6.14: Вписані кути в колах

Вершина на колі та хорди як сторони, і чия міра дорівнює половині перехопленої дуги.

Вписаний кут - це кут з його вершиною на колі і сторони якого є хордами. Перехоплена дуга - це дуга, яка знаходиться всередині вписаного кута і кінцеві точки якої знаходяться на куті. Вершина вписаного кута може знаходитися в будь-якому місці кола до тих пір, поки його сторони перетинають коло, утворюючи перехоплену дугу.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Теорема про вписаний кут стверджує, що міра вписаного кута є половиною міри його перехопленої дуги.

Малюнок$\PageIndex{2}$

$m\angle ADC=\dfrac{1}{2}m\widehat{AC}$і$m\widehat{AC}=2m\angle ADC$

Вписані кути, які перехоплюють одну і ту ж дугу, є конгруентними. Це називається теоремою конгруентних вписаних кутів і показано нижче.

Малюнок$\PageIndex{3}$

$\angle ADB$і$\angle ACB$ перехопити$\widehat{AB}$, так$m\angle ADB=m\angle ACB$. Точно так само$\angle DAC$ і$\angle DBC$$\widehat{DC}$ перехоплюють, так$m\angle DAC=m\angle DBC$.

Кут перехоплює півколо тоді і тільки тоді, коли це прямий кут (Теорема півкола). У будь-який час, коли прямий кут вписаний в коло, кінцеві точки кута є кінцевими точками діаметра, а діаметр - гіпотенуза.

Що робити, якщо у вас було коло з двома акордами, які мають спільну кінцеву точку? Як ви могли використовувати дугу, утворену цими акордами, щоб визначити міру кута, який ці хорди роблять всередині кола?

Приклад$\PageIndex{1}$

Знайти$m\widehat{DC}$ і$m\angle ADB$.

Малюнок$\PageIndex{4}$

Рішення

З теореми про вписаний кут:

$\begin{aligned} m\widehat{DC}&=2\cdot 45^{\circ}=90^{\circ} \\ m\angle ADB&=12\cdot 76^{\circ}=38^{\circ}\end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайти$m\angle ADB$ і$m\angle ACB$.

Малюнок$\PageIndex{5}$

Рішення

Перехоплена дуга для обох кутів є$\widehat{AB}$. Тому

$\begin{aligned} m\angle ADB&=12\cdot 124^{\circ}=62^{\circ} \\ m\angle ACB&=12\cdot 124^{\circ}=62^{\circ}\end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайти$m\angle DAB$ в$\bigodot C$.

Малюнок$\PageIndex{6}$

Рішення

С - центр,$\overline{DB}$ так і діаметр. $\angle DAB$кінцеві точки знаходяться на діаметрі, так що центральний кут є$180^{\circ}$.

$m\angle DAB=\dfrac{1}{2}\cdot 180^{\circ}=90^{\circ}$.

Приклад$\PageIndex{4}$

Заповніть бланк: Вписаний кут - ____________ міра перехопленої дуги.

Рішення

половина

Приклад$\PageIndex{5}$

Заповніть бланк: Центральний кут - ________________ міра перехопленої дуги.

Рішення

дорівнює

Рецензія

Заповніть заготовки.

1. Кут, вписаний в ________________ є$90^{\circ}$.
2. Два вписаних кута, які перехоплюють одну і ту ж дугу - _______________.
3. Сторони вписаного кута - ___________________.
4. Намалюйте вписаний кут$\angle JKL$ в$\bigodot M$. Потім намалюйте центральний кут$\angle JML$. Як співвідносяться два кути?

Знайти значення$x$ і/або$y$ в$\bigodot A$.

5. Малюнок$\PageIndex{7}$

6. Малюнок$\PageIndex{8}$

7. Малюнок$\PageIndex{9}$

8. Малюнок$\PageIndex{10}$

9. Малюнок$\PageIndex{11}$

Вирішити для$x$.

10. Малюнок$\PageIndex{12}$

11. Малюнок$\PageIndex{13}$

12. Малюнок$\PageIndex{14}$

13. Малюнок$\PageIndex{15}$

14. Заповніть пробіли доказу теореми про вписаний кут.

    Малюнок$\PageIndex{16}$

Задано: Вписаний$\angle ABC$ і діаметр$\overline{BD}$

Доведіть:\ (м\ кут ABC = 12m\ widehat {AC}

Заява	Причина
1. Вписаний$\angle ABC$ і діаметр$\overline{BD}$ $m\angle ABE=x^{\circ}$і$m\angle CBE=y^{\circ}$	1.
2. $x^{\circ}+y^{\circ}=m\angle ABC$	2.
3.	3. Всі радіуси конгруентні
4.	4. Визначення рівнобедреного трикутника
5. $m\angle EAB=x^{\circ}$і$m\angle ECB=y^{\circ}$	5.
6. $m\angle AED=2x^{\circ}$і$m\angle CED=2y^{\circ}$	6.
7. $m\widehat{AD}=2x^{\circ}$і$m\widehat{DC}=2y^{\circ}$	7.
8.	8. Постулат додавання дуги
9. $m\widehat{AC}=2x^{\circ}+2y^{\circ}$	9.
10.	10. Розподільна PoE
11. $m\widehat{AC}=2m\angle ABC$	11.
12. $m\angle ABC=\dfrac{1}{2}m\widehat{AC}$	12.

Лексика

Термін	Визначення
центральний кут	Кут, утворений двома радіусами і вершина якого знаходиться в центрі кола.
акорд	Відрізок лінії, кінцеві точки якого знаходяться на колі.
коло	Безліч всіх точок, які знаходяться на однаковій відстані від певної точки, називається центром.
діаметр	Хорда, яка проходить через центр кола. Довжина діаметра в два рази перевищує довжину радіуса.
Вписаний кут	Вписаний кут - це кут з його вершиною на колі. Міра вписаного кута - половина міри його перехопленої дуги.
перехоплена дуга	Дуга, яка знаходиться всередині вписаного кута і кінцеві точки якої знаходяться на куті.
радіус	Відстань від центру до зовнішнього обідка кола.
Дуга	Дуга - це ділянка окружності кола.
Перехоплює	Перехоплення кривої - це місця, де крива перетинає осі x та y. Перехоплення x - це точка, в якій крива перетинає вісь x. Перехоплення y - це точка, в якій крива перетинає вісь y.
Теорема про вписаний кут	Теорема про вписаний кут стверджує, що міра вписаного кута є половиною міри його перехопленої дуги.
Теорема про півколо	Теорема півкола стверджує, що кожен раз, коли прямий кут вписаний в коло, кінцеві точки кута є кінцевими точками діаметра, а діаметр - гіпотенуза.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Принципи вписаних кутів в колах - Основні

Діяльність: Вписані кути в колах Дискусійні питання

Навчальні посібники: Вписані в кола навчальний посібник

Практика: Вписані кути в колах