4.35: Додатки, що використовують теорему Піфагора
- Page ID
- 54774
Задачі слів з використанням теореми Піфагора.
Теорема Піфагора та її зворотна мають багато застосувань для пошуку довжин та відстаней.
Застосування в реальному світі: Діагональна довжина
Марія має прямокутний лист печива, який вимірює\(10\: inches\times 14\: inches\). Знайдіть довжину діагоналі листа печива.
Намалюйте ескіз:

Визначити змінні: Нехай\(c= length\: of \:the\: diagonal\).
Напишіть формулу: Використовуйте теорему Піфагора:\(a^2+b^2=c^2\)
Розв'яжіть рівняння:
\(\begin{align*}10^2+14^2=c^2 \\ 100+196=c^2 \\ c^2=296\Rightarrow c=\sqrt{296}\Rightarrow c=2\sqrt{74} \:or\: c=17.2\: inches\end{align*}\)
Перевірка:\(10^2+14^2=100+196=296\) і\(c^2=17.2^2=296\). Рішення перевіряє.
Застосування в реальному світі: Площа затінених областей
Знайдіть площу затіненої області на наступній схемі:

Намалюйте діагональ квадрата на малюнку:

Зверніть увагу, що діагональ квадрата - це також діаметр кола.
Визначити змінні: Нехай\(c= diameter\: of\: the\: circle\).
Напишіть формулу: Використовуйте теорему Піфагора:\(a^2+b^2=c^2\).
Розв'яжіть рівняння:
\(\begin{align*}2^2+2^2=c^2 \\ 4+4=c^2 \\ c^2=8\Rightarrow c=\sqrt{8}\Rightarrow c=2\sqrt{2}\end{align*}\)
Діаметр окружності дорівнює\(2\sqrt{2}\), отже, радіус\(R=\sqrt{2}\).
Формула площі кола:\(A=\pi\cdot R^2=\pi(\sqrt{2})^2=2\pi\).
Таким чином, площа затіненої області є\(2\pi−4=2.28\).
Застосування в реальному світі: вимірювання сторін трикутника
У прямокутному трикутнику одна ніжка в два рази довша за іншу, а периметр - 28. Які міри сторін трикутника?
Зробіть ескіз і визначте змінні:

Нехай:\(a= length\: of \:the \:short \:leg\)
\(2a= length \:of \:the \:long \:leg\)
\(c= length \:of \:the \:hypotenuse\)
Напишіть формули:
Сторони трикутника пов'язані двома різними способами.
Периметр дорівнює 28, так\(a+2a+c=28\Rightarrow 3a+c=28\)
Трикутник - прямокутний трикутник, тому міри сторін повинні задовольняти теоремі Піфагора:
\(\begin{align*}&&&a^2+(2a)^2=c^2\Rightarrow a^2+4a^2=c^2\Rightarrow 5a^2=c^2 \\ &or& \qquad &c=a\sqrt{5}=2.236a\end{align*}\)
Розв'яжіть рівняння:
Підключіть щойно отримане нами значення c в рівняння периметра:\(3a+c=28\)
\(3a+2.236a=28\Rightarrow 5.236a=28\Rightarrow a=5.35\)
Коротка нога - це:\(a=5.35\)
Довга нога - це:\(2a=10.70\)
Гіпотенуза буває:\(c=11.95\)
Перевірка: Ніжки трикутника повинні задовольняти теоремі Піфагора:
\(a^2+b^2=5.35^2+10.70^2=143.1\),\(c^2=11.95^2=142.80\). Результати приблизно однакові.
Периметр трикутника повинен бути 28:
\(a+b+c=5.35+10.70+11.95=28\). Відповідь перевіряється.
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Майк завантажує рухомий фургон, піднімаючись по рампі. Пандус має довжину 10 футів, а ліжко фургона - 2,5 футів над землею. Як далеко пандус простягається повз задньої частини фургона?
Рішення
Робимо ескіз:

Визначити змінні: Нехай\(x= how\: far \:the \:ramp \:extends \:past \:the \:back \:of \:the \:van\).
Напишіть формулу: Використовуйте теорему Піфагора:\(x^2+2.5^2=10^2\)
Розв'яжіть рівняння:
\(\begin{align*} x^2+6.25=100 \\ x^2=93.5 \\ x=\sqrt{93.5}=9.7 ft\end{align*} \)
Перевірте, підключивши результат до теореми Піфагора:
\(9.7^2+2.5^2=94.09+6.25=100.34\neq 100\). Таким чином, пандус має довжину 10 футів. Відповідь перевіряється.
Рецензія
- Для того щоб зробити пандус, який\(3\:ft high and covers \(4\:ft\) із землі, скільки повинен бути пандус?
- Регулювання бейсбол алмаз є квадрат з 90 футів між базами. Як далеко друга основа від домашньої плити?
- У Емануеля є картонна коробка, яка вимірює\(20\: cm \:long \times 10 \:cm \:wide \times 8 \:cm \:deep\).
- Яка довжина діагоналі поперек дна коробки?
- Яка довжина діагоналі від нижнього кута до протилежного верхнього кута?
- Самуїл ставить сходи проти свого будинку. Підстава сходів знаходиться в 6 футах від будинку, а сходи довжиною 10 футів.
- Наскільки високо над землею сходи торкаються стіни будинку?
- Якщо край даху знаходиться на відстані 10 футів від землі і стирчить 1,5 футів за стіну, як далеко він знаходиться від краю даху до верхньої частини сходів?
- Знайдіть площу трикутника нижче, якщо площа трикутника визначена як A=12 base\ times висота:
Малюнок\(\PageIndex{6}\) - Замість того, щоб ходити по двох сторонам прямокутного поля, Маріо вирішив перерізати поперек діагоналі. Він таким чином економить відстань, яка становить половину довгої сторони поля.
- Знайдіть довжину довгої сторони поля, враховуючи, що коротка сторона становить 123 фути.
- Знайдіть довжину діагоналі.
- Маркус пливе на північ, а Сандра відпливає на схід від тієї ж відправної точки. За дві години човен Маркуса знаходиться в 35 милі від початкової точки, а човен Сандри - в 28 милі від початкової точки.
- Як далеко човни один від одного?
- Сандра потім пливе 21 милю через північ, поки Маркус залишається на місці. Як далеко Сандра від початкової відправної точки?
- Як далеко Сандра від Маркуса?
- Визначте площу кола нижче. (Підказка: гіпотенуза трикутника - це діаметр кола.)
Малюнок\(\PageIndex{7}\) - Довжина прямокутника\(1\:in\) довша за його ширину, а діагональ має довжину\(29\:in\). Які довжини сторін прямокутника?
- Для рівнобедреного трикутника зі сторонами заданої довжини знайдіть довжину кожної гіпотенузи:
- 1
- 2
- 3
- \(n\)
Лексика
Термін | Визначення |
---|---|
зворотний | Якщо умовний оператор є\(p\rightarrow q\) (\(p\)if, то\(q\)), то зворотним є\(q\rightarrow p\) (if\(q\), то\(p\)). Зауважте, що зворотне твердження не відповідає дійсності лише тому, що оригінальне твердження є істинним. |
Додаткові ресурси
Відео: Рішення проблем слів за участю квадратних коренів - огляд
Практика: Додатки з використанням теореми Піфагора