6.12: Акорди та дуги центрального кута

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 6.11: Довжина дуги
- 6.13: Відрізки від акордів

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Дуги визначаються кутами, вершина яких є центром кола і хордами (відрізками, що з'єднують дві точки на колі).

Акорди в колах

Теореми про хорди

Існує кілька важливих теорем про акорди, які допоможуть вам краще аналізувати кола.

1. Теорема хорд #1: У одному колі або конгруентних колах незначні дуги конгруентні тоді і лише тоді, коли відповідні акорди є конгруентними.

F-D_2A1 CF98 CD7 баб 0d6cd479df866ce1d1371c7edd47866C18A95BBFD3+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{1}$

На обох цих картинках $\overline{BE}\cong \overline{CD}$ і $\widehat{BE}\cong \widehat{CD}$ .

2. Теорема хорди #2: Перпендикулярна бісектриса хорди також є діаметром.

F-д_19Е5Е04С16527ФД5Д5Д56 ЕА6А6Д4920136А9Б025Б6E667E4445+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{2}$

Якщо $\overline{AD}\perp \overline{BC}$ і $\overline{BD}\cong \overline{DC}$ $\overline{EF}$ то - діаметр.

3. Теорема хорди #3: Якщо діаметр перпендикулярний хорді, то діаметр бісекції хорди і відповідної їй дуги.

Якщо $\overline{EF}\perp \overline{BC}$ , то $\overline{BD}\cong \overline{DC}$

4. Теорема хорд #4: У одному колі або конгруентних колах дві акорди конгруентні тоді і лише тоді, коли вони рівновіддалені від центру.

Ф-д_99Е22С456Е3Ф4815417Ф855А0311378Б46Е0787ФД21Б0120Ф5151699+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{4}$

Найкоротша відстань від будь-якої точки до прямої - це перпендикулярна лінія між ними. Якщо $FE=EG$ і $\overline{EF}\perp \overline{EG}$ , то $\overline{AB}$ і $\overline{CD}$ рівновіддалені до центру і $\overline{AB}\cong \overline{CD}$ .

Що робити, якщо вам дали коло з двома акордами, промальованими через нього? Як ви могли визначити, чи ці два акорди були конгруентними?

Приклад $\PageIndex{1}$

Знайдіть значення $x$ і $y$ .

F-D_A040Б0389542ББ379 ФА6С030342257C30C5DE4C41E22004F523607E+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{5}$

Рішення

Діаметр перпендикулярний хорді, що означає, що вона розсікає хорду і дугу. Налаштування рівнянь для $x$ і $y$ .

\ (\ почати {масив} {rlr}
(3 х-4) ^ {\ circ} & =( 5 х-18) ^ {\ circ} & y+4=2 y+1\\
14 & =2 x & 3 = y\\
7 & =x
\ end {масив}\)

Приклад $\PageIndex{2}$

$BD=12$ і $AC=3$ в $\bigodot A$ . Знайдіть радіус.

F-д_Е0Б218827409 Е0747Е 0С8 ЕЕБ Б 5С4 АБ 55АА4 ДБ23ДФ 4БК 47203D4+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{6}$

Рішення

Спочатку знайдіть радіус. $\overline{AB}$ є радіусом, тому ми можемо використовувати прямокутний трикутник\ Delta ABC\) з гіпотенузою $\overline{AB}$ . З теореми акордів #3, $BC=6$ .

$\begin{aligned} 3^2+6^2&=AB^2 \\ 9+36&=AB^2 \\ AB&=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\end{aligned}$

Приклад $\PageIndex{3}$

Використовуйте $\bigodot A$ , щоб відповісти на наступне.

F-D_CA0БАФ 3Д 34С480Е5БД 5781 Ф6ДД90473Б3Б3Б3Б492С4 BBF46186EF20E+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{7}$

Якщо $m\widehat{BD}=125^{\circ}$ , знайдіть $m\widehat{CD}$ .
Якщо $m\widehat{BC}=80^{\circ}$ , знайдіть $m\widehat{CD}$ .

