Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.20: Перпендикулярні бісектриси

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54854

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Перетинайте відрізки ліній в їх середніх точках і утворюйте з ними кути 90 градусів.

    Теорема перпендикулярної бісектриси

    Перпендикулярна бісектриса - це лінія, яка перетинає відрізок лінії в середній точці і перпендикулярна цьому відрізку лінії, як показано в конструкції нижче.

    F-D_0054a8 ББД 92Б7Д92С25102801d5f33916c748b55E3A7E469Б417AB7+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Однією з важливих властивостей, пов'язаних з перпендикулярними бісектрисами, є те, що якщо точка знаходиться на перпендикулярній бісектрисі відрізка, то вона рівновіддалена від кінцевих точок відрізка. Це називається теоремою перпендикулярної бісектриси.

    Якщо\(\overleftrightarrow{CD}\perp \overline{AB}\) і\(AD=DB\), то\(AC=CB\).

    F-д_10068Б965Ф 8675Ф76987Д02А312Д41 Е95Е98043C7E94606FE0+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий_png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    На додаток до теореми перпендикулярної бісектриси, вірно і зворотне.

    Перпендикулярна теорема бісектриси Converse: Якщо точка рівновіддалена від кінцевих точок відрізка, то точка знаходиться на перпендикулярній бісектрисі відрізка.

    Використовуючи малюнок вище: Якщо\(AC=CB\), то\(\overleftrightarrow{CD}\perp \overline{AB}\) і\(AD=DB\).

    Коли ми будуємо перпендикулярні бісектриси для сторін трикутника, вони зустрічаються в одній точці. Цю точку називають окружним центром трикутника.

    F-д_433867С262А197619126 АА70690А13ЕЕ5С0113Е96Б675ФЕ9Б58+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Що робити, якщо вам дали\(\Delta FGH\) і\(\overleftrightarrow{GJ}\) сказали, що це перпендикулярна бісектриса\(\overline{FH}\)? Як ви могли знайти довжину FG з урахуванням довжини GH\)?

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    \(\overleftrightarrow{OQ}\)перпендикулярна бісектриса\(\overline{MP}\).

    F-д_д140А87Б58FF Додати 3d36edc320117693b93087C6E3ec495201dc7A79+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    Які відрізки лінії рівні? Знайти\(x\). \(L\)Ввімкнуто\(\overleftrightarrow{OQ}\)? Звідки ти знаєш?

    Рішення

    \(ML=LP\),\(MO=OP\), і\(MQ=QP\).

    \(\begin{align*} 4x+3&=11 \\ 4x&=8 \\ x&=2\end{align*} \)

    Так,\(L\) відбувається\(\overleftrightarrow{OQ}\) тому, що\(ML=LP\) (перпендикулярна теорема бісектриси Converse).

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Визначте\(\overleftrightarrow{ST}\), чи є перпендикулярна бісектриса\(\overline{XY}\). Поясніть, чому чи чому ні.

    Ф-Д_БА 8КД 1Д238А32Е6042С6684Б025Е2ФЕ8649 CF0561AAF7F0133B2A33+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{5}\)

    Рішення

    \(\overleftrightarrow{ST}\)не обов'язково перпендикулярна бісектриса,\(\overline{XY}\) тому що недостатньо інформації наведено на діаграмі. Немає ніякого способу дізнатися з діаграми, якщо\(\overleftrightarrow{ST}\) буде розширюватися, щоб зробити прямий кут с\(\overline{XY}\).

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Якщо\(\overleftrightarrow{MO}\) − перпендикулярна бісектриса\(\overline{LN}\) і\(LO=8\), що таке\(ON\)?

    F-D_593C64E8750b5E1 гонорар 95061 фут CC627266b90ddb0EE3d831b2698bfd+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{6}\)

    Рішення

    За теоремою перпендикулярної бісектриси,\(LO=ON\). Отже,\(ON=8\).

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Знайдіть\(x\) і довжину кожного відрізка.

    F-д_Д62212БФ 781061578 ЕС8А 3Д 856957327d4d0135362022CC2Фаб64223+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий_png
    Малюнок\(\PageIndex{7}\)

    Рішення

    \(\overleftrightarrow{WX}\)− перпендикулярна бісектриса\(\overline{XZ}\) та від теореми перпендикулярної бісектриси\(WZ=WY\).

