6.7: Області комбінованих фігур за участю півкіл

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 6.6: Площа кола
- 6.8: Радіус або діаметр окружності заданої площі

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Обчислити площі неправильної форми.

Області об'єднаних фігур за участю кіл

Велика частина відкритого баскетбольного майданчика вже була перефарбована в зелений колір. Єдина частина, яку залишилося повторити, була коричнева клавіша. Малярам необхідно знати загальну площу простору, що залишився, щоб придбати достатню кількість фарби. З огляду на наведені нижче розміри, яку площу повинні використовувати працівники для розрахунку своїх поставок?

У цій концепції ви дізнаєтеся, як знайти площу складових фігур, що містять кола.

Знаходження площі композитних фігур

Формула для пошуку площі прямокутника є $A=lw$ . Формула, щоб знайти площу кола є $A=\pi r^2$ . Щоб знайти площу складеної фігури, просто знайдіть площу кожної окремої фігури та додайте їх разом. Порядок, в якому ви обчислюєте площі, не має значення, і комутативна власність стверджує, що не має значення, в якому порядку ви їх додаєте.

Давайте розглянемо приклад.

Знайдіть площу малюнка нижче.

Спочатку знайдіть площу прямокутника.

$\begin{aligned} A&=lw \\ A&=6(8) \\ A&=48\end{aligned}$

Площа прямокутника становить 48 квадратних дюймів.

Далі, визнайте, що вам дали діаметр і потрібно розділити це на 2, щоб отримати радіус.

$\begin{aligned} A&=\pi r^2 \\ A&=3.14(4)^{2} \\ A&=3.14(16) \\ A&=50.24\text{ sq. in. } \end{aligned}$

Площа повного кола становить 50,24 квадратних дюймів.

Потім знайдіть площу однієї половини кола, півкола, розділивши свою остаточну відповідь на 2.

$A=25.12$

Площа півкола дорівнює 25,12 квадратних дюймів.

Нарешті, додайте дві області разом.

$\begin{aligned} A&=A_{r}+A_{sc} \\ A&=48+25.12 \\ A&=73.12\text{ sq. in. } \end{aligned}$

Відповідь - складена фігура має площу 73,12 квадратних дюйма.

Приклад $\PageIndex{1}$

Раніше вам давали проблему з приводу відкритого баскетбольного майданчика, який потребує деякої фарби.

Працівники мали такі розміри суду і повинні знати загальну площу, щоб з'ясувати свої поставки.

Рішення

Спочатку знайдіть площу прямокутника.

$\begin{aligned}A&=lw \\ A&=16(12) \\ A&=192\end{aligned}$

Площа прямокутника становить 192 квадратних футів.

Далі, визнайте, що вам дали діаметр і потрібно розділити це на 2, щоб отримати радіус. У задачі зазначено, що діаметр кола такий же, як ширина прямокутника, 3 фути.

$\begin{aligned} A&=\pi r^2 \\ A&=3.14(6)^{2} \\ A&=3.14(36) \\ A&=113.04\end{aligned}$

Площа для повного кола становить приблизно 113 квадратних футів.

Потім пам'ятайте, що у вас є півколо і розділіть цю область на 2.

$A_{sc}=56.5$

Площа півкола становить 56,5 квадратних футів.

Додайте дві області разом.

$\begin{aligned} A&=A_{r}+A_{sc} \\ A&=192+56.5 \\ A&=248.5\text{ sq. ft. }\end{aligned}$

Відповідь полягає в тому, що складена фігура має область $A=248.5\text{ square feet }$ . Працівникам потрібно буде придбати достатню кількість фарби, щоб покрити 248,5 кв. футів.

Приклад $\PageIndex{2}$

На малюнку нижче два півкола з квадратом посередині. Квадрат має довжину сторони 6 дюймів.

Рішення

Далі визначаємо площу квадрата.

$\begin{aligned} A&=s^2 \\ A&=6^2 \\ A&=36\end{aligned}$

Площа квадрата становить 36 квадратних дюймів.

Потім визнайте, що оскільки квадрат має чотири рівні сторони, діаметр кола також становить 6 дюймів.

Формула площі одного півкола - це формула площі кола, поділеної на 2.

$A_{sc}=\dfrac{\pi r^2}{2}$

Оскільки є два півкола однакового розміру, ви можете просто скласти їх разом, щоб в кінцевому підсумку отримати область для повного кола.

Пам'ятайте, що вам дали діаметр, а не радіус, тому розділіть діаметр на 2.

Потім скористайтеся формулою для площі кола.

$\begin{aligned} A&=\pi r^2 \\ A&=3.14(3)^{2} \\ A&=3.14(9) \\ A&=28.26\end{aligned}$

Площа двох півкіл, які утворюють одне повне коло, становить 28,26 квадратних дюймів.

Нарешті, додайте дві області разом.

$\begin{aligned} A&=A_{r}+A_{sc} \\ A&=36+28.26 \\ A&=64.26\end{aligned}$

Відповідь полягає в тому, що складена фігура має область $A=64.26\text{ square inches }$

Приклад $\PageIndex{3}$

Знайдіть складену площу прямокутника довжиною 5 футів і шириною 3 фути, з'єднану з півколом з тим же діаметром, що і ширина.

Рішення

Спочатку знайдіть площу прямокутника.

$\begin{aligned} A&=lw \\ A&=5(3) \\ A&=15\end{aligned}$

Площа прямокутника становить 15 квадратних футів.

$\begin{aligned} A&=\pi r^2 \\ A&=3.14(1.5)^{2} \\ A&=3.14(2.25) \\ A&=7.065\end{aligned}$

Площа для повного кола становить 7.065 квадратних футів.