Рішення

$BD=CD$ , що означає, що дуги теж конгруентні. $m\widehat{CD}=125^{\circ}$ .
$m\widehat{CD}\cong m\widehat{BD}$ тому що $BD=CD$ .

$\begin{aligned} m\widehat{BC}+m\widehat{CD}+m\widehat{BD}&=360^{\circ} \\ 80^{\circ}+2m\widehat{CD}&=360^{\circ} \\ 2m\widehat{CD}&=280^{\circ} \\ m\widehat{CD}=140^{\circ}\end{aligned}$

Приклад $\PageIndex{4}$

Знайдіть значення $x$ і $y$ .

Ф-д_5322912138Ф6А893Д14Б0Ф2210Ф643 АЦ820904FF5E0813B4E9F0DE8+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{8}$

Рішення

Діаметр перпендикулярний хорді. З теореми акордів #3, $x=6$ і $y=75^{\circ}$ .

Приклад $\PageIndex{5}$

Знайдіть значення $x$ .

F-д_4С6С48ЕФ93Е5ЕД 1Е355459Е5АААФ 3616653Д3Е5А695905А9ЕФК+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{9}$

Рішення

Оскільки відстань від центру до акордів дорівнює, акорди конгруентні.

$\begin{aligned} 6x−7&=35 \\ 6x&=42 \\ x&=7 \end{aligned}$

Рецензія

Заповніть заготовки.

Ф-д_7ФД8 ФДКД С43Ф0С3Д АБ 41774к107Ф386А3А4КД 83Д1877C7F190CD0+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{10}$

$\text{_____}\cong \overline{DF}$
$\widehat{AC} \cong \text{_____}$
$\widehat{DJ}\cong \text{_____}$
$\text{_____}\cong \overline{EJ}$
$\angle AGH\cong \text{_____}$
$\angle DGF\cong \text{_____}$
Перелічіть всі конгруентні радіуси в $\bigodot G$ .

Знайти значення зазначеної дуги в $\bigodot A$ .

$m\widehat{BC}$

Малюнок $\PageIndex{11}$
$m\widehat{BD}$

Малюнок $\PageIndex{12}$
$m\widehat{BC}$

Малюнок $\PageIndex{13}$
$m\widehat{BD}$

Малюнок $\PageIndex{14}$
$m\widehat{BD}$

Малюнок $\PageIndex{15}$
$m\widehat{BD}$

Малюнок $\PageIndex{16}$

Знайти значення $x$ і/або $y$ .

Малюнок $\PageIndex{17}$
Малюнок $\PageIndex{18}$
Малюнок $\PageIndex{19}$
$AB=32$

Малюнок $\PageIndex{20}$
Малюнок $\PageIndex{21}$
Малюнок $\PageIndex{22}$
Малюнок $\PageIndex{23}$
Малюнок $\PageIndex{24}$
$AB=20$

Малюнок $\PageIndex{25}$
Знайти $m\widehat{AB}$ в питанні 17. Округлите відповідь до найближчої десятої частки градуса.
Знайти $m\widehat{AB}$ в питанні 22. Округлите відповідь до найближчої десятої частки градуса.

У задачах 25-27, що можна зробити висновок про картину? Викладіть теорему, яка виправдовує вашу відповідь. Можна припустити, що A - це центр кола.

Малюнок $\PageIndex{26}$
Малюнок $\PageIndex{27}$
Малюнок $\PageIndex{28}$

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 9.4.

Лексика

Термін	Визначення
акорд	Відрізок лінії, кінцеві точки якого знаходяться на колі.
коло	Безліч всіх точок, які знаходяться на однаковій відстані від певної точки, називається *центром*.
діаметр	Хорда, яка проходить через центр кола. Довжина діаметра в два рази перевищує довжину радіуса.
радіус	Відстань від центру до зовнішнього обідка кола.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Принципи акордів в колах - Основні

Види діяльності: Акорди в колах Дискусійні питання

Навчальні посібники: Кола: Сегменти та довжини навчальний посібник

Практика: Акорди та дуги центрального кута