4.34: Розв'язування рівнянь з використанням теореми Піфагора

Використовуйте a-квадрат+b-квадрат = c-квадрат, щоб знайти відсутні довжини сторін прямих трикутників.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Гарі хоче побудувати скейтборд рампи, але це не може бути занадто крутим. Якщо у нього майданчик висотою 3 м і дошка довжиною 5 м, як далеко повинна відходити дошка від платформи?

У цій концепції ви дізнаєтеся, як вирішувати рівняння за допомогою теореми Піфагора.

Теорема Піфагора стверджує, що сума квадратів двох катетів прямокутного трикутника дорівнює квадрату гіпотенузи. У математичному реченні, де a і b - катети, а c - гіпотенуза, це виглядає так:

$c^2=a^2+b^2$

Математично ви можете використовувати це рівняння для вирішення будь-якої зі змінних, а не тільки для гіпотенузи.

Наприклад, прямокутний трикутник внизу має один катет рівний 3 і гіпотенузу 5.

Вирішіть для іншої ноги.

Малюнок$\PageIndex{2}$

По-перше, ви можете позначити або ніжку,$a$ або$b$. Пам'ятайте, що ноги - це ті сторони, що прилягають до прямого кута.

Далі заповніть теорему Піфагора ті значення, які ви знаєте.

$\begin{align*} c^2 &= a^2+b^2 \\ 5^2 &= 3^2+b^2 \end{align*}$

Потім виконайте розрахунки, які ви в змозі.

$25=9+b^2$

Пам'ятайте, що ваша мета - ізолювати невідому змінну на одній стороні рівняння. В даному випадку це b і він кріпиться до квадрата і а+9. Виконайте необхідні операції по ізоляції б.

$\begin{align*} 25−9 &= 9+b^2−9 \\ 16 &= b^2 \\ 4 &= b \end{align*}$

Відповідь 4.

Приклад$\PageIndex{1}$

Раніше вам дали проблему з приводу Гері та його пандуса для скейт-дошки.

Рішення

Одна сторона, основа, була 4 м, а дошка, гіпотенуза, - 5 м. якою висотою буде пандус?

Малюнок$\PageIndex{3}$

По-перше, підставляємо.

$5^2=3^2+b^2$

Далі виконуємо розрахунки.

$\begin{align*} 25 &= 9+b^2 \\ 25−9 &= 9+b^2−9 \end{align*}$

Потім визначте квадратні коріння.

$\begin{align*} 16 &= b^2 \\ 4 &= b \end{align*}$

Відповідь - 4 м. дошка Гері повинна простягатися на 4 м від основи платформи.

Приклад$\PageIndex{2}$

Вирішіть для b до найближчої десятої.

Малюнок$\PageIndex{4}$

Рішення

Спочатку візьміть задані довжини і підставляйте їх у формулу.

$\begin{align*} 4^2+b^2 &= 122 \\ 16+b^2 &= 144 \end{align*}$

Далі віднімаємо 16 з обох сторін рівняння.

$\begin{align*} 16−16+b^2 &= 144−16 \\ b^2 &= 128 \end{align*}$

Потім візьміть квадратний корінь обох сторін рівняння.

$b = 11.3137085 \ldots$

Круглі на десяте місце

$b\neq 11.3$

Відповідь - 11,3

Приклад$\PageIndex{3}$

Прямокутний трикутник включає розміри$a$,$b=6$ і$c=13$. Вирішити для\).

Рішення

По-перше, підставляємо.

$\begin{align*} c^2 &= a^2+b^2 \\ 13^2 &= a^2+6^2 \end{align*}$

Далі виконайте розрахунки, які ви в змозі.

$\begin{align*} 169 &= a^2+36 \\ 169−36 &= a^2+36−36 \\ 133 &= a^2 \\ 11.532582594 \ldots &= a \\ 11.5 &\approx a \end{align*}$

Відповідь є$a=11.5$.

Приклад$\PageIndex{4}$

Прямокутний трикутник з$a=8$$b$, і$c=12$

Рішення

По-перше, підставляємо.

$\begin{align*} c^2 &= a^2+b^2 \\ 12^2 &= 8^2+b^2 \end{align*}$

Далі виконуємо розрахунки.

$\begin{align*} 144 &= 64+b^2 \\ 144−64 &= 64+b^2−64 \end{align*}$

Потім визначте квадратні коріння.

$\begin{align*} 80 &= b^2 \\ 8.9 &\neq b \end{align*}$

Відповідь 8,9

Приклад$\PageIndex{5}$

Прямокутний трикутник з$a=6$$b$, і$c=10$

Рішення

По-перше, підставляємо.

$\begin{align*} c^2 &= a^2+b^2 \\ 10^2 &= 6^2+b^2 \end{align*}$

Далі виконуємо розрахунки.

$\begin{align*} 100 &= 36+b^2 \\ 100−36 &= 36+b^2−36 \end{align*}$

Потім визначте квадратні коріння.

$\begin{align*} 64 &= b^2 \\ 8 &= b \end{align*}$

Відповідь - 8.

Рецензія

Використовуйте теорему Піфагора, щоб знайти довжину кожної відсутньої ноги. Ви можете округлити до найближчої десятої, коли це необхідно.

1. $a=6, \:b=?, \:c=12$
2. $a=9, \:b=?, \:c=15$
3. $a=4, \:b=?, \:c=5$
4. $a=9, \:b=?, \:c=18$
5. $a=15, \:b=?, \:c=25$
6. $a=?, \:b=10, \:c=12$
7. $a=?, \:b=11,\: c=14$
8. $a=?,\: b=13,\: c=15$

Напишіть рівняння за допомогою теореми Піфагора і розв'яжіть кожну задачу.

Джоанна поклала дошку з дерева вниз, щоб зробити пандус, щоб вона могла котити тачку по низькій стіні в своєму саду. Стіна заввишки 1,5 метра, а дошка з дерева торкається землі в 2 метрах від стіни. Скільки коштує дерев'яна дошка?

9. Напишіть рівняння.
10. Вирішіть за відповідь.

Кріс їхав на своєму велосипеді в 4 милі на захід, а потім 3 милі на південь. На якій найкоротшій відстані він може проїхати назад до того місця, де він почав?

11. Напишіть рівняння.
12. Вирішити проблему.

Наомі вирізає трикутні латки, щоб зробити ковдру. Кожен має діагональну сторону 14,5 дюймів і коротку сторону 5,5 дюймів. Яка довжина третьої сторони кожного трикутного латки?

13. Напишіть рівняння.
14. Вирішити проблему.

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
Гіпотенуза	Гіпотенуза прямокутного трикутника - найдовша сторона прямокутного трикутника. Вона знаходиться поперек від прямого кута.
Ніжки прямокутного трикутника	Ніжки прямокутного трикутника - це дві коротші сторони прямокутного трикутника. Ноги примикають до прямого кута.
Теорема Піфагора	Теорема Піфагора - це математична залежність між сторонами прямокутного трикутника, задана$a^2+b^2=c^2$, де a і b - катети трикутника, а c - гіпотенуза трикутника.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Теорема Піфагора зі змінними: зразок застосування

Практика: Розв'язування рівнянь з використанням теореми Піфагора

Реальний світ: загадкові нотатки