4.22: Конкурс і конструкції

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 4.21: Кутові бісектриси в трикутниках
- 4.23: Медіани

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Конструкції, пов'язані з теоремами, що включають окружні центри та інші точки перетину трьох і більше ліній.

З огляду на трикутник, яка різниця між вписаним колом трикутника та описаним кругом трикутника?

Вписані та описані кола трикутників

Враховуючи трикутник, вписане коло є найбільшим колом, що міститься в трикутнику. Вписане коло буде стосуватися кожної з трьох сторін трикутника рівно в одній точці. Центр кола, вписаного в трикутник, - це вцентр трикутника, точка, де зустрічаються бісектриси кута трикутника.

Для побудови вписаного кола:

Побудуйте інцентр.
Побудуйте лінію, перпендикулярну одній стороні трикутника, яка проходить через центр. Відрізок, що з'єднує інцентр з точкою перетину трикутника і перпендикулярною лінією, є радіусом кола.
Побудуйте коло з центром у центрі з радіусом, знайденим на кроці 2.

Етапи побудови вписаного кола для даного трикутника будуть досліджені в задачах нижче.

Задано трикутник, описане коло - це коло, яке проходить через всі три вершини трикутника. Центр описуваної окружності - це окружний центр трикутника, точка, де зустрічаються перпендикулярні бісектриси сторін.

Для побудови описаного кола:

Побудуйте центр окружності.
Побудувати коло по центру окружності, що проходить через одну з вершин. Цей же коло повинен проходити через всі три вершини.

Етапи побудови описаного кола для заданого трикутника будуть розглянуті в розділі Приклади.

Побудова кутових бісектрис

Намалюйте трикутник. Побудувати бісектриси кута двох його кутів. Чому точка перетину двох кутових бісектрис є інцентром кола?

Використовуйте компас і straightedge, щоб побудувати бісектрису кута одного з кутів.

Повторіть з другим кутом.

Точка перетину бісектрис кута - це інцентр. Не потрібно будувати всі три кутові бісектриси, оскільки всі вони зустрічаються в одній точці. Третя бісектриса кута не дає жодної нової інформації.

Побудова перпендикулярних ліній

Побудуйте лінію, перпендикулярну одній стороні трикутника, яка проходить через центр трикутника.

Використовуйте компас і straightedge, щоб побудувати лінію, перпендикулярну одній стороні трикутника, яка проходить через центр.

Побудова вписаних кіл

Побудуйте коло з центром у центрі, яке проходить через точку перетину сторони трикутника і перпендикулярної лінії від задачі вище.

Зверніть увагу, що це коло стосується кожної сторони трикутника рівно один раз.

Приклад $\PageIndex{1}$

Раніше вас запитали, в чому різниця між вписаною окружністю трикутника і описаної окружністю трикутника.

Рішення

Вписана окружність трикутника знаходиться всередині трикутника. Описується коло трикутника знаходиться поза трикутником.

Приклад $\PageIndex{2}$

Намалюйте трикутник. Побудувати перпендикулярні бісектриси двох його сторін. Чому точка перетину двох перпендикулярних бісектрис є центром окружності?

Рішення

Використовуйте компас і straightedge, щоб побудувати перпендикулярну бісектрису однієї сторони.

Повторіть з другою стороною.

Точка перетину перпендикулярних бісектрис - циркуцентр. Не потрібно будувати всі три перпендикулярні бісектриси, оскільки всі вони зустрічаються в одній точці. Третя перпендикулярна бісектриса не дає жодної нової інформації.

Приклад $\PageIndex{3}$

Продовжуйте з трикутником з #2. Побудувати описану окружність трикутника.

Рішення

Побудувати коло по центру окружності, що проходить через одну з вершин трикутника. Ця окружність повинна проходити через всі три вершини.

Приклад $\PageIndex{4}$

Обґрунтуйте твердження: гіпотенузою прямокутного трикутника буде діаметром описаної окружності трикутника.

Рішення

Кожен з кутів, що складають трикутник, стають вписаними кутами описаного кола. $90^{\circ}$ Кут буде перехоплювати дугу $180^{\circ}$ , яка становить половину кола. Тому сторона, протилежна $90^{\circ}$ куту трикутника, повинна бути діаметром кола.

Рецензія

1. Намалюйте трикутник і побудуйте бісектрису кута двох його кутів.

2. Продовжуйте з трикутником з #1. Побудуйте лінію, перпендикулярну одній стороні трикутника, яка проходить через центр трикутника.

3. Продовжуйте з трикутником #1 і #2. Побудувати вписане коло трикутника.

4. Чому не потрібно було будувати бісектрису кута всіх трьох кутів трикутника?

5. Поясніть, чому інцентр рівновіддалений від кожної зі сторін трикутника.

6. Намалюйте трикутник і побудуйте перпендикулярну бісектрису двох його сторін.

7. Продовжуйте з трикутником з #5. Побудувати описану окружність трикутника.

8. Поясніть, чому центр окружності рівновіддалений від кожної з вершин трикутника.

Ви працюєте, продаючи їжу з фуд-вантажівки в місцевому парку. Ви хочете розташувати свою вантажівку так, щоб вона була на однаковій відстані від кожного з трьох місць, показаних на карті нижче.

F-D_A21CE87025FFFCB0C3185049 ЕФ Кабель 7 ЕСЕА А997396121C40A84AEEDB+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{12}$

9. Чи є точка інтересу інцентром або циркумцентром?

10. Знайдіть точку на карті, яка знаходиться на рівновіддаленій від кожної з трьох локацій.

11. Як ви могли скласти карту в двох місцях, щоб знайти точку, рівновіддалену від кожної з трьох локацій?

У вашому місті буде побудована нова початкова школа. План полягає в тому, щоб побудувати школу так, щоб вона перебувала на однаковій відстані від кожної з трьох основних доріг, показаних на карті нижче.

12. Чи є точка інтересу інцентром або циркумцентром?

13. Знайдіть на карті точку, яка знаходиться на рівновіддаленій від кожної з трьох доріг.

14. Як ви могли скласти карту в двох місцях, щоб знайти точку, рівновіддалену від кожної з трьох доріг?

15. Обґрунтуйте наступне твердження: З урахуванням будь-яких трьох неколінеарних точок існує рівно одне коло, яке проходить через точки.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 8.5.

Лексика

Термін	Визначення
перпендикулярна бісектриса	Перпендикулярна бісектриса відрізка лінії проходить через середину відрізка лінії і перетинає відрізок лінії в $90^{\circ}$ .
Вписане коло трикутника	Найбільше коло міститься всередині трикутника. Вписане коло буде просто стосуватися кожної з трьох сторін трикутника (вона дотична до кожної з трьох сторін трикутника).

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент