2.9: І та або заяви

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54555

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Таблиці істинності для сполучників і диз'юнкцій.

Слова «і» і «або» поширені в повсякденній мові. У математиці є деякі тонкі відмінності, на які потрібно стежити, особливо враховуючи слово «або».

Буде дощ або піде сніг.

Коли це твердження вірно, а коли воно помилкове?

Вступ до логіки

\(P=It\: is\: snowing.\)
\(Q=I\: am\: cold.\)

Істинне значення твердження полягає в тому, чи є твердження істинним чи хибним. Як математик, ваша робота полягає в тому, щоб визначити, коли логічне твердження вірно, а коли воно хибне. Якщо у вас недостатньо інформації, щоб визначити, чи є оригінальні твердження істинними чи хибними, ви можете побудувати таблицю істинності, щоб організувати всі можливі випадки.

Розглянемо атомне твердження P, з'єднане з атомним твердженням\(Q\). Наступне речення може бути записано за допомогою символу «\(\lor\)» для логічного сполучного «або».

\(It\: is \:snowing \:or \:I \:am \:cold.\)

\(P\lor Q\)

Це твердження є трохи дивним, оскільки, здається, означає, що завжди відбувається одне або обидва ці атомні заяви. Ваш здоровий глузд може диктувати, що це твердження не відповідає дійсності, тому що, звичайно, бувають випадки, коли сонячно, а вам тепло. Важливо пам'ятати, що не всі твердження відповідають дійсності! Ваша робота полягає в тому, щоб визначити, що має бути правдою, щоб вищезазначене твердження було правдою. Щоб організувати свою роботу, слід побудувати таблицю істинності. Таблиця істинності розглядає всі можливі комбінації оригінальних атомних тверджень, які є істинними або хибними, а потім використовує логіку, щоб вивести значення істинності складеного твердження в кожному випадку.

Ось таблиця істинності для OR:

\(P\)	\(Q\)	\(P \lor Q\)
Т	Т	Т
Т	F	Т
F	Т	Т
F	F	F

Зверніть увагу, що існує чотири можливі комбінації істинності\(P\) і\(Q\) (як істина, перша істина/друга помилкова, перша хибна/друга істина, обидва брехня). Лише одна з цих комбінацій дає помилкове твердження для\(P \lor Q\). Це означає, що твердження «Йде сніг або мені холодно» є лише помилковим, якщо «сніг йде» є помилковим, а «мені холодно» є помилковим. Зверніть увагу, що якщо «йде сніг» істинно, а «мені холодно» також вірно, то «Сніг йде або мені холодно» вірно. У математиці слово «або» не означає точно те чи інше. Це означає «той чи інший або обидва».

Далі розглянемо таблицю істинності для наступного твердження, в якому використовується сполучна «і». Наступне речення можна записати, використовуючи символ «\(\wedge\)» для логічного сполучного «і».

\(It\: is \:snowing \:and \:I \:am \:cold.\)

\(P\wedge Q\)

Ось таблиця істинності для І:

Р	Q	P\ клин Q
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т	F
F	F	F

Зверніть увагу, що складене твердження з використанням «і» є істинним, лише якщо кожен атомний оператор є індивідуально істинним.

Перегляньте частину цього відео, зосереджуючись на таблицях істинності кон'юнкції та диз'юнкції:

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас запитали, коли твердження «Буде дощ або сніг» буде правдивим і неправдивим. В англійській мові більшість людей використовують слово «або», щоб означати ексклюзивне «або». Якби вам сказали «ви можете мати тістечко або печиво на десерт», ви б припустили, що вам потрібно було вибрати лише один і не міг мати як тістечка, так і печиво. У математиці слово «або» означає «той чи інший або обидва». Тому в логіку «або» включає випадок, коли обидві атомні частини стану істинні.

\(P=It\: will\: rain.\)

\(Q=It\: will\: snow.\)

\(P \lor Q\)

Рішення

\(P\)	\(Q\)	\(P \lor Q\)
Т	Т	Т
Т	F	Т
F	Т	Т
F	F	F

Твердження є помилковим лише тоді, коли обидві частини твердження є помилковими. Іншими словами, твердження є лише помилковим, якщо «буде дощ» є помилковим, а «це буде сніг» також помилковим. Коли одна або обидві частини «або» твердження вірні, то все твердження вірно.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Визначте атомні твердження в наступному складному реченні. Потім використовуйте логічні зв'язки, щоб переписати пропозицію символами.

Я втомився і голодний, і я хочу гамбургер або дрімоту.

\(P=I\: am\: tired.\)
\(Q=I\: am\: hungry.\)
\(R=I \:want \:a\: burger.\)
\(S=I\: want\: a\: nap.\)

Рішення

Речення може бути переписано символами як:\((P \wedge Q) \wedge (R \lor S)\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

На обід у вас був бутерброд з шинкою і сиром і яблуко або апельсин.

