4.19: Теорема середнього сегмента

Середній сегмент трикутника з'єднує середні точки двох сторін і становить половину довжини сторони, якій він паралельний.

Відрізок лінії, який з'єднує дві середні точки сторін трикутника, називається середнім сегментом. \(\overline{DF}\)серединний сегмент між\(\overline{AB}\) і\(\overline{BC}\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Позначки tic показують, що\(D\) і\(F\) є серединами. \(\overline{AD}\cong \overline{DB}\)і\(\overline{BF}\cong \overline{FC}\). Для кожного трикутника є три серединних сегмента.

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Є дві важливі властивості середніх сегментів, які об'єднуються, щоб зробити теорему середнього сегмента. Теорема середнього сегмента стверджує, що середній сегмент, що з'єднує середні точки двох сторін трикутника, паралельний третій стороні трикутника, а довжина цього середнього сегмента становить половину довжини третьої сторони. Отже, якщо\(\overline{DF}\) є середнім сегментом\(\Delta ABC\), то\(DF=\dfrac{1}{2}AC=AE=EC\) і\(\overline{DF} \parallel \overline{AC}\).

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Зверніть увагу, що тут є дві важливі ідеї. Один з них полягає в тому, що середній сегмент паралельний стороні трикутника. Інша полягає в тому, що середній сегмент завжди дорівнює половині довжини цієї сторони.

Що робити, якщо вам дали\(\Delta FGH\) і\(\overline{JK}\) сказали, що це його середній сегмент? Як ви могли знайти довжину\(JK\) заданої довжини третьої сторони трикутника\(FH\)?

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Знайдіть значення\(x\) і АВ. \(A\)і\(B\) є серединами.

Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Рішення

\(AB=34\div 2=17\). Щоб знайти\(x\), встановіть\(3x−1\) рівним 17.

\(\begin{align*} 3x−1&=17 \\ 3x&=18 \\ x&=6\end{align*}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

True або false: Якщо лінія проходить через дві сторони трикутника і паралельна третій стороні, то вона є середнім сегментом.

Рішення

Це твердження є помилковим. Лінія, яка проходить через дві сторони трикутника, є лише середнім сегментом, якщо вона проходить через середні точки двох сторін трикутника.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Вершини\(\Delta LMN\) є\(L(4,5),\: M(−2,−7)\:and\: N(−8,3)\). Знайдіть середні точки всіх трьох сторін, позначте їх O, P і Q. потім намалюйте трикутник, намалюйте середні точки і намалюйте середні сегменти.

Рішення

Щоб вирішити цю проблему, скористайтеся формулою середньої точки 3 рази, щоб знайти всі середні точки. Нагадаємо, що формула середньої точки є\(\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\).

\(L\)і\(M=\left(\dfrac{4+(−2)}{2}, \dfrac{5+(−7)}{2}\right)=(1,−1),\: point\: O\)

\(M\)і\(N=\left(\dfrac{−2+(−8)}{2},\dfrac{−7+3}{2}\right)=(−5,−2),\: point\: P\)

\(L\)і\(N=\left(\dfrac{4+(−8)}{2}, \dfrac{5+3}{2}\right)=(−2,4),\: point\: Q\)

Малюнок\(\PageIndex{5}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Малюнок\(\PageIndex{6}\)

Позначте всі конгруентні сегменти\(\Delta ABC\) з середніми точками\(D\)\(E\), і\(F\).

Рішення

Малюючи у всіх трьох середніх сегментах, ми маємо:

Малюнок\(\PageIndex{7}\)

Крім того, це означає, що чотири менші трикутники є конгруентними SSS.

Тепер позначте всі паралельні лінії на\(\Delta ABC\), з серединами\(D\)\(E\), і\(F\).

Малюнок\(\PageIndex{8}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

\(M\),\(N\), і\(O\) є серединами сторін\(\Delta \(x\) YZ\).

Малюнок\(\PageIndex{9}\)

Рішення

Знайти\(MN\)\(XY\), і периметр\(\Delta \(x\) YZ\).

Використовуйте теорему середнього сегмента:

\(MN=OZ=5\)

\(XY=2(ON)=2\cdot 4=8\)

Складіть три сторони,\(\Delta XYZ\) щоб знайти периметр.

\(XY+YZ+XZ=2\cdot 4+2\cdot 3+2\cdot 5=8+6+10=24\)

Пам'ятайте: Відсутність відрізка лінії над MN означає довжину або відстань.

Рецензія

Визначте, чи є кожне твердження істинним чи помилковим.

1. Кінцевими точками середнього сегмента є середні точки.
2. Середній сегмент паралельний стороні трикутника, щоб він не перетинався.
3. Існують три конгруентні трикутники, утворені середніми сегментами та сторонами трикутника.
4. У кожному трикутнику є три середні сегменти.

R, S, T і U - середні точки сторін\(\Delta XPO\) і\(\Delta YPO\)

Малюнок\(\PageIndex{10}\)

5. Якщо\(OP=12\), знайдіть\(RS\) і\(TU\).
6. Якщо\(RS=8\), знайдіть\(TU\).
7. Якщо\(RS=2x\), і\(OP=20\), знайти\(x\) і\(TU\).
8. Якщо\(OP=4x\) і\(RS=6x−8\), знайдіть\(x\).

Для питань 9-15 знайдіть вказану змінну (и). Ви можете припустити, що всі відрізки лінії всередині трикутника є середніми сегментами.

9. 

   Малюнок\(\PageIndex{11}\)

10. 

    Малюнок\(\PageIndex{12}\)

11. 

    Малюнок\(\PageIndex{13}\)

12. 

    Малюнок\(\PageIndex{14}\)

13. 

    Малюнок\(\PageIndex{15}\)

14. 

    Малюнок\(\PageIndex{16}\)

15. 

    Малюнок\(\PageIndex{17}\)

16. \(\Delta XYZ\)Сторони - 26, 38 і 42. \(\Delta ABC\)формується шляхом приєднання серединних точок\(\Delta XYZ\).
    1. Які довжини сторін\(\Delta ABC\)?
    2. Знайдіть периметр\(\Delta ABC\).
    3. Знайдіть периметр\(\Delta XYZ\).
    4. Яка залежність між периметром трикутника і периметром трикутника, утвореного з'єднанням його середніх точок?

Геометрія координат За допомогою вершин\(\Delta ABC\) нижче знайдіть середні точки кожної сторони.

17. \(A(5,−2),\: B(9,4)\: and\: C(−3,8)\)
18. \(A(−10,1),\: B(4,11)\: and \:C(0,−7)\)
19. \(A(−1,3),\: B(5,7)\: and\: C(9,−5)\)
20. \(A(−4,−15),\: B(2,−1)\: and\: C(−20,11)\)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 5.1.

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
середній сегмент	Середній сегмент з'єднує середні точки двох сторін трикутника або непаралельних сторін трапеції.
Конгруентний	Конгруентні фігури ідентичні за розміром, формою і мірою.
Формула середньої точки	Формула середньої точки говорить\((x_2,y_2)\), що для кінцевих точок\((x_1,y_1)\) і середина є (\ dfrac {x_1+x_2} {2},\ frac {y_1+y_2} {2})\).

Додаткові ресурси

Відео: Визначення невідомих значень за допомогою властивостей середніх сегментів трикутника

Види діяльності: Питання обговорення теореми середнього сегмента

Навчальні посібники: Бісектриси, Медіани, Посібник з вивчення висот

Практика: Теорема середнього сегмента

Реальний світ: теорема середнього сегмента