4.21: Кутові бісектриси в трикутниках

Конструкція і властивості бісектрис, які розрізають кути навпіл.

Теорема про бісектрису кута

Бісектриса кута розрізає кут рівно навпіл. Однією з важливих властивостей бісектриси кута є те, що якщо точка знаходиться на бісектрисі кута, то точка рівновіддалена від сторін кута. Це називається теоремою бісектриси кута.

Іншими словами, якщо$\overrightarrow{BD}$$\angle ABC$ розсікає$\overrightarrow{BA}\perp FD\overline{AB}$, і,$\overrightarrow{BC}\perp \overline{DG}$ то$FD=DG$.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Вірно і зворотне значення цієї теореми.

Теорема бісектриси кута Converse: Якщо точка знаходиться всередині кута і рівновіддалена від сторін, то вона лежить на бісектрисі цього кута.

Коли ми будуємо кутові бісектриси для кутів трикутника, вони зустрічаються в одній точці. Ця точка називається інцентром трикутника.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Що робити, якщо вам сказали, що$\overrightarrow{GJ}$ це бісектриса кута$\angle FGH$? Як би ви знайшли довжину$FJ$ даної довжини$HJ$?

Приклад$\PageIndex{1}$

Чи достатньо інформації, щоб визначити, чи$\overrightarrow{AB}$ є кутова бісектриса$\angle CAD$? Чому чи чому ні?

Малюнок$\PageIndex{3}$

Рішення

Ні, тому$B$ що не обов'язково рівновіддалений від$\overline{AC}$ і$\overline{AD}$. Ми не знаємо, чи кути на схемі є прямими кутами.

Приклад$\PageIndex{2}$

$108^{\circ}$Кут розділений навпіл. Які міри одержуваних кутів?

Рішення

Ми знаємо, що розрізати навпіл означає розрізати навпіл, тому кожен з отриманих кутів складе половину 108. Міра кожного отриманого кута дорівнює$54^{\circ}$.

Приклад$\PageIndex{3}$

Чи є$Y$ на куті бісектриси$\angle XWZ$?

Малюнок$\PageIndex{4}$

Рішення

Якщо$Y$ на куті бісектриса, то$XY=YZ$ і обидва відрізки потрібно перпендикулярно сторонам кута. З маркувань ми знаємо$\overline{XY}\perp \overrightarrow{WX}$ і$\overline{ZY}\perp \overrightarrow{WZ}$. По-друге,$XY=YZ=6$. Так, так,$Y$ знаходиться на куті бісектриси$\angle XWZ$.

Приклад$\PageIndex{4}$

$\overrightarrow{MO}$є кутом бісектриси$\angle LMN$. Знайдіть міру$x$.

Малюнок$\PageIndex{5}$

Рішення

$LO=ON$за теоремою кутової бісектриси.

$\begin{align*} 4x−5&=23 \\ 4x&=28 \\ x&=7\end{align*}$

Приклад$\PageIndex{5}$

$\overrightarrow{AB}$є кутом бісектриси$\angle CAD$. Вирішити для відсутньої змінної.

Малюнок$\PageIndex{6}$

Рішення

$CB=BD$за теоремою бісектриси кута, так що ми можемо встановити і вирішити рівняння для$x$.

$\begin{align*} x+7&=2(3x−4) \\ x+7&=6x−8 \\ 15x&=5 \\ x&=3\end{align*}$

Рецензія

Для питань 1-4$\overrightarrow{AB}$ - це кут бісектриси$\angle CAD$. Вирішити для відсутньої змінної.

1. 

   Малюнок$\PageIndex{7}$

2. 

   Малюнок$\PageIndex{8}$

3. 

   Малюнок$\PageIndex{9}$

4. 

   Малюнок$\PageIndex{10}$

Чи достатньо інформації, щоб визначити, чи$\overrightarrow{AB}$ є бісектриса кута\ кута CAD? Чому чи чому ні?

5. 

   Малюнок$\PageIndex{11}$

6. 

   Малюнок$\PageIndex{12}$

7. У якому типі трикутника всі бісектриси кута будуть проходити через вершини трикутника?
8. Як інша назва кутових бісектрис вершин квадрата?
9. Намалюйте в кутових бісектрисах вершин квадрата. Скільки у вас трикутників? Який тип трикутників вони бувають?
10. Заповніть пробіли в теоремі бісектриси кута Converse.

    

    Малюнок$\PageIndex{13}$

Дано:$\overline{AD}\cong \overline{DC}$, такі, що$AD$ і$DC$ є найкоротші відстані до$\overrightarrow{BA}$ і$\overrightarrow{BC}$

Доведіть:$\overrightarrow{BD} bisects \angle ABC$

Заява	Причина
1.	1.
2.	2. Найкоротша відстань від точки до лінії перпендикулярно.
3. $\angle DAB$і$\angle DCB$ є прямими кутами	3.
4. $\angle DAB\cong \angle DCB$	4.
5. $\overline{BD}\cong \overline{BD}$	5.
6. $\Delta ABD\cong \Delta CBD$	6.
7.	7. CPCTC
8. $\overrightarrow{BD}$бісекти$\angle ABC$	8.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 5.3.

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
бісектриса кута	Бісектриса кута - це промінь, який розділяє кут на два конгруентні менші кути.
Теорема про бісектрису кута	Теорема бісектриси кута стверджує, що якщо точка знаходиться на бісектрисі кута, то точка рівновіддалена від сторін кута.
Теорема про бісектрису кута	Теорема бісектриси кута converse стверджує, що якщо точка знаходиться всередині кута і рівновіддалена від сторін, то вона лежить на бісектрисі цього кута.
в центрі	Incenter - точка перетину бісектрис кута в трикутнику.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Приклади: Розв'язування невідомих значень з використанням властивостей кутових бісектрис

Діяльність: Кутові бісектриси в трикутниках Питання обговорення

Навчальні посібники: Бісектриси, Медіани, Посібник з вивчення висот

Практика: Кутові бісектриси в трикутниках

Реальний світ: перпендикулярні бісектриси