Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.4: Рівнобедрені трикутники

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54873

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Властивості трикутників з двома рівними сторонами/кутами.

    Рівнобедрений трикутник - це трикутник, який має принаймні дві конгруентні сторони. Конгруентні сторони рівнобедреного трикутника називаються ніжками. Інша сторона називається підставою. Кути між підставою і ніжками називаються базовими кутами. Кут, зроблений двома ніжками, називається кутом вершини. Однією з важливих властивостей рівнобедрених трикутників є те, що їх базові кути завжди конгруентні. Це називається теоремою базових кутів.

    Для\(\DeltaDEF, if \(\overline{DE}\cong \overline{EF}\), тоді\(\angle D\cong \angle F\).

    Ф-д_1С54Ф3ЕА2А10Ф06Е79ББ2058АА 20098632Е3 Е76423653Д63Д63С97Б9379+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Ще одна важлива властивість рівнобедрених трикутників полягає в тому, що кутова бісектриса кута вершини - це також перпендикулярна бісектриса підстави. Це називається теоремою про рівнобедрений трикутник. (Зауважте, що це стосується лише кута вершини. ) Вірні і зворотні теореми про базові кути та теореми про рівнобедрене трикутник.

    Теорема про базові кути Converse: Якщо два кути в трикутнику конгруентні, то сторони, протилежні цим кутам, також конгруентні. Так для\(\Delta DEF\), якщо\(\angle D\cong \angle F\), то\(\overline{DE}\cong \overline{EF}\).

    Ф-д_1С54Ф3ЕА2А10Ф06Е79ББ2058АА 20098632Е3 Е76423653Д63Д63С97Б9379+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Теорема про рівнобедрений трикутник Converse: Перпендикулярна бісектриса підстави рівнобедреного трикутника також є кутовою бісектрисою кута вершини. Так для рівнобедрених\(\DeltaDEF\), якщо\(\overline{EG}\perp \overline{DF}\) і\(\overline{DG}\cong \overline{GF}\), то\(\angle DEG\cong \angle FEG\).

    F-D_56АЕ15Ф55АЕ 39176 ДД1А9234КБСБ 685 А17ДА705СА78Е1ББ ББ 75БК40Б6+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Що робити, якщо вам подарували рівнобедрений трикутник і сказали, що його базові кути вимірюють\(x^{\circ}\) і\(y^{\circ}\)? Що ви могли б зробити висновок про\( x\) і\(y\)?

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Знайдіть значення\( x\) і міру кожного кута.

    Ф-д_731А3Ф2Е0А2759С55Е6 ЕДДДД4Д87Е2Ф34ФА486 AEEC81170343 ББ52007+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    Рішення

    Два кута рівні, тому встановіть їх рівними один одному і вирішуйте для\(x\).

    \(\begin{align*} (4x+12)^{\circ}&=(5x−3)^{\circ} \\ 15&=x\end{align*} \)

    Заставте x = 15; базові кути є\([4(15)+12]^{\circ}\), або 72^ {\ circ}\). Кут вершини дорівнює\(180^{\circ}−72^{\circ}−72^{\circ}=36^{\circ}\).

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    True або false: Базові кути рівнобедреного трикутника можуть бути прямими кутами.

    Рішення

    Це твердження є помилковим. Оскільки базові кути рівнобедреного трикутника є конгруентними, якщо один базовий кут є прямим кутом, то обидва базові кути повинні бути прямими кутами. Неможливо мати трикутник з двома прямими (\(90^{\circ}\)) кутами. Теорема про суму трикутника стверджує, що сума трьох кутів у трикутнику дорівнює\(180^{\circ}\). Якщо два кути в трикутнику є прямими кутами, то третій кут повинен бути\(0^{\circ}\) і форма вже не трикутник.

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Які два кути є конгруентними?

    F-D_DC 6CD-BE7E 50c766d7869A48 БД2779096Ф9Ф9Ф55А7Д8 ББ8371Б8C696165+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий_png
    Малюнок\(\PageIndex{5}\)

    Рішення

    Це рівнобедрений трикутник. Конгруентні кути знаходяться навпроти конгруентних сторін. Зі стрілок бачимо, що\(\angle S\cong \angle U\).

    Ф-Д_1Ф0С4Е5Д917БА80ББ15Б20Ф ББ 33А7С20С4Ф96Ф9153079БК202С81CF+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{6}\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Якщо рівнобедрений трикутник має базові кути з мірами\(47^{\circ}\), яка міра кута вершини?

    F-д_7863 А282Ф3Б281А311А8ФБ298Ф5СБ1АД 1Б56274FF2Б564AFCFB30+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{7}\)

    Рішення

    Намалюйте малюнок і встановіть рівняння для вирішення кута вершини,\(v\). Пам'ятайте, що три кути в трикутнику завжди складаються до\(180^{\circ}\).

    \(\begin{align*} 47^{\circ}+47^{\circ}+v &=180^{\circ} \\ v &=180^{\circ}−47^{\circ}−47^{\circ} \\ v =86^{\circ} \end{align}\)

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Якщо рівнобедрений трикутник має кут вершини з мірою\(116^{\circ}\), яка міра кожного базового кута?

    Ф-д_90б69ф3д д 3Е339566Ф6Ф6Ф6Ф242Д 7Ф168736Б395Ф473А3А33+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{8}\)

    Рішення

    Намалюйте малюнок і налаштуйте і рівняння для вирішення базових кутів,\(b\).