Потім пам'ятайте, що у вас є півколо і розділіть цю область на 2.

$A_{sc}=3.53$

Площа півкола становить 3,53 квадратних футів.

Додайте дві області разом.

$\begin{aligned} A&=A_{r}+A_{sc} \\ A&=15+3.53 \\ A&=18.53\text{ sq. ft. }.\end{aligned}$

Відповідь полягає в тому, що складена фігура має область $A=18.53 \text{ square feet }$ .

Приклад $\PageIndex{4}$

Знайдіть складену площу квадрата з довжиною сторони 4 мм і півкола діаметром тієї ж довжини сторони, що і квадрат.

Рішення

Спочатку знайдіть площу квадрата.

$\begin{aligned} A&=s^2 \\ A&=4^2 \\ A&=16 \end{aligned}$

Площа квадрата становить 16 квадратних міліметрів.

Далі, визнайте, що вам дали діаметр і потрібно розділити це на 2, щоб отримати радіус. У задачі зазначено, що діаметр кола такий же, як довжина сторони квадрата, 4 мм.

$\begin{aligned} A&=\pi r^2 \\ A&=3.14(2)^{2} \\ A&=3.14(4) \\ A&=12.56\end{aligned}$

Площа для повного кола становить 12,56 квадратних міліметрів.

Потім пам'ятайте, що у вас є півколо і розділіть цю область на 2.

$A_{sc}=6.28$

Площа півкола становить 6,28 квадратних міліметрів.

Додайте дві області разом.

$\begin{aligned} A&=AS+A_{sc} \\ A&=16+6.28 \\ A&=22.28\text{ sq. mm. }\end{aligned}$

Відповідь полягає в тому, що складена фігура має область $A=22.28\text{ sq. mm. }$

Приклад $\PageIndex{5}$

Знайдіть площу фігури, яка складається з квадрата і півкола. Квадрат має довжину сторони 8 дюймів. Діаметр кола такий же, як довжина сторони квадрата.

Рішення

Спочатку знайдіть площу квадрата.

$\begin{aligned} A&=s^2 \\ A&=8^2 \\ A&=64\end{aligned}$

Площа квадрата становить 64 квадратних дюйма.

Далі, визнайте, що вам дали діаметр і потрібно розділити це на 2, щоб отримати радіус. Проблема стверджує, що діаметр кола такий же, як довжина сторони квадрата, 8 дюймів.

$\begin{aligned} A&=\pi r^2 \\ A&=3.14(4)^{2} \\ A&=3.14(16) \\ A&=50.24 \end{aligned}$

Площа для повного кола становить 50,24 квадратних дюймів.

Потім пам'ятайте, що у вас є півколо і розділіть цю область на 2.

$A_{sc}=25.12$

Площа півкола дорівнює 25,12 квадратних дюймів.

Додайте дві області разом.

$\begin{aligned} A&=A_{r}+A_{sc} \\ A&=64+25.12 \\ A&=79.12\text{ square inches } \end{aligned}$

Відповідь полягає в тому, що складена фігура має область $A=79.12\text{ sq. in. }$

Рецензія

Знайдіть площу кожної об'єднаної фігури.

Квадрат і півколо. Квадрат має довжину сторони 11 мм. Діаметр кола збігається зі стороною квадрата.
Квадрат і півколо. Квадрат має довжину сторони 8,5 дюймів. Діаметр кола збігається зі стороною квадрата.
Квадрат і півколо. Квадрат має довжину сторони 7,25 дюйма. Діаметр кола збігається зі стороною квадрата.
Квадрат і півколо. Квадрат має довжину сторони 13 футів. Діаметр кола збігається зі стороною квадрата.
Квадрат і півколо. Квадрат має довжину сторони 15.5 футів. Діаметр кола збігається зі стороною квадрата.
Прямокутник і півколо. Прямокутник має довжину 8 футів і ширину 5 футів. Діаметр кола відповідає ширині.
Прямокутник і півколо. Прямокутник має довжину 8,5 футів і ширину 6 футів. Діаметр кола відповідає ширині.
Прямокутник і півколо. Прямокутник має довжину 9 дюймів і ширину 4,5 дюйма. Діаметр кола відповідає довжині.
Прямокутник і півколо. Прямокутник має довжину 7 футів і ширину 4 фути. Діаметр кола відповідає довжині.
Прямокутник і півколо. Прямокутник має довжину 5,5 футів і ширину 3.5 футів. Діаметр кола відповідає ширині.
Трикутник і півколо. Трикутник має основу 5 дюймів і висоту 4 дюйми. Діаметр кола збігається з основою трикутника.
Трикутник і півколо. Трикутник має основу 7 дюймів і висоту 6 дюймів. Діаметр кола збігається з основою трикутника.
Трикутник і півколо. Трикутник має основу 5,5 дюймів і висоту 4 дюйми. Діаметр кола збігається з основою трикутника.

Вирішіть кожну проблему.

Роб малює великі горошок на аркуші на тлі шкільного мюзиклу. Він намалював 16 горошок, кожна радіусом 3 фути. Яку загальну площу покривають горошок?
Бібліотекар має бібліотеку в своїй школі килимом. Бібліотека являє собою круглий зал діаметром 420 футів. Скільки квадратних футів килима їй потрібно буде замовити?

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
Площа	Площа - простір в межах периметра двомірної фігури.
Коло	Коло - це сукупність всіх точок на певній відстані від заданої точки в двох вимірах.
Діаметр	Діаметр - це міра відстані через центр кола. Діаметр дорівнює подвоєної мірі радіуса.

Додаткові ресурси

Відео: Площа і периметр

Практика: Області комбінованих фігур із залученням півкіл

Реальний світ: Стрільба кіл