Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.12: Акорди та дуги центрального кута

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54462

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Дуги визначаються кутами, вершина яких є центром кола і хордами (відрізками, що з'єднують дві точки на колі).

    Акорди в колах

    Теореми про хорди

    Існує кілька важливих теорем про акорди, які допоможуть вам краще аналізувати кола.

    1. Теорема хорд #1: У одному колі або конгруентних колах незначні дуги конгруентні тоді і лише тоді, коли відповідні акорди є конгруентними.

    F-D_2A1 CF98 CD7 баб 0d6cd479df866ce1d1371c7edd47866C18A95BBFD3+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    На обох цих картинках\(\overline{BE}\cong \overline{CD}\) і\(\widehat{BE}\cong \widehat{CD}\).

    2. Теорема хорди #2: Перпендикулярна бісектриса хорди також є діаметром.

    F-д_19Е5Е04С16527ФД5Д5Д56 ЕА6А6Д4920136А9Б025Б6E667E4445+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Якщо\(\overline{AD}\perp \overline{BC}\) і\(\overline{BD}\cong \overline{DC}\)\(\overline{EF}\) то - діаметр.

    3. Теорема хорди #3: Якщо діаметр перпендикулярний хорді, то діаметр бісекції хорди і відповідної їй дуги.

    F-д_19Е5Е04С16527ФД5Д5Д56 ЕА6А6Д4920136А9Б025Б6E667E4445+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Якщо\(\overline{EF}\perp \overline{BC}\), то\(\overline{BD}\cong \overline{DC}\)

    4. Теорема хорд #4: У одному колі або конгруентних колах дві акорди конгруентні тоді і лише тоді, коли вони рівновіддалені від центру.

    Ф-д_99Е22С456Е3Ф4815417Ф855А0311378Б46Е0787ФД21Б0120Ф5151699+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    Найкоротша відстань від будь-якої точки до прямої - це перпендикулярна лінія між ними. Якщо\(FE=EG\) і\(\overline{EF}\perp \overline{EG}\), то\(\overline{AB}\) і\(\overline{CD}\) рівновіддалені до центру і\(\overline{AB}\cong \overline{CD}\).

    Що робити, якщо вам дали коло з двома акордами, промальованими через нього? Як ви могли визначити, чи ці два акорди були конгруентними?

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Знайдіть значення\(x\) і\(y\).

    F-D_A040Б0389542ББ379 ФА6С030342257C30C5DE4C41E22004F523607E+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{5}\)

    Рішення

    Діаметр перпендикулярний хорді, що означає, що вона розсікає хорду і дугу. Налаштування рівнянь для\(x\) і\(y\).

    \ (\ почати {масив} {rlr}
    (3 х-4) ^ {\ circ} & =( 5 х-18) ^ {\ circ} & y+4=2 y+1\\
    14 & =2 x & 3 = y\\
    7 & =x
    \ end {масив}\)

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    \(BD=12\)і\(AC=3\) в\(\bigodot A\). Знайдіть радіус.

    F-д_Е0Б218827409 Е0747Е 0С8 ЕЕБ Б 5С4 АБ 55АА4 ДБ23ДФ 4БК 47203D4+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{6}\)

    Рішення

    Спочатку знайдіть радіус. \(\overline{AB}\)є радіусом, тому ми можемо використовувати прямокутний трикутник\ Delta ABC\) з гіпотенузою\(\overline{AB}\). З теореми акордів #3,\(BC=6\).

    \(\begin{aligned} 3^2+6^2&=AB^2 \\ 9+36&=AB^2 \\ AB&=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Використовуйте\(\bigodot A\), щоб відповісти на наступне.

    F-D_CA0БАФ 3Д 34С480Е5БД 5781 Ф6ДД90473Б3Б3Б3Б492С4 BBF46186EF20E+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{7}\)
    1. Якщо\(m\widehat{BD}=125^{\circ}\), знайдіть\(m\widehat{CD}\).
    2. Якщо\(m\widehat{BC}=80^{\circ}\), знайдіть\(m\widehat{CD}\).

    Рішення

    1. \(BD=CD\), що означає, що дуги теж конгруентні. \(m\widehat{CD}=125^{\circ}\).
    2. \(m\widehat{CD}\cong m\widehat{BD}\)тому що\(BD=CD\).

    \(\begin{aligned} m\widehat{BC}+m\widehat{CD}+m\widehat{BD}&=360^{\circ} \\ 80^{\circ}+2m\widehat{CD}&=360^{\circ} \\ 2m\widehat{CD}&=280^{\circ} \\ m\widehat{CD}=140^{\circ}\end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Знайдіть значення\(x\) і\(y\).

    Ф-д_5322912138Ф6А893Д14Б0Ф2210Ф643 АЦ820904FF5E0813B4E9F0DE8+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{8}\)

    Рішення

    Діаметр перпендикулярний хорді. З теореми акордів #3,\(x=6\) і\(y=75^{\circ}\).

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Знайдіть значення\(x\).

    F-д_4С6С48ЕФ93Е5ЕД 1Е355459Е5АААФ 3616653Д3Е5А695905А9ЕФК+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{9}\)

    Рішення

    Оскільки відстань від центру до акордів дорівнює, акорди конгруентні.

