Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.39: Формула відстані та алгебра

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54752

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Використання теореми Піфагора для визначення відстаней

    Припустимо, ви і ваш друг були на полювання на смітника. Починаючи з того ж місця, ви йшли 5 кварталів на схід і 3 квартали на північ. Ваш друг пройшов 7 кварталів на захід і 2 квартали на південь. Якби кожен блок був десяту частину милі завдовжки, чи могли б ви обчислити, наскільки далеко один від одного ви і ваш друг були? Як би ви це зробили?

    Формула відстані

    Щоб зрозуміти формулу відстані, спочатку розглянемо наступну проблему:

    Знайдіть довжину відрізка, що з'єднує\((1, 5)\) і\((5, 2)\).

    Ф-д_31д983д 3Е0А50Ф11371473913 ДБК 460Б6А3462507Е89Б3Д830АБ1+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Питання задає вам визначити довжину відрізка. Оскільки відрізок не паралельний будь-якій осі, його важко виміряти, враховуючи координатну сітку.

    Однак можна вважати цей відрізок гіпотенузою прямокутного трикутника. Намалюйте вертикальну лінію і горизонтальну лінію. Знайдіть точку перетину. Ця точка представляє третю вершину в прямокутному трикутнику.

    Ф-Д_63Б4ФД5647Е9Е6А3610384Ф96ФБ093988Б7Е5171548Ф465777А45519+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Можна легко порахувати довжини ніжок цього трикутника на сітці. Вертикальна ніжка тягнеться від\((1, 2)\) до\((1, 5)\), тому вона\(\mid5−2\mid=\mid3\mid=3\: units\) довга. Горизонтальна нога тягнеться від\((1, 2)\) до\((5, 2)\), тому вона\(\mid5−1\mid=\mid4\mid=4\: units\) довга. Використовуйте теорему Піфагора з цими значеннями для довжин кожного катета, щоб знайти довжину гіпотенузи.

    \(\begin{aligned} a^2+b^2 & =c^2 \\ 3^2+4^2 & =c^2 \\ 9+16 & =c^2 \\ 25 & =c^2 \\ \sqrt{25} & =\sqrt{c^2} \\ 5 & = c\end{aligned}\)

    Відрізок\((5, 2)\) з'єднує\((1, 5)\) і становить 5 одиниць довжини.

    Математики спростили цей процес і створили формулу, яка використовує ці кроки для знаходження відстані між будь-якими двома точками в координатній площині. Якщо ви використовуєте формулу відстані, вам не доведеться малювати зайві лінії.

    Формула відстані стверджує: Дано точки\((x_1,y_1)\) і довжина відрізка\((x_2,y_2)\), що з'єднує ці дві точки, є\(d=\sqrt{\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}}\).

    Давайте скористаємося формулою відстані для виконання наступних завдань:

    1. Знайти відстань між\((–3, 5)\) і\((4, –2)\).

    Скористайтеся формулою відстані. Нехай\((x_1,y_1)=(−3,5)\) і\((x_2,y_2)=(4,−2)\).

    \ (\ почати {масив} {l}
    d=\ sqrt {(-2-5) ^ {2} + (4- (-3)) ^ {2}}\ rightarrow\ sqrt {(-7) ^ {2} +7^ {2}}\
    d=\ sqrt {98} =7\ sqrt {2}\ текст {одиниці}
    \ кінець {масив}\)

    1. О 8 ранку одного разу Амір вирішує пройтися по прямій лінії по пляжу. Після двох годин, не здійснюючи поворотів і подорожуючи з постійною швидкістю, Амір знаходився за дві милі на схід і чотири милі на північ від своєї відправної точки. Як далеко пройшов Амір і яка була його швидкість ходьби?
    Ф-Д_ДД 78 КД017А6ДДА 9ЕЕ7837 ЕЕД А057Ф1570С565245АЕ 20599D5AD3E33C+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Покладіть маршрут Аміра на графіку координат. Ми можемо розмістити його відправну точку на початку,\(A=(0,0)\). Тоді його кінцева точка буде в точці\(B=(2,4)\). Відстань можна знайти за допомогою формули відстані.

    \(\begin{aligned} d&=\sqrt{(4−0)^2+(2−0)^2}=\sqrt{(4)^2+(2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20} \\ d &=4.47\text { miles } \end{aligned} \).

    Оскільки Амір пройшов 4,47 милі за 2 години, його швидкість становить:

    \(Speed=\dfrac{4.47 \text{ miles }}{2 \text{ hours }}=2.24 \: mi/h\)

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вам сказали, що на полюванні на смітника, починаючи з того ж місця, ви йшли 5 кварталів на схід і 3 квартали на північ, а ваш друг пройшов 7 кварталів на захід і 2 квартали на південь. Кожен блок довжиною в десяту частку милі. Наскільки далеко один від одного були ви і ваш друг?

    Рішення

    Можливо, буде корисно намалювати графік, щоб візуалізувати ситуацію. Припускаючи, що початкова точка була в (0,0), а відстань між кожною точкою дорівнює одному блоку, якщо ви йшли 5 блоків на схід і 3 квартали на північ, ваші координати будуть\((-5, 3)\). Ваш друг пройшов 7 кварталів на захід і 2 квартали на південь, так що їх координати будуть\((7,-2)\)

    F-D_B77ed49E024D9A4530DE19D70Df925DF92F994C5E81F2026F31+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    Тепер ви можете обчислити відстань між цими двома точками, використовуючи формулу відстані. Все, що вам потрібно зробити, це підключити точки до формули і вирішити.