    \(\begin{align*} 116^{\circ}+b+b&=180^{\circ} \\ 2b&=64^{\circ} \\ b &=32^{\circ}\end{align*}\)

    Рецензія

    Знайти заходи\( x\) та/або\(y\).

    1. F-д_558832ФДА 53Е3СБ219Ф4Б624ДФ7АФ 5810413А16БА 3473ФБ7КС0СА75С1+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{9}\)
    2. Ф-д_7С09 ДЭ352А93Е 3493657541Е6719Б6Ф 46800 ЕД 10191225227КБ4Ф2+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{10}\)
    3. F-д_БЕФ 47Б3ДБА 1Д8 ДФ Ф 5046 БФ 68217072661196Д5А7СА90148А98 КББ 46+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{11}\)
    4. F-D_7E14634 ДК 70ДББД ББДК 1B0DC CDF054099C3E7E130E0D584377E6Fabedd6+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{12}\)
    5. F-D_DE914E240E0 CF6A0E6476970D4E50F195A1 ФАД CF9F72D46D58EBC2C2C+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{13}\)

    Визначте, чи є наступні твердження істинними чи хибними.

    1. Базові кути рівнобедреного трикутника конгруентні.
    2. Базові кути рівнобедреного трикутника є взаємодоповнюючими.
    3. Базові кути рівнобедреного трикутника можуть дорівнювати куту вершини.
    4. Базові кути рівнобедреного трикутника гострі.

    Заповніть докази нижче.

    1. Дано: Рівнобедрений\(\DeltaCIS\), з базовими кутами\(\angle C\) і\(\angle S\). \ overline {IO}\) - бісектриса кута\(\angle CIS\) Prove:\(\overline{IO}\) перпендикулярна бісектриса\(\overline{CS}\)
    F-д_86710951 ЗК д 60ФК1Е610А6006А9Б85087731Б60338Б197Б133E18029+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий_png
    Малюнок\(\PageIndex{14}\)
    Заява Причина
    1. 1. Враховується
    2. 2. Теорема про базові кути
    3. \(\angle CIO\cong \angle SIO\) 3.
    4. 4. Рефлексивний\(PoC\)
    5. \(\DeltaCIO\cong \DeltaSIO\) 5.
    6. \(\overline{CO}\cong \overline{OS}\) 6.
    7. 7. \(CPCTC\)
    8. \(\angle IOC\)і\(\angle IOS\) є додатковими 8.
    9. 9. Теорема про конгруентні добавки
    10. \(\overline{IO}\)перпендикулярна бісектриса\(\overline{CS}\) 10.
    1. Дано:\(\DeltaICS\) Рівнобедрений з\(\angle C\) і\(\angle S\). \(\overline{IO}\)перпендикулярна бісектриса\(\overline{CS}\) \(\overline{IO}\)Дове: це бісектриса кута\(\angle CIS\)
    F-д_86710951 ЗК д 60ФК1Е610А6006А9Б85087731Б60338Б197Б133E18029+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий_png
    Малюнок\(\PageIndex{15}\)
    Заява Причина
    1. 1.
    2. \(\angle C\cong \angle S\) 2.
    3. \(CO\overline{AB}\cong OS\overline{AB}\) 3.
    4. \(m\angle IOC=m\angle IOS=90^{\circ}\) 4.
    5. 5.
    6. 6. \(CPCTC\)
    7. \(\overline{IO}\)є кутовою бісектрисою\(\angle CIS\) 7.

    На площині x−y побудуйте координати та визначте, чи задані три точки складають сходовий або рівнобедрений трикутник.

    1. \((-2, 1), (1, -2), (-5, -2)\)
    2. \((-2, 5), (2, 4), (0, -1)\)
    3. \((6, 9), (12, 3), (3, -6)\)
    4. \((-10, -5), (-8, 5), (2, 3)\)
    5. \((-1, 2), (7, 2), (3, 9)\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 4.10.

    Ресурси

    Лексика

    Термін Визначення
    База Сторона трикутника, паралельна нижньому краю паперу або екрану, прийнято називати основою. Підставою рівнобедреного трикутника є неконгруентна сторона в трикутнику.
    Базові кути Базові кути рівнобедреного трикутника - це кути, утворені підставою і однією ніжкою трикутника.
    Теорема про базові кути Теорема базових кутів обертається, якщо два кути в трикутнику конгруентні, то сторони, протилежні цим кутам, також є конгруентними.
    Теорема про рівнобедрене трикутник Теорема про рівнобедрений трикутник стверджує, що перпендикулярна бісектриса підстави рівнобедреного трикутника також є кутовою бісектрисою кута вершини.
    Теорема про суму трикутника Теорема про суму трикутника стверджує, що три внутрішні кути будь-якого трикутника складають до 180 градусів.
    Вертикальні кути Вертикальні кути - це пара протилежних кутів, створених пересічними лініями.

    Додаткові ресурси

    Інтерактивний елемент

    Відео: Принципи рівнобедрених трикутників - Основні

    Діяльність: Рівнобедрені трикутники Обговорення Питання

    Навчальні посібники: Посібник з вивчення відносин з

    Практика: Рівнобедрені трикутники

    Реальний світ: Трикутники в небі