2.6: Гіпотези та зустрічні приклади

Освічені здогади і приклади, які їх спростовують.

Гіпотеза - це «освічена здогадка», яка базується на прикладах у шаблоні. Контрприклад - приклад, який спростовує гіпотезу.

Припустимо, вам дали математичну схему на кшталт$h = \dfrac{−16}{t^2}$. Що робити, якщо ви хотіли зробити освічену здогадку, або здогадки, про$h$?

Використовуйте наступну інформацію для прикладів 1 та 2:

Продавець автомобілів продав 5 старих автомобілів п'яти різним парам. Він помітив, що кожній парі не виповнилося 30 років. Наступного дня він продав новий, розкішний автомобіль парі в 60-х роках, продавець визначив, що тільки молоді пари вживаних автомобілів.

Приклад$\PageIndex{1}$

Чи логічна здогадка продавця? Чому чи чому ні?

Рішення

Це логічно, засноване на його переживаннях, але не відповідає дійсності.

Приклад$\PageIndex{2}$

Чи можете ви придумати контрприклад?

Рішення

Контрприкладом буде пара, яка 30 років або старше, купуючи вживаний автомобіль.

Приклад$\PageIndex{3}$

Ось алгебраїчне рівняння і таблиця значень для$n$ і$t$.

$t=(n−1)(n−2)(n−3)$

$n$	$(n−1)(n−2)(n−3)$	$t$
\ (n\)» клас ="lt-k12-2141">1	\ ((n−1) (n−2) (n−3)\)» клас ="lt-k12-2141">$(0)(−1)(−2)$	\ (t\)» клас = "lt-k12-2141">0
\ (n\)» клас = "lt-k12-2141">2	\ ((n−1) (n−2) (n−3)\)» клас ="lt-k12-2141">$(1)(0)(−1)$	\ (t\)» клас = "lt-k12-2141">0
\ (n\)» клас = "lt-k12-2141">3	\ ((n−1) (n−2) (n−3)\)» клас ="lt-k12-2141">$(2)(1)(0)$	\ (t\)» клас = "lt-k12-2141">0

Рішення

Подивившись на стіл, Пабло робить таку здогаду:

Значення$(n−1)(n−2)(n−3)$ 0 для будь-якого числа n.

Це справжня здогадка?

Це не є дійсною здогадкою. Якби Пабло продовжив таблицю до n = 4, він би побачив, що$(n−1)(n−2)(n−3)=(4−1)(4−2)(4−3)=(3)(2)(1)=6$

В даному прикладі$n=4$ наведено контрприклад.

Приклад$\PageIndex{4}$

Артур робить фігури для арт-проекту. Він намалював багатокутники і деякі їх діагоналі.

Малюнок$\PageIndex{1}$

З цих прикладів Артур зробив таку здогаду:

Якщо опуклий багатокутник має$n$ сторони, то утворюються$n−2$ трикутники, що утворюються при проведенні діагоналей від будь-якої вершини багатокутника.

Чи правильна гіпотеза Артура? Або, можете знайти контрприклад?

Рішення

Здогадка видається правильною. Якщо Артур малює інші багатокутники, у кожному випадку він зможе малювати$n−2$ трикутники, якщо багатокутник має n сторін.

Зверніть увагу, що ми не довели гіпотезу Артура, а лише знайшли кілька прикладів, які відповідають дійсності. Отже, на цьому етапі ми говоримо, що гіпотеза вірна.

Приклад$\PageIndex{5}$

Наведіть контрприклад цього твердження: Кожне просте число є непарним числом.

Рішення

Єдиним зустрічним прикладом є число 2: парне число (не непарне), яке є простим.

Рецензія

Наведіть контрприклад для кожного з наступних тверджень.

1. Якщо$n$ ціле число, то$n^2 >n$.
2. Усі числа, що закінчуються на 1, є простими числами.
3. Всі позитивні дроби знаходяться в межах від 0 до 1.
4. Будь-які три точки, які є компланарними, також є колінеарними.
5. Всі дівчата люблять морозиво.
6. Всі старшокласники перебувають у хорі.
7. Для будь-якого кута існує додатковий кут.
8. Всі підлітки можуть керувати автомобілем.
9. Якщо$n$ ціле число, то$n>0$.
10. Всі рівняння мають цілочисельні рішення.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 2.5.

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
здогадки	Гіпотеза - це освічена здогадка, яка базується на прикладах у шаблоні.
контрприклад	Контрприклад - приклад, який спростовує гіпотезу.
фракція	Дріб - це частина цілого. Дріб записується математично як одне значення поверх іншого, відокремлене бруском дробу. Його ще називають раціональним числом.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Індуктивні міркування

Діяльність: Гіпотези та зустрічні приклади Дискусійні питання

Навчальні посібники: типи міркувань навчальний посібник

Практика: здогадки та контрприклади

Реальний світ: здогадки та контрприклади