4.14: САС

Два набори відповідних сторін і включені кути доводять конгруентні трикутники.

Бічний кут-бічний постулат

Якщо дві сторони і включений кут в один трикутник конгруентні двом сторонам, а включений кут в інший трикутник, то два трикутника є конгруентними. (Коли кут знаходиться між двома заданими сторонами багатокутника, він називається включеним кутом.)

Малюнок$\PageIndex{1}$

$\overline{AC}\cong \overline{XZ}$,$\overline{BC}\cong YZ$, і$\angle C\cong \angle Z$, потім$\Delta ABC\cong \Delta XYZ$.

Це називається Постулатом Side Angle-Side (SAS), і це ярлик для доведення того, що два трикутники є конгруентними. Розміщення слова Angle є важливим, оскільки воно вказує на те, що кут, який ви задаєте, знаходиться між двома сторонами.

Малюнок$\PageIndex{2}$

$\angle B$буде включений кут для сторін$\overline{AB}$ і$\overline{BC}$.

Що робити, якщо вам дали два трикутники і надали лише дві їх довжини сторін і міру кута між цими двома сторонами? Як ви могли визначити, чи два трикутники були конгруентними?

Приклад$\PageIndex{1}$

Чи є пара трикутників конгруентна? Якщо так, напишіть заяву про конгруентність і чому.

Малюнок$\PageIndex{3}$

Рішення

Пара трикутників конгруентна постулатом SAS. $\Delta CAB\cong \Delta QRS$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Вкажіть додаткову інформацію, необхідну для того, щоб показати, що кожна пара трикутників є конгруентною.

Малюнок$\PageIndex{4}$

Рішення

Ми знаємо, що одна пара сторін і одна пара кутів конгруентні з діаграми. Для того, щоб знати, що трикутники конгруентні SAS, ми повинні знати, що пара сторін на іншій стороні кута є конгруентними. Отже, ми повинні це знати$\overline{EF}\cong \overline{BA}$.

Приклад$\PageIndex{3}$

Заповніть пропуски в доказі нижче.

Дано:

$\overline{AB}\cong \overline{DC},\: \overline{BE}\cong \overline{CE}$

Доведіть:$\Delta ABE\cong \Delta ACE$

Малюнок$\PageIndex{5}$

Рішення

Заява	Причина
1.	1.
2. $\angle AEB\cong \angle DEC$	2.
3. $\Delta ABE\cong \Delta ACE$	3.

Заява	Причина
1. $\overline{AB}\cong \overline{DC},\: \overline{BE}\cong \overline{CE}$	1. Враховується
2. $\angle AEB\cong \angle DEC$	2. Теорема вертикального кута
3. $\Delta ABE\cong \Delta ACE$	3. Постулат SAS

Приклад$\PageIndex{4}$

Яку додаткову інформацію вам потрібно показати, що ці два трикутники конгруентні, використовуючи Постулат SAS$\angle ABC\cong \angle LKM$,$\overline{AB}\cong LK\overline{AB}$,$\overline{BC}\cong \overline{KM}$, або$\angle BAC\cong \angle KLM$?

Малюнок$\PageIndex{6}$

Рішення

Для Постулату SAS потрібна сторона з іншого боку кута. В$\Delta ABC$, тобто$\overline{BC}$ і в$\Delta LKM$ тому є$\overline{KM}$. Відповідь є$\overline{BC}\cong \overline{KM}$.

Приклад$\PageIndex{5}$

Чи є пара трикутників конгруентна? Якщо так, напишіть заяву про конгруентність і чому.

Малюнок$\PageIndex{6}$

Рішення

Хоча трикутники мають дві пари сторін і одну пару кутів, які є конгруентними, кут не знаходиться в одному місці в обох трикутників. Перший трикутник підходить до SAS, а ось другий трикутник - SSA. Недостатньо інформації, щоб ми знали, чи є ці трикутники конгруентними.

