4.35: Додатки, що використовують теорему Піфагора
Задачі слів з використанням теореми Піфагора.
Теорема Піфагора та її зворотна мають багато застосувань для пошуку довжин та відстаней.
Застосування в реальному світі: Діагональна довжина
Марія має прямокутний лист печива, який вимірює10\: inches\times 14\: inches. Знайдіть довжину діагоналі листа печива.
Намалюйте ескіз:

Визначити змінні: Нехайc= length\: of \:the\: diagonal.
Напишіть формулу: Використовуйте теорему Піфагора:a^2+b^2=c^2
Розв'яжіть рівняння:
\begin{align*}10^2+14^2=c^2 \\ 100+196=c^2 \\ c^2=296\Rightarrow c=\sqrt{296}\Rightarrow c=2\sqrt{74} \:or\: c=17.2\: inches\end{align*}
Перевірка:10^2+14^2=100+196=296 іc^2=17.2^2=296. Рішення перевіряє.
Застосування в реальному світі: Площа затінених областей
Знайдіть площу затіненої області на наступній схемі:

Намалюйте діагональ квадрата на малюнку:

Зверніть увагу, що діагональ квадрата - це також діаметр кола.
Визначити змінні: Нехайc= diameter\: of\: the\: circle.
Напишіть формулу: Використовуйте теорему Піфагора:a^2+b^2=c^2.
Розв'яжіть рівняння:
\begin{align*}2^2+2^2=c^2 \\ 4+4=c^2 \\ c^2=8\Rightarrow c=\sqrt{8}\Rightarrow c=2\sqrt{2}\end{align*}
Діаметр окружності дорівнює2\sqrt{2}, отже, радіусR=\sqrt{2}.
Формула площі кола:A=\pi\cdot R^2=\pi(\sqrt{2})^2=2\pi.
Таким чином, площа затіненої області є2\pi−4=2.28.
Застосування в реальному світі: вимірювання сторін трикутника
У прямокутному трикутнику одна ніжка в два рази довша за іншу, а периметр - 28. Які міри сторін трикутника?
Зробіть ескіз і визначте змінні:

Нехай:a= length\: of \:the \:short \:leg
2a= length \:of \:the \:long \:leg
c= length \:of \:the \:hypotenuse
Напишіть формули:
Сторони трикутника пов'язані двома різними способами.
Периметр дорівнює 28, такa+2a+c=28\Rightarrow 3a+c=28
Трикутник - прямокутний трикутник, тому міри сторін повинні задовольняти теоремі Піфагора:
\begin{align*}&&&a^2+(2a)^2=c^2\Rightarrow a^2+4a^2=c^2\Rightarrow 5a^2=c^2 \\ &or& \qquad &c=a\sqrt{5}=2.236a\end{align*}
Розв'яжіть рівняння:
Підключіть щойно отримане нами значення c в рівняння периметра:3a+c=28
3a+2.236a=28\Rightarrow 5.236a=28\Rightarrow a=5.35
Коротка нога - це:a=5.35
Довга нога - це:2a=10.70
Гіпотенуза буває:c=11.95
Перевірка: Ніжки трикутника повинні задовольняти теоремі Піфагора:
a^2+b^2=5.35^2+10.70^2=143.1,c^2=11.95^2=142.80. Результати приблизно однакові.
Периметр трикутника повинен бути 28:
a+b+c=5.35+10.70+11.95=28. Відповідь перевіряється.
Приклад\PageIndex{1}
Майк завантажує рухомий фургон, піднімаючись по рампі. Пандус має довжину 10 футів, а ліжко фургона - 2,5 футів над землею. Як далеко пандус простягається повз задньої частини фургона?
Рішення
Робимо ескіз:

Визначити змінні: Нехайx= how\: far \:the \:ramp \:extends \:past \:the \:back \:of \:the \:van.
Напишіть формулу: Використовуйте теорему Піфагора:x^2+2.5^2=10^2
Розв'яжіть рівняння:
\begin{align*} x^2+6.25=100 \\ x^2=93.5 \\ x=\sqrt{93.5}=9.7 ft\end{align*}
Перевірте, підключивши результат до теореми Піфагора:
9.7^2+2.5^2=94.09+6.25=100.34\neq 100. Таким чином, пандус має довжину 10 футів. Відповідь перевіряється.
Рецензія
- Для того щоб зробити пандус, який3\:ft high and covers \(4\:ft із землі, скільки повинен бути пандус?
- Регулювання бейсбол алмаз є квадрат з 90 футів між базами. Як далеко друга основа від домашньої плити?
- У Емануеля є картонна коробка, яка вимірює20\: cm \:long \times 10 \:cm \:wide \times 8 \:cm \:deep.
- Яка довжина діагоналі поперек дна коробки?
- Яка довжина діагоналі від нижнього кута до протилежного верхнього кута?
- Самуїл ставить сходи проти свого будинку. Підстава сходів знаходиться в 6 футах від будинку, а сходи довжиною 10 футів.
- Наскільки високо над землею сходи торкаються стіни будинку?
- Якщо край даху знаходиться на відстані 10 футів від землі і стирчить 1,5 футів за стіну, як далеко він знаходиться від краю даху до верхньої частини сходів?
- Знайдіть площу трикутника нижче, якщо площа трикутника визначена як A=12 base\ times висота:
Малюнок\PageIndex{6} - Замість того, щоб ходити по двох сторонам прямокутного поля, Маріо вирішив перерізати поперек діагоналі. Він таким чином економить відстань, яка становить половину довгої сторони поля.
- Знайдіть довжину довгої сторони поля, враховуючи, що коротка сторона становить 123 фути.
- Знайдіть довжину діагоналі.
- Маркус пливе на північ, а Сандра відпливає на схід від тієї ж відправної точки. За дві години човен Маркуса знаходиться в 35 милі від початкової точки, а човен Сандри - в 28 милі від початкової точки.
- Як далеко човни один від одного?
- Сандра потім пливе 21 милю через північ, поки Маркус залишається на місці. Як далеко Сандра від початкової відправної точки?
- Як далеко Сандра від Маркуса?
- Визначте площу кола нижче. (Підказка: гіпотенуза трикутника - це діаметр кола.)
Малюнок\PageIndex{7} - Довжина прямокутника1\:in довша за його ширину, а діагональ має довжину29\:in. Які довжини сторін прямокутника?
- Для рівнобедреного трикутника зі сторонами заданої довжини знайдіть довжину кожної гіпотенузи:
- 1
- 2
- 3
- n
Лексика
Термін | Визначення |
---|---|
зворотний | Якщо умовний оператор єp\rightarrow q (pif, тоq), то зворотним єq\rightarrow p (ifq, тоp). Зауважте, що зворотне твердження не відповідає дійсності лише тому, що оригінальне твердження є істинним. |
Додаткові ресурси
Відео: Рішення проблем слів за участю квадратних коренів - огляд
Практика: Додатки з використанням теореми Піфагора