4.18: Зовнішні кути та теореми

Зовнішні кути дорівнюють сумі віддалених інтер'єрів.

Зовнішні кути

Зовнішній кут - це кут, утворений однією стороною багатокутника та продовженням сусідньої сторони.

У всіх багатокутників є два набори зовнішніх кутів, один, який йде навколо годинникової стрілки, а інший - проти годинникової стрілки.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Зверніть увагу, що внутрішній кут і його сусідній зовнішній кут утворюють лінійну пару і складають до$180^{\circ}$.

$m\angle 1+m\angle 2=180^{\circ}$

Малюнок$\PageIndex{2}$

Є дві важливі теореми, які потрібно знати, що стосуються зовнішніх кутів: Теорема про суму зовнішнього кута та теорема зовнішнього кута.

Теорема про суму зовнішнього кута стверджує, що зовнішні кути будь-якого багатокутника завжди будуть складатися$360^{\circ}$.

Малюнок$\PageIndex{3}$

$m\angle 1+m\angle 2+m\angle 3=360^{\circ}$

$m\angle 4+m\angle 5+m\angle 6=360^{\circ}$.

Теорема про зовнішній кут стверджує, що зовнішній кут трикутника дорівнює сумі його віддалених внутрішніх кутів. (Віддалені внутрішні кути - це два внутрішні кути в трикутнику, які не примикають до вказаного зовнішнього кута.)

Малюнок$\PageIndex{4}$

$m\angle A+m\angle B=m\angle ACD$

Що робити, якби ви знали, що два зовнішніх кути трикутника виміряні$130^{\circ}$? Як ви могли знайти міру третього зовнішнього кута?

Приклад$\PageIndex{1}$

Два внутрішніх кута трикутника - це$40^{\circ}$ і$73^{\circ}$. Які міри трьох зовнішніх кутів трикутника?

Рішення

Пам'ятайте, що кожен внутрішній кут утворює лінійну пару (додає до$180^{\circ}$) із зовнішнім кутом. Отже, оскільки один з внутрішніх кутів це означає$40^{\circ}$, що один із зовнішніх кутів є$140^{\circ}$ (тому що$40+140=180$). Аналогічно, оскільки ще один з внутрішніх кутів є$73^{\circ}$, один із зовнішніх кутів повинен бути$107^{\circ}$. Третій внутрішній кут нам не дано, але ми могли б зрозуміти це, використовуючи теорему про суму трикутника. Ми також можемо використовувати теорему про суму зовнішнього кута. Якщо два зовнішніх кути є$140^{\circ}$ і$107^{\circ}$, то третій Зовнішній кут повинен бути$113^{\circ}$ так$140+107+113=360$.

Так, міри трьох зовнішніх кутів - 140, 107 і 113.

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайдіть значення$x$ і міру кожного кута.

Малюнок$\PageIndex{4}$

Рішення

Налаштуйте рівняння за допомогою теореми зовнішнього кута.

$\begin{align*} \underbrace{(4x+2)^{\circ}+(2x−9)^{\circ}}_\text{remote interior angles}&=\underbrace{(5x+13)^{\circ}}_\text{exterior angle} \\ (6x−7)^{\circ}&=(5x+13)^{\circ} \\ x&=20 \end{align*}$

Підставляємо в 20 для$x$ того, щоб знайти кожен кут.

$[4(20)+2]^{\circ}=82^{\circ}[2(20)−9]^{\circ}=31^{\circ} \qquad Exterior \:angle:\: [5(20)+13]^{\circ}=113^{\circ}$

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайдіть міру$\angle RQS$.

Малюнок$\PageIndex{5}$

Рішення

Зверніть увагу, що$112^{\circ}$ є зовнішнім кутом$\Delta RQS$ і є додатковим до$\angle RQS$.

Налаштуйте рівняння для розв'язання відсутнього кута.

