2.8: Таблиці істинності

Поки ми знаємо ці символи для логіки:

• $\sim$not (заперечення)
• $\rightarrow$якби то
• $\therefore$тому

Ще два символи:

• $\wedge$і
• $\lor$або

Ми б писали «$p$і$q$» як$p\wedge q$ і «$p$або$q$» як$p\lor q$.

Таблиці істинності використовують ці символи і є ще одним способом аналізу логіки. Для початку давайте зв'яжемо p і\ sim p Щоб було простіше, встановіть p як: парне число. Тому\ sim p - непарне число. Складіть таблицю правди, щоб з'ясувати, чи є вони обома правдивими. Починають з усіх «істин» p, true (T) або false (F).

р
Т
F

Далі пишемо відповідні значення істинності для$\sim p$. $\sim p$має протилежні значення істини$p$. Отже, якщо$p$ правда, то$\sim p$ є помилковим і навпаки.

р	\ Сім п
Т	F
F	Т

Щоб підвести підсумок:

• Почніть таблиці істинності з усіма можливими комбінаціями істин. Для 2 змінних є 4 комбінації для 3 змінних є 8. Ви завжди починаєте таблицю правди таким чином.
• Робіть будь-які заперечення на будь-яку зі змінних.
• Виконайте будь-які комбінації в дужках.
• Закінчіть з завершенням того, про що просила проблема.

Малювання таблиці істинності

1. Намалюйте таблицю істинності для$p$,$q$ і$p \wedge q$.

Спочатку зробіть стовпці для p і q. заповніть стовпці всіма можливими істинними і хибними комбінаціями для двох.

р	q
Т	Т
Т	F
F	Т
F	F

Зверніть увагу на всі комбінації р і q У будь-який час у нас є таблиці істини з двома змінними, це завжди, як ми заповнюємо перші два стовпці.

Далі нам потрібно з'ясувати, коли$p\wedge q$ істинно, виходячи з перших двох стовпців. p\ клин q може бути істинним, тільки якщо обидва p і q є істинними. Отже, заповнена таблиця виглядає наступним чином:

Малюнок$\PageIndex{1}$

Ось так завжди заповнюється таблиця істинності з двома змінними та їх стовпцем «і».

2. Намалюйте таблицю істинності для$p$,$q$ і$p \lor q$.

Спочатку створимо стовпці для$p \lor q$ і$q$, як і приклад А.

р	q
Т	Т
Т	F
F	Т
F	F

Далі нам потрібно з'ясувати, коли$p \lor q$ це правда, виходячи з перших двох стовпців. $p \lor q$є істинним, якщо$p$ АБО$q$ є істинними, або обидва є істинними. Отже, заповнена таблиця виглядає наступним чином:

Малюнок$\PageIndex{2}$

Різниця між$p \wedge q$ і$p \lor q$ є другим і третім рядами. Бо «і» обидва$p$ і$q$ повинні бути правдою, але для «або» тільки один повинен бути правдою.

Визначення істин змінних

Визначте істини для$p \wedge(\sim q \lor r)$.

По-перше, є три змінні, тому ми будемо потрібні всі комбінації їх істин. Для трьох змінних завжди існує 8 можливих комбінацій.

$p$	$q$	$r$
\ (p\) ">Т	\ (q\) ">Т	\ (r\) ">Т
\ (p\) ">Т	\ (q\) ">Т	\ (r\) ">F
\ (p\) ">Т	\ (q\) ">F	\ (r\) ">Т
\ (p\) ">Т	\ (q\) ">F	\ (r\) ">F
\ (p\) ">F	\ (q\) ">Т	\ (r\) ">Т
\ (p\) ">F	\ (q\) ">Т	\ (r\) ">F
\ (p\) ">F	\ (q\) ">F	\ (r\) ">Т
\ (p\) ">F	\ (q\) ">F	\ (r\) ">F

Далі звертайтеся за адресою$\sim q$. Це якраз і будуть протилежності$q$ колони.

