6.15: Вписані чотирикутники в колах

Чотирикутники з кожною вершиною на колі та протилежними кутами, які є додатковими.

Вписаний багатокутник - це багатокутник, де кожна вершина знаходиться на колі, як показано нижче.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Зокрема, для вписаних чотирикутників протилежні кути завжди будуть додатковими.

Вписана теорема чотирикутника: Чотирикутник може бути вписаний в коло тоді і лише тоді, коли протилежні кути є додатковими.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Якщо$ABCD$ вписаний в$\bigodot E$, то$m\angle A+m\angle C=180^{\circ}$ і$m\angle B+m\angle D=180^{\circ}$. І навпаки, якщо$m\angle A+m\angle C=180^{\circ}$ і$m\angle B+m\angle D=180^{\circ}$,$ABCD$ то вписаний в$\bigodot E$.

Що робити, якщо вам дали коло з вписаним в нього чотирикутником? Як ви могли використовувати інформацію про дуги, утворені чотирикутником та/або кутовими мірами чотирикутника, щоб знайти міру невідомих чотирикутників?

Приклад$\PageIndex{1}$

1. 

   Малюнок$\PageIndex{3}$

2. 

   Малюнок$\PageIndex{4}$

Рішення

1. \ (\ почати {вирівняний}
   x+80^ {\ circ} &=180^ {\ circ}\ qquad& y+71^ {\ circ} &=180^ {\ circ}\\
   x&=100^ {\ circ} & y&=109^ {\ circ}
   \ кінець {вирівняний}\)

2. \ (\ почати {вирівняний}
   z+93^ {\ circ} &=180^ {\ circ} & x =\ розриву {1} {2}\ ліворуч (58^ {\ circ} +106^ {\ circ}\ праворуч) & y+82^ {\ circ} &= 180^ {\ circ}\
   z &=87^ {\ circ} & x =82^ {\ circ} & y&=98^ {\ circ}
   \ кінець {вирівняний}\)

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайти$x$ і$y$ на зображенні нижче.

Малюнок$\PageIndex{5}$

Рішення

\ (\ почати {масив} {rlrl}
(7 х+1) ^ {\ цирк} +105^ {\ цирк} & =180^ {\ цирк} & (4 y+14) ^ {\ circ} + (7 y+1) ^ {\ circ} & =180^ {\ цирк}\\
7 x+106^ {\ circ} & =180^ {\ цирк} & 11 y+15^ {\ коло} & =180^ {\ коло}\\
7 х & = 74 & 11 y & =165\\
x & ; =10.57 & y&=15
\ кінець {масив}\)

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайти значення x і y в$\bigodot A$.

Малюнок$\PageIndex{6}$

Рішення

Використовуйте теорему про вписаний чотирикутник. $x^{\circ}+108^{\circ}=180^{\circ}$так$x=72^{\circ}$. Аналогічно$y^{\circ}+88^{\circ}=180^{\circ}$ так$y=92^{\circ}$.

Приклад$\PageIndex{4}$

$ABCD$Чотирикутник вписаний в$\bigodot E$. Знайти$m\angle A$,$m\angle B$,$m\angle C$, і$m\angle D$.

Малюнок$\PageIndex{7}$

Рішення

По-перше, зверніть увагу, що$m\widehat{AD}=105^{\circ}$ тому, що повне коло повинен складатися до$360^{\circ}$.

$\begin{aligned}m\angle A&=\dfrac{1}{2}m\widehat{BD}=12(115+86)=100.5^{\circ} \\ m\angle B&=\dfrac{1}{2}m\widehat{AC}=12(86+105)=95.5^{\circ} \\ m\angle C&=180^{\circ}−m\angle A=180^{\circ}−100.5^{\circ}=79.5^{\circ} \\ m\angle D&=180^{\circ}−m\angle B=180^{\circ}−95.5^{\circ}=84.5^{\circ}\end{aligned}$

Рецензія

Заповніть заготовки.

1. A (n) _______________ багатокутник має всі свої вершини на колі.
2. _____________ кути вписаного чотирикутника - ________________.

$ABCD$Чотирикутник вписаний в$\bigodot E$. Знайти:

Малюнок$\PageIndex{8}$

3. $m\angle DBC$
4. $m\widehat{BC}$
5. $m\widehat{AB}$
6. $m\angle ACD$
7. $m\angle ADC$
8. $m\angle ACB$

Знайти значення$x$ і/або$y$ в$\bigodot A$.

9. 

   Малюнок$\PageIndex{9}$

10. 

    Малюнок$\PageIndex{10}$

11. 

    Малюнок$\PageIndex{11}$

Вирішити для$x$.

12. 

    Малюнок$\PageIndex{12}$

13. 

    Малюнок$\PageIndex{13}$

Лексика

Термін	Визначення
центральний кут	Кут, утворений двома радіусами і вершина якого знаходиться в центрі кола.
акорд	Відрізок лінії, кінцеві точки якого знаходяться на колі.
коло	Безліч всіх точок, які знаходяться на однаковій відстані від певної точки, називається центром.
діаметр	Хорда, яка проходить через центр кола. Довжина діаметра в два рази перевищує довжину радіуса.
вписаний кут	Кут з його вершиною на колі і сторони якого є хордами.
перехоплена дуга	Дуга, яка знаходиться всередині вписаного кута і кінцеві точки якої знаходяться на куті.
радіус	Відстань від центру до зовнішнього обідка кола.
Вписаний багатокутник	Вписаний багатокутник - це багатокутник з кожною вершиною на заданому колі.
Вписана теорема чотирикутника	Теорема про вписаний чотирикутник стверджує, що чотирикутник може бути вписаний в коло тоді і лише тоді, коли протилежні кути чотирикутника є додатковими.
Циклічні чотирикутники	Циклічний чотирикутник - це чотирикутник, який можна вписати в коло.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Принципи вписаних чотирикутників у колах - Основні

Діяльність: Вписані чотирикутники в колах Дискусійні питання

Навчальні посібники: Вписані в кола навчальний посібник

Практика: Вписані чотирикутники в колах

Реальний світ: Схід сонця в Стоунхенджі