4.15: АСА та ААС

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 4.14: САС
- 4.16: ГЛ

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Два набори відповідних кутів і будь-який відповідний набір сторін доводять конгруентні трикутники.

Кут-бічний кут постулат і кут-кут-бічна теорема

Якщо два кути і одна сторона в одному трикутнику конгруентні відповідним двом кутам і одна сторона в іншому трикутнику, то два трикутника конгруентні. Ця ідея охоплює два ярлики конгруентності трикутника: кут-бічний кут і кут-кут-сторона.

Постулат конгруентності кута-бічного кута (ASA): Якщо два кути і включена сторона в одному трикутнику конгруентні двом кутам, а включена сторона в іншому трикутнику, то два трикутники конгруентні.

Теорема конгруентності кута-кута-сторона (AAS): Якщо два кути і не включена сторона в одному трикутнику конгруентні двом кутам і відповідній невключеній стороні в іншому трикутнику, то трикутники конгруентні.

Розміщення слова Side важливо, оскільки воно вказує, де сторона, яку вам дано по відношенню до кутів. Зображення нижче допомагають показати різницю між двома ярликами.

F-д_387a0f5cd927d97d4b15b14c30c0279a5d762c0302a00f36ed0817d+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{1}$

Ф-д_Е77Ф631 БФ 177 СА4 ЕДБ561 Бада 4Д53Б10С50ФБ38Б334А8 ДД3107Б106+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{2}$

Що робити, якщо вам дали два трикутника і надали лише міру двох їх кутів та однієї довжини їх сторін? Як ви могли визначити, чи два трикутники були конгруентними?

Приклад $\PageIndex{1}$

Чи можете ви довести, що наступні трикутники є конгруентними? Чому чи чому ні?

F-D_604А4 А4 АБ 66Б876C8FFF98CF5305 Деф6Е188Д3Б07574А820180E+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{3}$

Рішення

Ми не можемо показати, що трикутники є $\overline{ST}$ конгруентними, тому що $\overline{KL}$ і не відповідають, хоча вони є конгруентними. Щоб визначити, чи $\overline{ST}$ відповідають $$\overline{KL}$ і, подивіться на кути навколо них, $\(\angle K$ $\angle L$ і\ кут S$ і $\angle T$ . $\angle K$ має одну дугу і\ кут L не позначений. $\angle S$ має дві дуги і $\angle T$ не має маркування. Для того, щоб використовувати AAS, $\angle S$ потрібно бути конгруентним $\angle K$ .

Приклад $\PageIndex{2}$

Напишіть 2-стовпцеве доказ.

F-D_53666 БД04Д 0678 ДБ5СД 62622 ФА178 ЕКА ЕФА ФС491Ф1Б20Ф561Е5С0АФ87+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{4}$

З огляду на: $\overline{AB}\parallel \overline{ED}$ , $\angle C\cong \angle F$ , $\overline{AB}\cong \overline{ED}$

Доведіть: $\overline{AF}\cong \overline{CD}$

Рішення

*Заява*	*Причина*
1. $\overline{AB}\parallel \overline{ED}$ , $\angle C\cong \angle F$ , $\overline{AB}\cong \overline{ED}$	1. Враховується
2. $\angle ABE\cong \angle DEB$	2. Теорема про альтернативні внутрішні кути
3. $\Delta ABF\cong \Delta DEC$	3. АСА
4. $\overline{AF}\cong \overline{CD}$	4. CPCTC (відповідні частини конгруентних трикутників є конгруентними)

Приклад $\PageIndex{3}$

Яка інформація вам потрібна, щоб довести, що ці два трикутники є конгруентними, використовуючи Постулат ASA $\overline{AB}\cong UT\overline{AB}$ , $\overline{AC}\cong \overline{UV}$ , $\overline{BC}\cong \overline{TV}$ , або $\angle B\cong \angle T$ ?

F-D_C37D23AC282D8562DCC04E31178 ECBE419СБ15Ф4ДБ0А7Ф3А2587E9+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{5}$

Рішення

Для ASA нам потрібна сторона між двома заданими кутами, яка є $\overline{AC}$ і $\overline{UV}$ . Відповідь є $\overline{AC}\cong \overline{UV}$ .

Приклад $\PageIndex{4}$

Напишіть 2-стовпцеве доказ.

З огляду на: $\angle C\cong \angle E$ , $\overline{AC}\cong \overline{AE}$

Доведіть: $\Delta ACF\cong \Delta AEB$

Ф-д_19СА 64Ф76Б2Д32023002С593ФДА10С05кД8Е5Ф571090 КБ40Ф8С13+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий_крошечкий.PNG — Малюнок $\PageIndex{6}$

Рішення

*Заява*	*Причина*
1. $\angle C\cong \angle E$ , $\overline{AC}\cong \overline{AE}$	1. Враховується
2. $\angle A\cong \angle A$	2. Рефлексивний $PoC$
3. $\Delta ACF \cong \Delta AEB$	3. АСА

Приклад $\PageIndex{5}$

Яка інформація вам потрібна, щоб довести, що ці два трикутники конгруентні за допомогою ASA? ААС?

