6.18: Дотичні лінії

Лінії, перпендикулярні радіусу, проведені до точки дотику.

Теореми про дотичну лінію

Існують дві важливі теореми про дотичні лінії.

1. Теорема дотичної до кола: Лінія є дотичною до кола тоді і тільки тоді, коли пряма перпендикулярна радіусу, проведеному до точки дотику.

Малюнок$\PageIndex{1}$

$\overleftrightarrow{BC}$дотична в точці,$B$ якщо і тільки якщо$\overleftrightarrow{BC}\perp \overline{AB}$.

Ця теорема використовує слова «якщо і тільки якщо», роблячи її біумовним твердженням, що означає, що зворотне значення цієї теореми також вірно.

2. Теорема про дві тангенси: Якщо два дотичні відрізки малюються до одного кола з тієї ж зовнішньої точки, то вони конгруентні.

Малюнок$\PageIndex{2}$

$\overline{BC}$і$\overline{DC}$ мають$C$ як кінцеву точку і є дотичними;$\overline{BC}\cong \overline{DC}$.

Що робити, якщо лінія була проведена поза колом, яке, здавалося, торкається кола лише в одній точці? Як ви могли визначити, чи ця лінія насправді є дотичною?

Приклад$\PageIndex{1}$

Визначте, чи трикутник нижче є прямокутним трикутником.

Малюнок$\PageIndex{3}$

Рішення

Використовуйте теорему Піфагора. $4\sqrt{10}$є найдовшою стороною, так і буде$c$.

Чи

$\begin{aligned} 8^2+10^2&= (4\sqrt{10})^2? \\ 64+100&\neq 160\end{aligned}$

$\Delta ABC$це не прямокутний трикутник. З цього ми також знаходимо,$\overline{CB}$ що не дотичне до$\bigodot A$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Якщо$D$ і$C$ є центрами і$AE$ є дотичними до обох кіл, знайдіть$DC$.

Малюнок$\PageIndex{4}$

Рішення

$\overline{AE}\perp \overline{DE}$і$\overline{AE}\perp \overline{AC}$ і$\Delta ABC \sim \Delta DBE$ по AA подібності.

Щоб знайти$DB$, скористайтеся теоремою Піфагора.

$\begin{aligned} 10^2+24^2&=DB^2 \\ 100+576&=676 \\ DB&=\sqrt{676}=26 \end{aligned}$

Щоб знайти$BC$, використовуйте аналогічні трикутники.

$\dfrac{5}{10}=\dfrac{BC}{26}\rightarrow BC=13. \: DC=DB+BC=26+13=39$

Приклад$\PageIndex{3}$

$\overline{CB}$дотична до$\bigodot A$ точки$B$. Знайти$AC$. Зменшити будь-які радикали.

Малюнок$\PageIndex{5}$

Рішення

$\overline{CB}$дотична, так$\overline{AB}\perp \overline{CB}$ і$\Delta ABC$ прямокутний трикутник. Використовуйте теорему Піфагора, щоб знайти$AC$.

$\begin{aligned} 5^2+8^2&=AC^2 \\ 25+64&=AC^2 \\ 89&=AC^2 \\ AC&=\sqrt{89}\end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{4}$

Використовуючи відповідь з Прикладу А вище, знайдіть$DC$ в$\bigodot A$. Округлите свою відповідь до найближчої сотої.

Малюнок$\PageIndex{6}$

Рішення

$\begin{aligned} DC&=AC−AD \\ DC&=\sqrt{89}−5 \approx 4.43 \end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{5}$

Знайдіть периметр$\Delta ABC$.

Малюнок$\PageIndex{7}$

Рішення

$AE=AD$,$EB=BF$, і$CF=CD$. Тому периметр

$\Delta ABC=6+6+4+4+7+7=34$.

$\bigodot G$вписаний в$\Delta ABC$. Коло вписується в багатокутник, якщо кожна сторона багатокутника дотична до кола.

Рецензія

Визначте, чи є даний відрізок дотичним до$\bigodot K$.

1. 

   Малюнок$\PageIndex{8}$

2. 

