4.23: Медіани

Відрізок лінії, який з'єднує вершину і середину протилежної сторони трикутника.

У трикутнику відрізок лінії, який з'єднує вершину і середину протилежної сторони, називається медіаною.

Малюнок$\PageIndex{1}$

\ overline {LO}\) - медіана від L\) до середини\ overline {NM}\).

Якщо ви намалюєте всі три медіани, вони перетинаються в одній точці, яка називається центроїдом.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Центроїд - це «точка балансування» трикутника. Це означає, що якщо ви повинні були вирізати трикутник, центроїд є його центром ваги, щоб ви могли врівноважити його там.

Малюнок$\PageIndex{3}$

Теорема Медіани стверджує, що медіани трикутника перетинаються в точці, яка називається центроїдом, що становить дві третини відстані від вершин до середини протилежних сторін.

Отже$G$, якщо центроїд, то:

$AG=\dfrac{2}{3} AD, CG=\dfrac{2}{3} CF,\:EG=\dfrac{2}{3} BE$

$DG=\dfrac{1}{3} AD, FG=\dfrac{1}{3} CF,\:BG=\dfrac{1}{3} BE$

$And\: by \:substitution:DG =\dfrac{1}{2} AG,\:FG=\dfrac{1}{2} CG,\:BG=\dfrac{1}{2} EG$

Малюнок$\PageIndex{4}$

Приклад$\PageIndex{1}$

$B$,$D$, і$F$ є серединами кожної сторони і$G$ є центроїдом. Якщо$CG=16$, знайдіть$GF$ і$CF$.

Малюнок$\PageIndex{5}$

Рішення

Використовуйте теорему медіани.

$\begin{align*} CG&=\dfrac{2}{3} CF \\ 16&=\dfrac{2}{3} CF \\ CF&=24.\end{align*}$

Тому,$GF=8$.

Приклад$\PageIndex{2}$

True або false: Медіана перетинає сторону, яку вона перетинає.

Рішення

Це твердження вірно. За визначенням, медіана перетинає сторону трикутника в його середній точці. Середині розділіть відрізки на дві рівні частини.

Приклад$\PageIndex{3}$

$I$,$K$, і$M$ є серединами сторін$\Delta HJL$.

Малюнок$\PageIndex{6}$

Рішення

Якщо$JM=18$, знайдіть$JN$ і$NM$. Якщо$HN=14$, знайдіть$NK$ і$HK$.

Використовуйте теорему медіани.

$JN=\dfrac{2}{3} \cdot 18=12. NM=JM−JN=18−12$. $NM=6$.

$14=\dfrac{2}{3} \cdot HK$

$14\cdot \dfrac{3}{2} =HK=21$. $NK$третина з 21,$NK=7$.

Приклад$\PageIndex{4}$

Н - центроїд$\Delta ABC$ і$DC=5y−16$. Знайти$x$ і$y$.

Малюнок$\PageIndex{7}$

Рішення

Для розв'язання використовуйте теорему Медіани. Налаштуйте та вирішуйте рівняння.

$\begin{align*} \dfrac{1}{2} BH=HF &\rightarrow BH=2HF &\qquad HC=\dfrac{2}{3} DC &\rightarrow \dfrac{3}{2} HC=DC \\ 3x+6&=2(2x−1) &\qquad \dfrac{3}{2} (2y+8)&=5y−16\\ 3x+6&=4x−2 &\qquad 3y+12 &=5y−16 \\ 8&=x &\qquad 28&=2y\rightarrow 14=y\end{align*}$

Приклад$\PageIndex{5}$

$B$,$D$, і$F$ середні точки кожної сторони, а G - центроїд. Якщо$BG=5$, знайдіть$GE$ і$BE$

Малюнок$\PageIndex{8}$

Рішення

Використовуйте теорему медіани.

$\begin{align*} BG&=\dfrac{1}{3} BE \\ 5&=\dfrac{1}{3} BE \\ BE&=15.\end{align*}$

Тому,$GE=10$.

Рецензія

Для питань 1-4$B$,$D$,, і$F$ є серединами кожної сторони і$G$ є центроїдом. Знайдіть наступні довжини.

Малюнок$\PageIndex{9}$

1. Якщо$CG=16$, знайдіть$GF$ і$CF$
2. Якщо$AD=30$, знайдіть$AG$ і$GD$
3. Якщо$GF=x$, знайдіть$GC$ і$CF$
4. Якщо$AG=9x$ і$GD=5x−1$, знайдіть$x$ і$AD$.

Багатоступінчасті задачі Знайти рівняння медіани в площині x−y\).

5. Ділянка$\Delta ABC:\:A(−6,4)$,\ :B (−2,4)\)\ :і\ :C (6, −4)\)
6. Знайдіть середню точку$\overline{AC}$. Позначте його$D$.
7. Знайдіть ухил$\overline{BD}$.
8. Знайдіть рівняння$\overline{BD}$.
9. Ділянка$\Delta DEF:\: D(−1,5),\:E(1,0),\:F(6,3)$
10. Знайдіть середню точку$\overline{EF}$. Позначте його$G$.
11. Знайдіть ухил$\overline{DG}$.
12. Знайдіть рівняння\$overline{DG}$.

Визначте, чи є таке твердження істинним чи хибним.

13. Центроїд - це точка балансування трикутника.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 5.4.

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
центроїд	Центроїд - це точка перетину медіан в трикутнику.
Медіана	Медіана трикутника - це відрізок лінії, який з'єднує вершину з середньою точкою протилежної сторони.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Медіани трикутника

Види діяльності: Медіан Дискусійні питання

Навчальні посібники: Бісектриси, Медіани, Посібник з вивчення висот

Реальний світ: Медіани