F-д_Е7203Д943А47Б15690А47Е22Б6Е722А980E3B179931069E4C46DEF2+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{7}$

Рішення

Для ASA нам потрібні кути з іншого боку $\overline{EF}$ і $\overline{QR}$ . $\angle F\cong \angle Q$

Для AAS нам знадобиться інший кут. $\angle G\cong \angle P$

Рецензія

З питань 1-3 визначте, чи є трикутники конгруентними. Якщо вони є, напишіть заяву про конгруентність і який постулат конгруентності або теорему ви використовували.

Малюнок $\PageIndex{8}$
Малюнок $\PageIndex{9}$
Малюнок $\PageIndex{10}$

Для питань 4-8 використовуйте картинку і наведену нижче інформацію.

Ф-Д_Е70 БФД 46Ф7Ф52518Б052Д9 АФ 1104ЕД 20Б46С281880D5D329387D2+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{11}$

Задано: $\overline{DB}\perp \overline{AC}$ , $\overline{DB}$ є кутовою бісектрисою $\angle CDA$

З $\overline{DB}\perp \overline{AC}$ , які кути конгруентні і чому?
Тому $\overline{DB}$ що кут бісектриса $\angle CDA$ , які два кути є конгруентними?
З погляду на картинку, яку додаткову інформацію ви даєте? Чи достатньо цього, щоб довести, що два трикутники є конгруентними?
Напишіть 2-стовпцевий доказ $\Delta CDB\cong \Delta ADB$ , щоб довести, використовуючи #4 -6.
Якою була б ваша причина $\angle C\cong \angle A$ ?

Для питань 9-13 використовуйте картинку і надану інформацію.

З огляду на: $\overline{LP}\parallel \overline{NO}$ , $\overline{LP}\cong \overline{NO}$

F-D_9538C6 змінного струму постійного струму 8ДБА 1D71239B6CD210A6ЕБ8 ДБКСФ 534683E9372F3CF3+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{12}$

З $\overline{LP}\parallel \overline{NO}$ , які кути конгруентні і чому?
З погляду на картину, яку додаткову інформацію ви можете зробити висновок?
Напишіть 2-стовпцевий доказ, щоб довести $\Delta LMP\cong \Delta OMN$ .
Якою була б ваша причина $\overline{LM}\cong \overline{MO}$ ?
Заповніть пропуски для доказу нижче. Використовуйте наведене зверху. Доведіть: $M$ це середина $\overline{PN}$ .

*Заява*	*Причина*
1. $\overline{LP}\parallel \overline{NO}$ , $\overline{LP}\cong \overline{NO}$	1. Враховується
2.	2. Альтернативні внутрішні кути
3.	3. АСА
4. $\overline{LM}\cong \overline{MO}$	4.
5. $M$ є серединою $\overline{PN}$ .	5.

Визначте додаткову інформацію, необхідну для того, щоб показати, що два трикутники збігаються за заданим постулатом.

ААС

Малюнок $\PageIndex{13}$
ASA

Малюнок $\PageIndex{14}$
ASA

Малюнок $\PageIndex{15}$
ААС

Малюнок $\PageIndex{16}$

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 4.8.

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
CPCTC	*Відповідні частини конгруентних трикутників є конгруентними*. Він використовується для показу двох сторін або двох кутів у трикутниках конгруентні після того, як довів, що трикутники є конгруентними.
AAS (кут-кут-сторона)	Якщо два кути і не включена сторона в одному трикутнику конгруентні двом кутам, а відповідна не включена сторона в іншому трикутнику, то трикутники конгруентні.
Кут бічний кут трикутника	Термін «кутовий трикутник» відноситься до трикутника з відомими мірами двох кутів і довжини сторони між ними.
ASA	ASA, кут-бічний кут, відноситься до двох відомих кутів у трикутнику з однією відомою стороною між відомими кутами.
Конгруентний	Конгруентні фігури ідентичні за розміром, формою і мірою.
Конгруентність трикутника	Конгруентність трикутника виникає, якщо 3 сторони в одному трикутнику конгруентні 3 сторонам в іншому трикутнику.
Жорстке перетворення	Жорстке перетворення - це перетворення, яке зберігає відстань і кути, воно не змінює розмір або форму фігури.

Додаткові ресурси

Відео: Вступ до конгруентних трикутників

Діяльність: ASA і AAS Трикутник Конгруентність обговорення питання

Навчальні посібники: Посібник з вивчення конгруентності три

Практика: ASA та AAS

Реальний світ: Конгруентність трикутника SSS