   Малюнок$\PageIndex{9}$

3. 

   Малюнок$\PageIndex{10}$

Знайти значення зазначеної довжини (s) в$\bigodot C$. $A$і$B$ є точками дотику. Спрощення всіх радикалів.

4. 

   Малюнок$\PageIndex{11}$

5. 

   Малюнок$\PageIndex{12}$

6. 

   Малюнок$\PageIndex{13}$

7. 

   Малюнок$\PageIndex{14}$

8. 

   Малюнок$\PageIndex{15}$

9. 

   Малюнок$\PageIndex{16}$

$A$і$B$ є точками дотику для$\bigodot C$ і$\bigodot D$.

Малюнок$\PageIndex{17}$

10. Є$\Delta AEC \sim \Delta BED$? Чому?
11. Знайти$CE$.
12. Знайти$BE$.
13. Знайти$ED$.
14. Знайти$BC$ і$AD$.

$\bigodot A$вписаний в$BDFH$.

Малюнок$\PageIndex{18}$

15. Знайдіть периметр$BDFH$.
16. Який тип чотирикутника буває$BDFH$? Звідки ти знаєш?
17. Намалюйте коло, вписаний в квадрат. Якщо радіус кола дорівнює 5, який периметр квадрата?
18. Чи можна вписати коло в прямокутник? Якщо так, намалюйте його. Якщо ні, поясніть.
19. Намалюйте трикутник з двома сторонами, дотичними до кола, але третю сторону немає.
20. Чи можна вписати коло в тупий трикутник? Якщо так, намалюйте його. Якщо ні, поясніть.
21. Заповніть пробіли в доказі теореми про дві тангенси.

Дано:$\overline{AB}$ і$\overline{CB}$ з точками дотику в$A$ і$C$. $\overline{AD}$і$\overline{DC}$ є радіусами.

Доведіть:$\overline{AB}\cong \overline{CB}$

Заява	Причина
1.	1.
2. $\overline{AD}\cong \overline{DC}$	2.
3. $\overline{DA}\perp \overline{AB}$і$\overline{DC}\perp \overline{CB}$	3.
4.	4. Визначення перпендикулярних ліній
5.	5. Підключення двох існуючих точок
6. $\Delta ADB$і$\Delta DCB$ є прямими трикутниками	6.
7. $\overline{DB}\cong\overline{DB}$	7.
8. $\Delta ABD\cong \Delta CBD$	8.
9. $\overline{AB}\cong \overline{CB}$	9.

22. Заповніть пропуски, скориставшись доказом від #21.
    1. $ABCD$є _____________ (тип чотирикутника).
    2. Лінія, яка з'єднує ___________ і зовнішню точку$B$ __________$\angle ABC$.
23. Точки$A$$B$, і$C$ є точками дотику для трьох дотичних кіл. Поясніть, чому$\overline{AT}\cong \overline{BT}\cong \overline{CT}$.

    

    Малюнок$\PageIndex{19}$

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 9.2.

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
коло	Безліч всіх точок, які знаходяться на однаковій відстані від певної точки, називається центром.
діаметр	Хорда, яка проходить через центр кола. Довжина діаметра в два рази перевищує довжину радіуса.
точка дотику	Точка, де дотична лінія стосується кола.
радіус	Відстань від центру до зовнішнього обідка кола.
Тангенс	Тангенс кута в прямокутному трикутнику - це величина, знайдена діленням довжини сторони, протилежної заданому куту, на довжину сторони, прилеглої до заданого кута.
Теорема дотичної до кола	Лінія є дотичною до кола тоді і тільки тоді, коли пряма перпендикулярна радіусу, проведеному до точки дотику.
Теорема про дві тангенси	Теорема про дві тангенси стверджує, що якщо два дотичні відрізки малюються до одного кола з тієї ж зовнішньої точки, то вони є конгруентними.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Принципи дотичних ліній - основні

Діяльність: Запитання обговорення дотичних ліній

Навчальні посібники: властивості кола навчальний посібник

Практика: Дотичні лінії

Реальний світ: Гойдалки