в\(34\) for\(r^2\), рівняння є\((x−4)^2+(y+1)^2=34\).

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Графік\(x^2+y^2=9\).

    Рішення

    Центр - це\((0, 0)\). Його радіус - квадратний корінь з 9, або 3. Помістіть центр, побудуйте точки, які є 3 одиницями вправо, вліво, вгору і вниз від центру, а потім з'єднайте ці чотири точки, щоб сформувати коло.

    F-D_51Е70АЕ 80БК 74863 ДЭ7Б8627189Е 0234С3Д 0ФБ 4194296ДК2ЕЕ49Б+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Приклад\(\PageIndex{4\)

    Знайдіть рівняння кола нижче.

    F-D_8992 ДК 6Е609Б09 ФЦ1С0БК 95ЕЦФ 4 кадр 58Ф43С8393Е485ДБ Б 8ДБ910+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    Рішення

    Спочатку знайдіть центр. Намалюйте горизонтальний і вертикальний діаметри, щоб побачити, де вони перетинаються.

    F-D_87D22C 3ДБ7Ф19С42Д40Б41Е60Д ФЕБ 372Ф1230 Додати DD5AC 3DCE5B9CD1C7+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{5}\)

    З цього ми бачимо, що центр є\((-3, 3)\). Якщо порахувати одиниці від центру до кола на будь-якому з цих діаметрів, знайдемо\(r=6\). Включивши це в рівняння кола, отримуємо:\((x−(−3))^2+(y−3)^2=6^2\) або\((x+3)^2+(y−3)^2=36\).

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Визначте, чи є наступні пункти\((x+1)^2+(y−5)^2=50\).

    Рішення

    Підключіть точки для x і y в\((x+1)^2+(y−5)^2=50\).

    1. \((8, -3)\)

    \(\begin{aligned} (8+1)^2+(−3−5)^2&=50 \\ 9^2+(−8)^2&=50 \\ 81+64 &\neq 50\end{aligned}\)

    \((8, -3)\)не на колі

    1. \((-2, -2)\)

    \(\begin{aligned} (−2+1)^2+(−2−5)^2&=50 \\ (−1)^2+(−7)^2&=50 \\ 1+49&=50\end{aligned}\)

    \( (-2, -2)\)знаходиться на колі

    Рецензія

    Знайдіть центр і радіус кожного кола. Потім графуйте кожне коло.

    1. \((x+5)^2+(y−3)^2=16\)
    2. \ (х ^ 2+ (y+8) ^2=4
    3. \ (x−7) ^2+ (y−10) ^2=20
    4. \ (x+2) ^2+y^2=8

    Знайдіть рівняння кіл нижче.

    1. F-D_16D5A0Б3325 БББ2802 ДБК 9ФА118кд4С22059Е3А9Ф97647C7ed08BA6FD+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{6}\)
    2. F-D_91874 АД 62 Деб 56CF5DE3A 3А229 CAEC161C2C47AE4DE8347E3821BA0+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{7}\)
    3. F-д_5575c301f6d1fe43a5e82233d84c8fb6cd73281da9ec880CA69b5FF6+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{8}\)
    4. F-D_4B66D6A5D2E17861CB2A0A2477d4890e635c88E47F9CDF6BBE501АЦ+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{9}\)
    5. Чи є (-7, 3) на\((x+1)^2+(y−6)^2=45\)?
    6. Чи є (9, -1) на\((x−2)^2+(y−2)^2=60\)?
    7. Чи є (-4, -3) на\((x+3)^2+(y−3)^2=37\)?
    8. Чи є (5, -3) на\((x+1)^2+(y−6)^2=45\)?

    Знайдіть рівняння кола з заданим центром і точкою на колі.

    1. центр: (2, 3), точка: (-4, -1)
    2. центр: (10, 0), точка: (5, 2)
    3. центр: (-3, 8), точка: (7, -2)
    4. центр: (6, -6), точка: (-9, 4)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 9.12.

    Лексика

    Термін Визначення
    коло Безліч всіх точок, які знаходяться на однаковій відстані від певної точки, називається центром.
    радіус Відстань від центру до зовнішнього обідка кола.
    Формула відстані Відстань між двома точками\((x_1, y_1)\) і\((x_2, y_2)\) може бути визначено як\(d=\sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2}\).
    Походження Походження - точка перетину осей x і y на декартовій площині. Координати початку координат є (0, 0).

    Додаткові ресурси

    Інтерактивний елемент

    Відео: Принципи графічних кіл - Основні

    Види діяльності: Кола в координатній площині Дискусійні питання

    Навчальні посібники: властивості кола навчальний посібник

    Практика: Кола в координатній площині

    Реальний світ: Геометрія GPS