\(A=You\: had\: a\: ham\: and\: cheese\: sandwich\: for\: lunch.\)
\(B=You\: had\: an\: apple\: for\: lunch.\)
\(C=You\: had\: an\: orange\: for\: lunch.\)

Рішення

Речення може бути переписано символами як:\(A \wedge (B \lor C)\).

Зверніть увагу\(A\), що кожне твердження\(B\),\(C\) містить слова «ви мали» і «на обід» і є повним реченням.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Намалюйте речення з керованої практики #1, використовуючи логічні зв'язки «\(\lor\)» для «або» та «\(\wedge\)» для «і».

Рішення

Найскладнішим у складанні діаграми логічних зв'язків часто є визначення того, які частини речення слід згрупувати разом. У цьому випадку існує чіткий поділ між трьома позитивними результатами та двома негативними наслідками:

\((M \wedge B \wedge D) \lor (W \wedge J)\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Використовуйте таблицю істинності, щоб визначити всі випадки, коли твердження в керованій практиці #1 є істинним або хибним.

Рішення

Таблиці істинності складних речень можуть бути переважними, тим більше, що 5 атомних тверджень означає, що в таблиці істинності повинно бути 25 рядків, щоб врахувати всі комбінації T/F. Щоб заощадити час і простір, ви можете відзначити, що твердження\(M \wedge B \wedge D\) вірно лише тоді\(M\), коли\(B\), і\(D\) все вірно і\(W \wedge J\) вірно лише тоді, коли обидва\(W\) і\(J\) є правдивими. Це означає, що тепер вам потрібно лише 4 рядки в таблиці істинності.

\(M \wedge B \wedge D\)	\(W \wedge J\)	(М\ клин B\ клин D)\ lor (W\ клин J)
Т	Т	Т
F	Т	Т
Т	F	Т
F	F	F

Твердження вірно, якщо:

\(M\),\(B\), і\(D\) все вірно.
\(W\)і\(J\) обидва вірні.
\(M\),\(B\),\(D\),\(W\), і\(J\) все вірно.

Заява неправдиве, якщо:

Не всі\(M\)\(B\), і\(D\) є істинними, і не обидва\(W\) і\(J\) є правдою.

Рецензія

Я ходжу до школи і роблю свою роботу або залишаюся вдома і граю в ігри.

1. Визначте атомні твердження у вищезгаданому складному реченні.

2. Використовуйте логічні зв'язки, щоб переписати речення символами.

У мене є макарони і сир або стейк і стручкова квасоля або картопля.

3. Визначте атомні твердження у вищезгаданому складному реченні.

4. Використовуйте логічні зв'язки, щоб переписати речення символами.

Я ношу шльопанці і шорти, і футболку, або плаття.

5. Визначте атомні твердження у вищезгаданому складному реченні.

6. Використовуйте логічні зв'язки, щоб переписати речення символами.

На вулиці темно, і я запалюю свічку.

7. Визначте атомні твердження у вищезгаданому складному реченні.

8. Використовуйте логічні зв'язки, щоб переписати речення символами.

Ми підемо на пляж і влаштуємо пікнік або підемо в кіно і з'їмо попкорн.

9. Визначте атомні твердження у вищезгаданому складному реченні.

10. Використовуйте логічні зв'язки, щоб переписати речення символами.

Складіть таблицю істинності для кожного з наступних тверджень.

11. \((P \wedge Q) \lor R\)

12. \(P \wedge (Q \lor R)\)

13. \((P \lor Q) \lor R\)

14. \(P \lor (Q \lor R)\)

15. Як розміщення дужок впливає на значення істинності складних тверджень?

Лексика

Термін	Визначення
\(\wedge\)	Кон'юнкція - це твердження «і», яке є твердженням, яке поєднує в собі два логічних твердження і вірно лише тоді, коли обидва твердження вірні. Символ «і» - «\(\wedge\)».
\(\lor\)	Диз'юнкція - це твердження «або», яке є твердженням, що поєднує в собі два логічних твердження і є лише помилковим, коли обидва твердження є помилковими. Символ «або» - «\(\lor\)».
атомний заяву	Атомний оператор - це декларативне твердження без логічних зв'язків, що має значення істинності.
сполучник	Кон'юнкція - це твердження «і», яке є твердженням, яке поєднує в собі два логічних твердження і вірно лише тоді, коли обидва твердження вірні. Символ «і» - «\(\wedge\)».
диз'юнкція	Диз'юнкція - це твердження «або», яке поєднує в собі два логічних твердження, і є хибним лише тоді, коли обидва твердження є помилковими. Символ «або» - «\(\lor\)».
істина цінність	Істинне значення твердження полягає в тому, чи є твердження істинним чи хибним.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Практика: І та або заяви

Реальний світ: Бінарна логіка