Рецензія

Чи є пари трикутників конгруентними? Якщо так, напишіть заяву про конгруентність і чому.

1. 

   Малюнок$\PageIndex{7}$

2. 

   Малюнок$\PageIndex{7}$

3. 

   Малюнок$\PageIndex{7}$

Вкажіть додаткову інформацію, необхідну для того, щоб показати, що кожна пара трикутників є конгруентною SAS.

4. 

   Малюнок$\PageIndex{7}$

5. 

   Малюнок$\PageIndex{7}$

6. 

   Малюнок$\PageIndex{7}$

Заповніть пропуски в докази нижче.

7. Дано:
   • $B$є середньою точкою$\overline{DC}$
   • $\overline{AB}\perp \overline{DC}$

   Доведіть:$\Delta ABD\cong \Delta ABC$

   

   Малюнок$\PageIndex{8}$

Заява	Причина
1. $B$є середньою точкою$\overline{DC},\: \overline{AB}\perp \overline{DC}$	1.
2.	2. Визначення середньої точки
3. $\angle ABD$і$\angle ABC$ є прямими кутами	3.
4.	4. Всі прямі кути є\ cong\)
5.	5.
6. $\Delta ABD\cong \Delta ABC$	6.

8. Дано:
   • $\overline{AB}$є кутовою бісектрисою$\angle DAC$
   • $\overline{AD}\cong \overline{AC}$

   Доведіть:$\Delta ABD\cong \Delta ABC$

   

   Малюнок$\PageIndex{9}$

Заява	Причина
1.	1.
2. $\angle DAB\cong \angle BAC$	2.
3.	3. Рефлексивний$PoC$
4. $\Delta ABD\cong \Delta ABC$	4.

9. Дано:
   • $B$є середньою точкою$\overline{DE}$ і$\overline{AC}$
   • $\angle ABE$є прямим кутом

   Доведіть:$\Delta ABE\cong \Delta CBD$

   

   Малюнок$\PageIndex{10}$

Заява	Причина
1.	1. Враховується
2. $\overline{DB}\cong \overline{BE},\: \overline{AB}\cong \overline{BC}$	2.
3.	3. Визначення прямого кута
4.	4. Теорема вертикального кута
5. $\Delta ABE\cong \Delta CBD$	5.

10. Дано:
    • $\overline{DB}$є кутовою бісектрисою$\angle ADC$
    • $\overline{AD}\cong \overline{DC}$

    Доведіть:$\Delta ABD\cong \Delta CBD$

    

    Малюнок$\PageIndex{11}$

Заява	Причина
1.	1.
2. $\angle ADB \cong \angle BDC$	2.
3.	3.
4. $\Delta ABD\cong \Delta CBD$	4.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 4.7.

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
Базові кути	Базові кути рівнобедреного трикутника - це кути, утворені підставою і однією ніжкою трикутника.
Конгруентний	Конгруентні фігури ідентичні за розміром, формою і мірою.
Рівносторонній трикутник	Рівносторонній трикутник - це трикутник, у якого всі три сторони мають однакову довжину.
У комплекті Кут	Вхідний кут в трикутник - це кут між двома відомими сторонами.
SAS	SAS означає сторону, кут, сторону, і відноситься до того, що дві сторони і включений кут трикутника відомі.
Бічний кут бічного трикутника	Бічний кут бічний трикутник - це трикутник, де дві сторони і кут між ними відомі величини.
Конгруентність трикутника	Конгруентність трикутника виникає, якщо 3 сторони в одному трикутнику конгруентні 3 сторонам в іншому трикутнику.
Жорстке перетворення	Жорстке перетворення - це перетворення, яке зберігає відстань і кути, воно не змінює розмір або форму фігури.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Вступ до конгруентних трикутників

Діяльність: Питання обговорення конгруентності трикутника SAS

Навчальні посібники: Посібник з вивчення конгруентності три

Практика: SAS

Реальний світ: Конгруентність трикутника SSS