$p$	$q$	$r$	$\sim q$
\ (p\) ">Т	\ (q\) ">Т	\ (r\) ">Т	\ (\ sim q\) ">F
\ (p\) ">Т	\ (q\) ">Т	\ (r\) ">F	\ (\ sim q\) ">F
\ (p\) ">Т	\ (q\) ">F	\ (r\) ">Т	\ (\ sim q\) ">Т
\ (p\) ">Т	\ (q\) ">F	\ (r\) ">F	\ (\ sim q\) ">Т
\ (p\) ">F	\ (q\) ">Т	\ (r\) ">Т	\ (\ sim q\) ">F
\ (p\) ">F	\ (q\) ">Т	\ (r\) ">F	\ (\ sim q\) ">F
\ (p\) ">F	\ (q\) ">F	\ (r\) ">Т	\ (\ sim q\) ">Т
\ (p\) ">F	\ (q\) ">F	\ (r\) ">F	\ (\ sim q\) ">Т

Тепер давайте зробимо те, що в дужках,$\sim q\lor r$. Пам'ятайте, для «або» тільки$\sim q$ АБО$r$ має бути правдою. Використовуйте лише$r$ стовпці$\sim q$ та для визначення значень у цьому стовпці.

$p$	$q$	$r$	$\sim q$	$\sim q\lor r$
\ (p\) ">Т	\ (q\) ">Т	\ (r\) ">Т	\ (\ sim q\) ">F	\ (\ sim q\ lor r\) ">Т
\ (p\) ">Т	\ (q\) ">Т	\ (r\) ">F	\ (\ sim q\) ">F	\ (\ sim q\ або r\) ">F
\ (p\) ">Т	\ (q\) ">F	\ (r\) ">Т	\ (\ sim q\) ">Т	\ (\ sim q\ lor r\) ">Т
\ (p\) ">Т	\ (q\) ">F	\ (r\) ">F	\ (\ sim q\) ">Т	\ (\ sim q\ lor r\) ">Т
\ (p\) ">F	\ (q\) ">Т	\ (r\) ">Т	\ (\ sim q\) ">F	\ (\ sim q\ lor r\) ">Т
\ (p\) ">F	\ (q\) ">Т	\ (r\) ">F	\ (\ sim q\) ">F	\ (\ sim q\ або r\) ">F
\ (p\) ">F	\ (q\) ">F	\ (r\) ">Т	\ (\ sim q\) ">Т	\ (\ sim q\ lor r\) ">Т
\ (p\) ">F	\ (q\) ">F	\ (r\) ">F	\ (\ sim q\) ">Т	\ (\ sim q\ lor r\) ">Т

Нарешті, ми можемо вирішити всю проблему,$p \wedge(\sim q \lor r)$. Використовуйте$p$ і$\sim q\lor r$ для визначення значень. Пам'ятайте, для «і» обох$p$ і$\sim q\lor r$ повинні бути правдою.

$p$	$q$	$r$	$\sim q$	$\sim q\lor r$	$p \wedge(\sim q \lor r)$
\ (p\) ">Т	\ (q\) ">Т	\ (r\) ">Т	\ (\ sim q\) ">F	\ (\ sim q\ lor r\) ">Т	\ (p\ клин (\ sim q\ lor r)\) ">T
\ (p\) ">Т	\ (q\) ">Т	\ (r\) ">F	\ (\ sim q\) ">F	\ (\ sim q\ або r\) ">F	\ (p\ клин (\ sim q\ lor r)\) ">F
\ (p\) ">Т	\ (q\) ">F	\ (r\) ">Т	\ (\ sim q\) ">Т	\ (\ sim q\ lor r\) ">Т	\ (p\ клин (\ sim q\ lor r)\) ">T
\ (p\) ">Т	\ (q\) ">F	\ (r\) ">F	\ (\ sim q\) ">Т	\ (\ sim q\ lor r\) ">Т	\ (p\ клин (\ sim q\ lor r)\) ">T
\ (p\) ">F	\ (q\) ">Т	\ (r\) ">Т	\ (\ sim q\) ">F	\ (\ sim q\ lor r\) ">Т	\ (p\ клин (\ sim q\ lor r)\) ">F
\ (p\) ">F	\ (q\) ">Т	\ (r\) ">F	\ (\ sim q\) ">F	\ (\ sim q\ або r\) ">F	\ (p\ клин (\ sim q\ lor r)\) ">F
\ (p\) ">F	\ (q\) ">F	\ (r\) ">Т	\ (\ sim q\) ">Т	\ (\ sim q\ lor r\) ">Т	\ (p\ клин (\ sim q\ lor r)\) ">F
\ (p\) ">F	\ (q\) ">F	\ (r\) ">F	\ (\ sim q\) ">Т	\ (\ sim q\ lor r\) ">Т	\ (p\ клин (\ sim q\ lor r)\) ">F

Напишіть таблицю істинності для наступних змінних.

