4.19: Теорема середнього сегмента

Середній сегмент трикутника з'єднує середні точки двох сторін і становить половину довжини сторони, якій він паралельний.

Відрізок лінії, який з'єднує дві середні точки сторін трикутника, називається середнім сегментом. $\overline{DF}$серединний сегмент між$\overline{AB}$ і$\overline{BC}$.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Позначки tic показують, що$D$ і$F$ є серединами. $\overline{AD}\cong \overline{DB}$і$\overline{BF}\cong \overline{FC}$. Для кожного трикутника є три серединних сегмента.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Є дві важливі властивості середніх сегментів, які об'єднуються, щоб зробити теорему середнього сегмента. Теорема середнього сегмента стверджує, що середній сегмент, що з'єднує середні точки двох сторін трикутника, паралельний третій стороні трикутника, а довжина цього середнього сегмента становить половину довжини третьої сторони. Отже, якщо$\overline{DF}$ є середнім сегментом$\Delta ABC$, то$DF=\dfrac{1}{2}AC=AE=EC$ і$\overline{DF} \parallel \overline{AC}$.

Малюнок$\PageIndex{3}$

Зверніть увагу, що тут є дві важливі ідеї. Один з них полягає в тому, що середній сегмент паралельний стороні трикутника. Інша полягає в тому, що середній сегмент завжди дорівнює половині довжини цієї сторони.

Що робити, якщо вам дали$\Delta FGH$ і$\overline{JK}$ сказали, що це його середній сегмент? Як ви могли знайти довжину$JK$ заданої довжини третьої сторони трикутника$FH$?

Приклад$\PageIndex{1}$

Знайдіть значення$x$ і АВ. $A$і$B$ є серединами.

Малюнок$\PageIndex{4}$

Рішення

$AB=34\div 2=17$. Щоб знайти$x$, встановіть$3x−1$ рівним 17.

$\begin{align*} 3x−1&=17 \\ 3x&=18 \\ x&=6\end{align*}$

Приклад$\PageIndex{2}$

True або false: Якщо лінія проходить через дві сторони трикутника і паралельна третій стороні, то вона є середнім сегментом.

Рішення

Це твердження є помилковим. Лінія, яка проходить через дві сторони трикутника, є лише середнім сегментом, якщо вона проходить через середні точки двох сторін трикутника.

Приклад$\PageIndex{3}$

Вершини$\Delta LMN$ є$L(4,5),\: M(−2,−7)\:and\: N(−8,3)$. Знайдіть середні точки всіх трьох сторін, позначте їх O, P і Q. потім намалюйте трикутник, намалюйте середні точки і намалюйте середні сегменти.

Рішення

Щоб вирішити цю проблему, скористайтеся формулою середньої точки 3 рази, щоб знайти всі середні точки. Нагадаємо, що формула середньої точки є$\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$.

$L$і$M=\left(\dfrac{4+(−2)}{2}, \dfrac{5+(−7)}{2}\right)=(1,−1),\: point\: O$

$M$і$N=\left(\dfrac{−2+(−8)}{2},\dfrac{−7+3}{2}\right)=(−5,−2),\: point\: P$

$L$і$N=\left(\dfrac{4+(−8)}{2}, \dfrac{5+3}{2}\right)=(−2,4),\: point\: Q$

Малюнок$\PageIndex{5}$

Приклад$\PageIndex{4}$

Малюнок$\PageIndex{6}$

Позначте всі конгруентні сегменти$\Delta ABC$ з середніми точками$D$$E$, і$F$.

Рішення

Малюючи у всіх трьох середніх сегментах, ми маємо:

Малюнок$\PageIndex{7}$

Крім того, це означає, що чотири менші трикутники є конгруентними SSS.

Тепер позначте всі паралельні лінії на$\Delta ABC$, з серединами$D$$E$, і$F$.

Малюнок$\PageIndex{8}$

Приклад$\PageIndex{5}$

$M$,$N$, і$O$ є серединами сторін$\Delta \(x$ YZ\).

Малюнок$\PageIndex{9}$

Рішення

Знайти$MN$$XY$, і периметр$\Delta \(x$ YZ\).

Використовуйте теорему середнього сегмента:

$MN=OZ=5$

$XY=2(ON)=2\cdot 4=8$

Складіть три сторони,$\Delta XYZ$ щоб знайти периметр.

$XY+YZ+XZ=2\cdot 4+2\cdot 3+2\cdot 5=8+6+10=24$

Пам'ятайте: Відсутність відрізка лінії над MN означає довжину або відстань.

Рецензія

Визначте, чи є кожне твердження істинним чи помилковим.

1. Кінцевими точками середнього сегмента є середні точки.
2. Середній сегмент паралельний стороні трикутника, щоб він не перетинався.
3. Існують три конгруентні трикутники, утворені середніми сегментами та сторонами трикутника.
4. У кожному трикутнику є три середні сегменти.

R, S, T і U - середні точки сторін$\Delta XPO$ і$\Delta YPO$

Малюнок$\PageIndex{10}$

5. Якщо$OP=12$, знайдіть$RS$ і$TU$.
6. Якщо$RS=8$, знайдіть$TU$.
7. Якщо$RS=2x$, і$OP=20$, знайти$x$ і$TU$.
8. Якщо$OP=4x$ і$RS=6x−8$, знайдіть$x$.

Для питань 9-15 знайдіть вказану змінну (и). Ви можете припустити, що всі відрізки лінії всередині трикутника є середніми сегментами.

9. 

   Малюнок$\PageIndex{11}$

10. 

    Малюнок$\PageIndex{12}$

11. 

    Малюнок$\PageIndex{13}$

12. 

    Малюнок$\PageIndex{14}$

13. 

    Малюнок$\PageIndex{15}$

14. 

    Малюнок$\PageIndex{16}$

15. 

    Малюнок$\PageIndex{17}$

16. $\Delta XYZ$Сторони - 26, 38 і 42. $\Delta ABC$формується шляхом приєднання серединних точок$\Delta XYZ$.
    1. Які довжини сторін$\Delta ABC$?
    2. Знайдіть периметр$\Delta ABC$.
    3. Знайдіть периметр$\Delta XYZ$.
    4. Яка залежність між периметром трикутника і периметром трикутника, утвореного з'єднанням його середніх точок?

Геометрія координат За допомогою вершин$\Delta ABC$ нижче знайдіть середні точки кожної сторони.

17. $A(5,−2),\: B(9,4)\: and\: C(−3,8)$
18. $A(−10,1),\: B(4,11)\: and \:C(0,−7)$
19. $A(−1,3),\: B(5,7)\: and\: C(9,−5)$
20. $A(−4,−15),\: B(2,−1)\: and\: C(−20,11)$

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 5.1.

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
середній сегмент	Середній сегмент з'єднує середні точки двох сторін трикутника або непаралельних сторін трапеції.
Конгруентний	Конгруентні фігури ідентичні за розміром, формою і мірою.
Формула середньої точки	Формула середньої точки говорить$(x_2,y_2)$, що для кінцевих точок$(x_1,y_1)$ і середина є (\ dfrac {x_1+x_2} {2},\ frac {y_1+y_2} {2})\).

Додаткові ресурси

Відео: Визначення невідомих значень за допомогою властивостей середніх сегментів трикутника

Види діяльності: Питання обговорення теореми середнього сегмента

Навчальні посібники: Бісектриси, Медіани, Посібник з вивчення висот

Практика: Теорема середнього сегмента

Реальний світ: теорема середнього сегмента