6.11: Довжина дуги

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 6.10: Площа секторів і сегментів
- 6.12: Акорди та дуги центрального кута

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Частина окружності кола.

Один із способів вимірювання дуг - в градусах. Це називається «мірою дуги» або «мірою ступеня» (див. Дуги в колах). Дуги також можуть вимірюватися по довжині, як частина окружності. Довжина дуги - це довжина дуги або частини окружності кола. Довжина дуги безпосередньо пов'язана з мірою дуги ступеня.

F-D_D400АЕ 3102 ДК 7Д7А4Ф735ФД7 ДДФ076Д477Б82Ф5Д4С00Д48Д53424+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{1}$

Формула довжини дуги: Довжина $\widehat{AB}=\dfrac{m\widehat{AB}}{360^{\circ}}\cdot \pi d$ або $\dfrac{m\widehat{AB}}{360^{\circ}}\cdot 2\pi r$ .

Що робити, якщо вам дали міру кута дуги кола? Як ви могли знайти довжину цієї дуги?

Приклад $\PageIndex{1}$

Знайти довжину дуги $\widehat{PQ}$ в $\bigodot A$ . Залиште свої відповіді з точки зору $\pi$ .

Ф-д_6д7ф32А12С5Ф95Б741ДБ05Д6Д951Е2Д56С29Ф3951Б14Б0Е8Б10Ф8Ф52+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{2}$

Рішення

Скористайтеся формулою довжини дуги.

$\begin{aligned} \widehat{PQ}&=\dfrac{135}{360}\cdot 2\pi (12) \\ \widehat{PQ}&=\dfrac{3}{8}\cdot 24\pi \\ \widehat{PQ}&=9\pi \end{aligned}$

Приклад $\PageIndex{2}$

Типова велика піца має діаметр 14 дюймів і розрізається на 8 частин. Подумайте про скоринку як про окружність піци. Знайдіть довжину скоринки для всієї піци. Потім знайдіть довжину скоринки для одного шматка піци, якщо вся піца розрізана на 8 частин.

F-D_16Ф091 АФКА 758 ДД КАФ 412Д6 АД 4Д 72383Е6Д 14934C3C35201CE5532D+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{3}$

Рішення

Вся довжина скоринки, або окружність піци, знаходиться $14\pi \approx 44 in.$ в $\dfrac{1}{8}$ піці, один шматок мав би $\dfrac{44}{8}\approx 5.5 inches$ скоринку.

Приклад $\PageIndex{3}$

Знайти довжину $\widehat{PQ}$ . Залиште свою відповідь з точки зору $\pi$ .

F-D_09 АС 85Д9 ЕД 382178561Б2Д19С5Ф41Ф894016786 BEF826C16B30C+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{4}$

Рішення

На малюнку центральний кут, який відповідає з $\widehat{PQ}$ є $60^{\circ}$ . Це означає, що $m\widehat{PQ}=60^{\circ}$ . Подумайте про довжину дуги як частину окружності. Є $360^{\circ}$ в колі, так що 60^ {\ circ}\) буде 16 з цього ( $60^{\circ}360^{\circ}=16$ ). Тому довжина $\widehat{PQ}$ дорівнює 16 від окружності. \ текст {довжина}\ widehat {PQ} =16\ cdot 2\ pi (9) =3\ pi\ текст {одиниці}\).

Приклад $\PageIndex{4}$

Довжина дуги кола дорівнює $\widehat{AB}=6\pi$ і дорівнює 14 окружності. Знайдіть радіус кола.

Рішення

Якщо 6\ pi дорівнює 14 окружності, то загальна окружність дорівнює $4(6\pi )=24\pi$ . Щоб знайти радіус, підключіть це до формули окружності та вирішіть для r.

$\begin{aligned} 24\pi =2\pi r \\ 12 \text{ units }=r \end{aligned}$

Приклад $\PageIndex{5}$

Знайдіть міру центрального кута або $\widehat{PQ}$ .

F-д_Ф7Ф 550Е753092163ДБД 12Ф258д 89176294811ДБ29Е8Фе 01587C06255+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий_png — Малюнок $\PageIndex{5}$

Рішення

Давайте підключимо те, що ми знаємо, до формули довжини дуги.

$\begin{aligned}15\pi &=m\widehat{PQ}360^{\circ}\cdot 2\pi (18) \\ 15&=m\widehat{PQ}10^{\circ} \\ 150^{\circ}&=m\widehat{PQ}\end{aligned}$

Рецензія

Знайти довжину дуги $\widehat{PQ}$ в $\bigodot A$ . Залиште свої відповіді з точки зору $\pi$ .

Малюнок $\PageIndex{6}$
Малюнок $\PageIndex{7}$
Малюнок $\PageIndex{8}$
Малюнок $\PageIndex{9}$

Знайти $PA$ (радіус) в $\bigodot A$ . Залиште свою відповідь з точки зору $\pi$ .

Малюнок $\PageIndex{11}$
Малюнок $\PageIndex{12}$
Малюнок $\PageIndex{13}$

Знайдіть центральний кут або $m\widehat{PQ}$ в $\bigodot A$ . Округляйте будь-які десяткові відповіді до найближчої десятої.

Малюнок $\PageIndex{14}$
Малюнок $\PageIndex{15}$
Малюнок $\PageIndex{16}$

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 10.9.

Лексика

Термін	Визначення
акорд	Відрізок лінії, кінцеві точки якого знаходяться на колі.
коло	Сукупність всіх точок, які знаходяться на однаковій відстані від певної точки, називається *центром*.
діаметр	Хорда, яка проходить через центр кола. Довжина діаметра в два рази перевищує довжину радіуса.
пі	(Або $\pi$ ) Відношення окружності кола до його діаметру.
радіус	Відстань від центру до зовнішнього обідка кола.
Дуга	Дуга - це ділянка окружності кола.
довжина дуги	У обчисленні довжина дуги - це довжина кривої площини функції протягом інтервалу.
Окружність	Окружність кола - це міра відстані навколо зовнішнього краю кола.
Дилатація	Зменшити або збільшити цифру відповідно до масштабного коефіцієнта - це розширення.
радіан	Радіан - це одиниця кута, яка дорівнює куту, створеному в центрі кола, дуга якого по довжині дорівнює радіусу.
Сектор	Сектор кола - це частина кола, що міститься між двома радіусами кола. Сектори можна вимірювати в градусах.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Принципи довжини дуги - основні

Діяльність: Питання обговорення довжини дуги

Навчальні посібники: Посібник з вивчення довжини кола та дуги

Практика: Довжина дуги

Реальний світ: як далеко до Лондона?