Приклад$\PageIndex{1}$

$p \wedge \sim p$

Рішення

Спочатку зробіть стовпці для$p$, потім додайте$\sim p$ і, нарешті, оцініть$p \wedge \sim p$.

$p$	$\sim p$	$p \wedge \sim p$
\ (p\) ">Т	\ (\ sim p\) ">F	\ (p\ клин\ сім р\) ">F
\ (p\) ">F	\ (\ sim p\) ">Т	\ (p\ клин\ сім р\) ">F

Приклад$\PageIndex{2}$

$\sim p \lor \sim q$

Рішення

Спочатку зробіть стовпці для$p$ і$q$, потім додайте в$\sim p$ і$\sim q$. Нарешті, оцініть$\sim p \lor \sim q$.

$p$	$q$	$\sim p$	$\sim q$	$\sim p \lor \sim q$
\ (p\) ">$p \lor \sim q$	\ (q\) ">Т	\ (\ sim p\) ">F	\ (\ sim q\) ">F	\ (\ sim p\ lor\ sim q\) ">F
\ (p\) ">Т	\ (q\) ">F	\ (\ sim p\) ">F	\ (\ sim q\) ">Т	\ (\ sim p\ lor\ sim q\) ">T
\ (p\) ">F	\ (q\) ">Т	\ (\ sim p\) ">Т	\ (\ sim q\) ">F	\ (\ sim p\ lor\ sim q\) ">T
\ (p\) ">F	\ (q\) ">F	\ (\ sim p\) ">Т	\ (\ sim q\) ">Т	\ (\ sim p\ lor\ sim q\) ">T

Приклад$\PageIndex{3}$

$p \wedge (q\lor \sim q)$

Рішення

Спочатку зробіть стовпчики для p і q, потім додайте в$\sim q$ і$q\lor \sim q$. Нарешті, оцініть$p\wedge (q\lor \sim q)$.

$p$	$q$	$\sim q$	$q\lor \sim q$	$p\wedge (q\lor \sim q)$
\ (p\) ">Т	\ (q\) ">Т	\ (\ sim q\) ">F	\ (q\ lor\ сім q\) ">T	\ (p\ клин (q\ lor\ sim q)\) ">T
\ (p\) ">Т	\ (q\) ">F	\ (\ sim q\) ">Т	\ (q\ lor\ сім q\) ">T	\ (p\ клин (q\ lor\ sim q)\) ">T
\ (p\) ">F	\ (q\) ">Т	\ (\ sim q\) ">F	\ (q\ lor\ сім q\) ">T	\ (p\ клин (q\ lor\ sim q)\) ">F
\ (p\) ">F	\ (q\) ">F	\ (\ sim q\) ">Т	\ (q\ lor\ сім q\) ">T	\ (p\ клин (q\ lor\ sim q)\) ">F

Рецензія

Напишіть таблицю істинності для наступних змінних.

1. $(p \wedge q)\lor \sim r$
2. $p \lor ( \sim q \lor r)$
3. $p \wedge (q \lor \sim r)$
4. Єдина відмінність між #1 і #3 полягає в розміщенні дужок. Чим відрізняються таблиці істинності?
5. Коли це$p \lor q \lor r$ правда?
6. $p \lor q \lor r$
7. $(p \lor q) \lor \sim r$
8. $( \sim p \wedge \sim q) \wedge r$
9. $( \sim p \lor \sim q) \wedge r$

Чи є наступне вагомим аргументом? Якщо так, то який закон використовується? ПІДКАЗКА: Заяви можуть вийти з ладу.

$p \rightarrow q$

$r \rightarrow p$

$\therefore r \rightarrow q$

$p \rightarrow q$

$r \rightarrow q$

$\therefore p \rightarrow r$

$p \rightarrow \sim r$

$r$

$\therefore \sim p$

$\sim q \rightarrow r$

$q$

$\therefore \sim r$

$p \rightarrow (r \rightarrow s)$

$p$

$\therefore r \rightarrow s$

$r \rightarrow q$

$r \rightarrow s$

$\therefore q \rightarrow s$

Додаткові ресурси

Відео: Принципи таблиць істинності

Практика: Таблиці істинності