    \ (\ почати {вирівняний} d&=\ sqrt {\ ліворуч (y_ {2} -y_ {1}\ праворуч) ^ {2} +\ ліворуч (x_ {2} -x_ {1}\ праворуч) ^ {2}}\\

    d&=\ sqrt {(−2−3) ^2+ (7− (−5)) ^2}\ стрілка вправо\ sqrt {(−5) ^2+12^2}\\

    d&=\ sqrt {169} =13\ кінець {вирівняний}\)

    Ви і ваш друг знаходяться на відстані 13 одиниць один від одного. Оскільки кожен блок становить десяту частину милі довжини, ви можете помножити 13 на одну десяту, щоб отримати фактичну відстань.

    \(13 \times \dfrac{1}{10}=\dfrac{13}{10}=1.3\)

    Ви і ваш друг знаходяться в 2,1 милі один від одного.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Точка\(A=(6,−4)\) і точка\(B=(2,k)\). Яке значення\(k\) таке, що відстань між двома точками дорівнює 5?

    Рішення

    Скористайтеся формулою відстані.

    \(d=\sqrt{(y_1−y_2)^2+(x_1−x_2)^2}\Rightarrow 5=\sqrt{(4−k)^2+(6−2)^2}\)

    \ (\ begin {вирівняний} Квадрат\: обидві\ :сторони\ :of\ :рівняння. &\ qquad& 5^2&= [\ sqrt {(4−k) ^2+ (6−2) ^2}] ^2\

    Спростити. &\ qquad& 25&= (−4−k) ^2+16\\ Вилучити\: дужки\:. &\ qquad& 0&= k ^ 2+8к+16−9\\

    Спростити. &\ qquad& 0&= к ^ 2+8к+7\\

    Знайти\ :k\ :використовуючи\ :квадратичну\ :формулу. &\ qquad& k&=\ dfrac {−8\ пм\ sqrt {64−28}} {2} =\ dfrac {−8\ pm\ sqrt {36}} {2} =\ dfrac {−8\ pm6} {2}\ кінець {вирівняний}\)

    \(k=−7\)або\(k=−1\). Існує дві можливості для значення k. Давайте графуємо точки, щоб отримати наочне уявлення про наші результати.

    F-D_655c94B9E01C99957C24БА 2634Е 608Ф0Ф5609Ф1Ф8Ф8Ф1Ф843271ADF4609AA+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{5}\)

    Рецензія

    У 1—10 знайдіть відстань між двома точками.

    1. \((x_1,y_1)\)і\((x_2,y_2)\)
    2. \((7, 7)\)і\((–7, 7)\)
    3. \((–3, 6)\)і\((3, –6)\)
    4. \((–3, –1)\)і\((–5, –8)\)
    5. \((3, –4)\)і\((6, 0)\)
    6. \((–1, 0)\)і\((4, 2)\)
    7. \((–3, 2)\)і\((6, 2)\)
    8. \((0.5, –2.5)\)і\((4, –4)\)
    9. \((12, –10)\)і\((0, –6)\)
    10. \((2.3, 4.5)\)і\((–3.4, –5.2)\)
    1. Знайти всі точки, що мають координату x -4 і відстань від точки\((4, 2)\) 10.
    2. Знайти всі точки, які мають y-координату 3 і відстань\((–2, 5)\) від точки 8.
    3. Мішель вирішує одного разу покататися на своєму велосипеді. Спочатку вона їде на своєму велосипеді через південь на 12 миль, а потім напрямок велосипедної стежки змінюється, і вона їде в новому напрямку на деякий час довше. Коли вона зупиняється, Мішель знаходиться в 2 милі на південь і в 10 милі на захід від своєї відправної точки. Знайдіть загальну відстань, яку Мішель пройшла від своєї відправної точки.

    Змішаний відгук

    1. Вирішити\((x−4)^2=121\).
    2. Що таке\(GCF\)\(21ab^4\) і\(15a^7b^2\)?
    3. Оцініть\(_10C_7\) і поясніть його значення.
    4. Фактор\(6x^2+17x+5\).
    5. Знайдіть площу прямокутника довжиною\((16+2m)\) і шириною\((12+2m)\).
    6. Фактор\(x^2−81\).

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 11.7.

    Лексика

    Термін Визначення
    Формула відстані Відстань між двома точками\) (x_1, y_1)\) та\) (x_2, y_2)\) можна визначити як\) d=\ sqrt {(x_2−x_1) ^2+ (y_2−y_1) ^2}\).
    Формула середньої точки Формула середньої точки говорить, що для кінцевих точок\((x_1,y_1)\) і\((x_2,y_2)\), середина є\((\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2})\).

    Додаткові ресурси

    Інтерактивний елемент

    Відео: Формула дистанції

    Діяльність: Питання обговорення формули відстані

    Практика: Формула відстані та алгебра

    Реальний світ: Карта SF - PythM