$\begin{align*}112^{\circ}+m\angle RQS &=180^{\circ} \\ m\angle RQS&=68^{\circ}\end{align*}$

Приклад$\PageIndex{4}$

Знайдіть міри нумерованих внутрішніх і зовнішніх кутів у трикутнику.

Малюнок$\PageIndex{6}$

Рішення

Ми знаємо це$m\angle 1+92^{\circ}=180^{\circ}$ тому, що вони утворюють лінійну пару. Отже, м\ кут 1=88^ {\ circ}\).

Аналогічно,$m\angle 2+123^{\circ}=180^{\circ}$ тому що вони утворюють лінійну пару. Отже, м\ кут 2=57^ {\ circ}\).

Ми також знаємо, що три внутрішні кути повинні складати до 180^ {\ circ}\) за теоремою про суму трикутника.

$\begin{align*} m\angle 1+m\angle 2+m\angle 3&=180^{\circ} \qquad by\: the \:Triangle \:Sum \:Theorem. \\ 88^{\circ}+57^{\circ}+m\angle 3&=180 \\ m\angle 3&=35^{\circ}\end{align*}$

Нарешті,$m\angle 3+m\angle 4=180^{\circ} \qquad because\: they\: form \:a \:linear \:pair.$

$\begin{align*} 35^{\circ}+m\angle 4&=180^{\circ} \\ m\angle 4&=145^{\circ}\end{align*}$

Приклад$\PageIndex{5}$

Яке значення$p$ в трикутнику нижче?

Малюнок$\PageIndex{7}$

Рішення

Для початку нам потрібно знайти відсутній зовнішній кут, який ми і будемо називати$x$. Налаштуйте рівняння за допомогою теореми про суму зовнішнього кута.

$\begin{align*} 130^{\circ}+110^{\circ}+x&=360^{\circ} \\ x&=360^{\circ}−130^{\circ}−110^{\circ} \\ x&=120^{\circ}\end{align*}$

$x$і$p$ додати до$180^{\circ}$ тому, що вони є лінійною парою.

$\begin{align*} x+p&=180^{\circ} \\ 120^{\circ}+p&=180^{\circ} \\ p&=60^{\circ}\end{align*}$

Рецензія

Визначте$m\angle 1$.

1. 

   Малюнок$\PageIndex{8}$

2. 

   Малюнок$\PageIndex{9}$

3. 

   Малюнок$\PageIndex{10}$

4. 

   Малюнок$\PageIndex{11}$

5. 

   Малюнок$\PageIndex{12}$

6. 

   Малюнок$\PageIndex{13}$

Використовуйте наступну картинку для наступних трьох проблем:

7. Що таке$m\angle 1+m\angle 2+m\angle 3$?
8. Що таке$m\angle 4+m\angle 5+m\angle 6$?
9. Що таке$m\angle 7+m\angle 8+m\angle 9$?

Вирішити для$x$.

10. 

    Малюнок$\PageIndex{14}$

11. 

    Малюнок$\PageIndex{15}$

12. 

    Малюнок$\PageIndex{16}$

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
Зовнішні кути	Зовнішній кут - це кут, утворений однією стороною багатокутника і продовженням сусідньої сторони.
внутрішні кути	Кути на внутрішній стороні багатокутника.
виносні внутрішні кути	Віддалені внутрішні кути (трикутника) - це два внутрішні кути, які не примикають до зазначеного зовнішнього кута.
Теорема про суму трикутника	Теорема про суму трикутника стверджує, що три внутрішні кути будь-якого трикутника завжди будуть складатися до$180^{\circ}$.
Теорема про суму зовнішнього кута	Теорема про зовнішню кутову суму стверджує, що зовнішні кути будь-якого багатокутника завжди додаватимуться до 360 градусів.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Приклади теорем про зовнішні кути - основні

Види діяльності: Зовнішні кути Теореми Обговорення Питання

Навчальні посібники: Посібник з вивчення відносин з

Практика: Зовнішні кути і теореми

Реальний світ: Теорема про зовнішні кути