    \(\begin{aligned} 6x−7&=35 \\ 6x&=42 \\ x&=7 \end{aligned}\)

    Рецензія

    Заповніть заготовки.

    Ф-д_7ФД8 ФДКД С43Ф0С3Д АБ 41774к107Ф386А3А4КД 83Д1877C7F190CD0+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{10}\)
    1. \(\text{_____}\cong \overline{DF}\)
    2. \(\widehat{AC} \cong \text{_____}\)
    3. \(\widehat{DJ}\cong \text{_____}\)
    4. \(\text{_____}\cong \overline{EJ}\)
    5. \(\angle AGH\cong \text{_____}\)
    6. \(\angle DGF\cong \text{_____}\)
    7. Перелічіть всі конгруентні радіуси в\(\bigodot G\).

    Знайти значення зазначеної дуги в\(\bigodot A\).

    1. \(m\widehat{BC}\)
      Ф-Д_С0Е07Б24726Ф78ДБ00ФКФФ22Е1Ф39180А27АБ379БД 20СД 393394+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{11}\)
    2. \(m\widehat{BD}\)
      F-д_БСЕ 947699 Ед 17Е4 АФ 5984А250939 до н.е. 56А798366107Е63 де 77029C5+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{12}\)
    3. \(m\widehat{BC}\)
      F-D_C1cd036cd92993 ББ5АС 74БА 6504 ААФ 82FF93A82C91ЕЕ8938Ф8С+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{13}\)
    4. \(m\widehat{BD}\)
      Ф-д_22Фе 07967БФА0Б508Д63993Б16Б76Д2316Ф2КДДД0Д5144Е66А1Ф98Б0+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{14}\)
    5. \(m\widehat{BD} \)
      F-D_3ed1E002C73425868C9E3 АББ 3А7391 ЕФ4А477БДЕ1А3Е1СА0ДБФ105Е+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{15}\)
    6. \(m\widehat{BD}\)
      F-D_4F8A37А 252641518 CAE 7 АБФ 9Е4885Е448590D80A944CA8D69932B23+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{16}\)

    Знайти значення\(x\) і/або\(y\).

    1. F-D_95516E6A2DE73E7E3446D679 А0Д9Б1Ф3111де133БКФ62Б5А7ФС83Б+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{17}\)
    2. F-д_д47 ЕДБ188АФ6Ф2Б1Д054 КД698Е394Д84Б04Б04Б04Б4Ф4638Б6Д0767Б4Е2+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{18}\)
    3. F-D_9BE9 АБД А5А 3ДБК885Ф1Ф2СД569 ЕФББФ 5ФЧ8АК 77202С1Б9А5Ф08867Б+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{19}\)
    4. \(AB=32\)
      F-D_EA7A725Б547 А9Е571 КД08Ф2АА773Е4Д8755Е5460Б6А818 CFC727C+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий_PNG
      Малюнок\(\PageIndex{20}\)
    5. F-д_4492FF4d528ec529326136c79977f45dd9b253385402237DA0E9C+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{21}\)
    6. F-д_8Ф018А04724318888C2АФ 6ДБ 8Е56 АБФ 73852КА411БФ 60D1F003FC+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{22}\)
    7. F-д_56АЕ6101Ф23ДЕ087CDB1CF8E4C4128722B26F889FA0706C5874E346+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{23}\)
    8. F-д_737ЕБ20А8А8Д654Е96Ф6ДК7СБ4Б84А737733КБ0201D3Д4Ф039БК9+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{24}\)
    9. \(AB=20\)
      F-D_158517 ББА 0 КБ ББКД 29603245С2AC279 Бе074д72С72505А8Б21644 CF3+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{25}\)
    10. Знайти\(m\widehat{AB}\) в питанні 17. Округлите відповідь до найближчої десятої частки градуса.
    11. Знайти\(m\widehat{AB}\) в питанні 22. Округлите відповідь до найближчої десятої частки градуса.

    У задачах 25-27, що можна зробити висновок про картину? Викладіть теорему, яка виправдовує вашу відповідь. Можна припустити, що A - це центр кола.

    1. Ф-Д_ЕБ4Б17Б2АЕ 37553БД45А 56С987091014А1018БД3481ФА03047Б60Е08+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{26}\)
    2. F-д_Ф 73Ф80551 Буб 5404EB70CE01Ф9Б8Б70ФБА 384 ЕБД8С21685Д435C671+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{27}\)
    3. F-D_CD466БАФ 5Е5Б 089161117Б67Б6Ф950ДЕ91ДЕ043ФБ82А3506276А9+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{28}\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 9.4.

    Лексика

    Термін Визначення
    акорд Відрізок лінії, кінцеві точки якого знаходяться на колі.
    коло Безліч всіх точок, які знаходяться на однаковій відстані від певної точки, називається центром.
    діаметр Хорда, яка проходить через центр кола. Довжина діаметра в два рази перевищує довжину радіуса.
    радіус Відстань від центру до зовнішнього обідка кола.

    Додаткові ресурси

    Інтерактивний елемент

    Відео: Принципи акордів в колах - Основні

    Види діяльності: Акорди в колах Дискусійні питання

    Навчальні посібники: Кола: Сегменти та довжини навчальний посібник

    Практика: Акорди та дуги центрального кута