    \(\begin{align*} 2x+11&=4x−5 \\ 16&=2x \\ 8&=x \end{align*}\)

    \(WZ=WY=2(8)+11=16+11=27\).

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Знайдіть значення\(x\). \(m\)перпендикулярна бісектриса\(AB\).

    F-D_9C98810069114D983C1CBE4082СБ1А14714Е7АА8БФ739Д7219Е56Ф75+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{8}\)

    Рішення

    За теоремою перпендикулярної бісектриси обидва відрізки рівні. Налаштуйте та вирішуйте рівняння.

    \(\begin{align*}3x−8&=2x \\ x&=8 \end{align*} \)

    Рецензія

    Для питань 1-4 знайти значення\(x\). m\) - перпендикулярна бісектриса\( AB\).

    1. F-д_Б9БФ 9451Д251С95АК БББ 6А1961ФКД96Б748Е0Б 2ФДД 3740C944DA7D8+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{9}\)
    2. F-D_8cd75df7460340F3113c9d63ed8a56ABC601cdc524ddc8E324A22CE+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{10}\)
    3. F-д_Е7Д129С791238E0651 Абеб Ф 64186631Б8С4055А8Б9Д86А0Е55Б6Б7Е+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{11}\)
    4. Ф-Д_Ф45ДФ 1Е4АЕ 448 АЦК 0Б8925Ф78 БКСД 009С3884Д5936301Б9ДФ Е2Б0Б19+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{12}\)

    m - перпендикулярна бісектриса\(\overline{AB}\).

    F-д_3Ф4А 69С812А036Д0С50Д4 АБ 9748Е12А9Д25469844716Б4Ф28208264+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{13}\)
    1. Перерахуйте всі конгруентні сегменти.
    2. \(C\)Ввімкнуто\(m\)? Чому чи чому ні?
    3. \(D\)Ввімкнуто\(m\)? Чому чи чому ні?

    Для питання 8 визначте, чи\(\overleftrightarrow{ST}\) є перпендикулярна бісектриса\ overline {XY}\). Поясніть, чому чи чому ні.

    1. F-D_43003 ЕДФ 4Ф672614 ББ3С97БФА99С1ЕФФ92007Б80Б5ДБ5ДБ1С710845+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG\(\Індекс сторінки малюнка {14}\)
    2. У якому типі трикутника всі перпендикулярні бісектриси будуть проходити через вершини трикутника?
    3. Заповніть пробіли доказу теореми перпендикулярної бісектриси.
      F-D_AA0B 60973 АА71823 ФАД CFC 9679C997E77C35E582E866E4541C2C2C5EB+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{15}\)

    Задано:\(\overleftrightarrow{CD}\) перпендикулярна бісектриса\(\overline{AB}\)

    Доведіть:\(\overline{AC}\cong \overline{CB}\)

    Заява Причина
    1. 1.
    2. \(D\)є середньою точкою\(\overline{AB}\) 2.
    3. 3. Визначення середньої точки
    4. \(\angle CDA\)і\(\angle CDB\) є прямими кутами 4.
    5. \(\angle CDA\cong \angle CDB\) 5.
    6. 6. Рефлексивний PoC
    7. \(\Delta CDA\cong \Delta CDB\) 7.
    8. \(\overline{AC}\cong \overline{CB}\) 8.

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 5.2.

    Лексика

    Термін Визначення
    циркумцентр Окружний центр - точка перетину перпендикулярних бісектрис сторін в трикутнику.
    перпендикулярна бісектриса Перпендикулярна бісектриса відрізка лінії проходить через середину відрізка лінії і перетинає відрізок лінії в\(90^{\circ}\).
    Перпендикулярна теорема бісектриси Якщо точка рівновіддалена від кінцевих точок відрізка, то точка знаходиться на перпендикулярній бісектрисі відрізка.

    Додаткові ресурси

    Інтерактивний елемент

    Відео: Принципи перпендикулярної бісектриси - Основні

    Діяльність: Перпендикулярні бісектриси Питання обговорення

    Навчальна допомога: Бісектриси, Медіани, Посібник з вивчення висот

    Практика: Перпендикулярні бісектриси

    Реальний світ: перпендикулярні бісектриси