1.5: Формула середньої точки
- Page ID
- 54963
Визначте середні точки відрізків ліній, взявши середнє значення\(x\) значень і середнє\(y\) значення
Припустимо, координатна площина була перенесена над картою метро, а синя лінія пішла по прямій лінії від точки\(\left(-9, 8\right)\) до точки\(\left(1, -4\right)\). Якби ви потрапили на синю лінію на початку лінії і пройшли півдорозі до кінця лінії, які були б ваші координати? Як би ви обчислили ці координати?
Розглянемо наступну ситуацію: Ви живете в Де-Мойн, штат Айова, а ваші бабусі і дідусі живуть в Х'юстоні, штат Техас. Ви плануєте відвідати їх на літо, і ваші батьки погоджуються зустрітися з вашими бабусями і дідусями на півдорозі, щоб обміняти вас. Як ви знаходите це місце?
Зустрічаючи щось «на півдорозі», ви знаходите середину прямої лінії, що з'єднує два відрізки. У вищезгаданій ситуації середина буде на півдорозі між Де-Мойном та Х'юстоном.
Середина між двома парами координат представляє точку на півдорозі, або середнє значення. Це впорядкована пара\(\left(x_m, y_m\right)\), де:
\(\left(x_m,y_m\right)=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2} , \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\)
Давайте знайдемо місце, яке знаходиться на півдорозі між Де-Мойном та Х'юстоном, враховуючи інформацію зверху:
Де-Мойн, штат Айова має координати\(\left(41.59, 93.62\right)\).
Х'юстон, штат Техас має координати\(\left(29.76, 95.36\right)\).
Знайдіть координати середньої точки між цими двома містами.
Вирішіть, яку впорядковану пару представляти
\(\left(x_1, y_1\right)\)і який буде представляти\(\left(x_2, y_2\right)\).
\(\left(x_1, y_1\right )=\left(41.59,93.62\right)\)
\(\left(x_2, y_2\right)=\left(29.76,95.36\right)\)
Обчислити середню точку за допомогою формули
\(\left(x_m,y_m\right )=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2} , \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\left(x_m,y_m\right )=\left(\dfrac{41.59+29.76}{2} , \dfrac{93.62+95.36}{2}\right)\)
\(\left(x_m,y_m\right)=\left (35.675,94.49\right)\)
Використовуючи Google Maps, ви можете зустрітися в національному лісі Озарк, на півдорозі між двома містами.
Тепер давайте завершимо наступні проблеми, використовуючи формулу середньої точки:
- Відрізок з кінцевими точками\(\left(9, –2\right)\) і\(\left(x_1, y_1\right)\) має середину\(\left(2, –6\right)\). Знайти\(\left(x_1, y_1\right)\).
Скористайтеся формулою середньої точки:
\(\dfrac{x_1+x_2}{2}=x_m\)
\(2=\dfrac{x_1+9}{2} \rightarrow 4=x_1+9\)
\(x_1 = -5\)
Дотримуючись тієї ж процедури:
\(\dfrac{y_1+(−2)}{2} = −6 \rightarrow y_1+(−2)=−12\)
\(y_1=−10\)
\(\left(x_1,y_1)=(−5,−10\right)\)
- Знайдіть значення x та y, які\(\left(9.5,6\right)\) складають середину\(\left(3,5\right)\) та\(\left(x,y\right)\).
Почніть з формули і вирішіть для змінних:
Формула середньої точки:\(\left(x_m, y_m\right )=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\)
Підставляємо в задані значення і змінні:\(\left(9.5,6\right)=\left(\dfrac{3+x}{2}, \dfrac{5+y}{2}\right)\)
Це можна переписати як два рівняння:
\(9.5=\dfrac{3+x}{2}\);\(6=\dfrac{5+y}{2}\)
Помножте кожну сторону на 2:\(19=3+x\);\(12=5+y\)
Ізолювати змінні:\(16=x\);\(7=y\)
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Раніше вас попросили обчислити координати після подорожі на півдорозі до кінця синьої лінії метро. Ви знаєте, що синя лінія йде по прямій від\(\left(-9,8\right)\) до точки\(\left(1, -4\right)\).
Рішення
Щоб обчислити ці координати, потрібно обчислити середину між\(\left(-9,8\right)\) і\(\left(1, -4\right)\).
Щоб знайти середину між\(\left(-9,8\right)\) і\(\left(1, -4\right)\), підставити задані значення в формулу середньої точки і вирішити.
Формула середньої точки:\(\left(x_m,y_m\right)=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2} , \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\)
Підставляємо в задані значення і змінні:\(midpoint=\left(\dfrac{-9+1}{2} , \dfrac{8+(-2)}{2}\right)\)
\(midpoint=\left(−4,2\right)\)
Тому координати поїзда метро на півдорозі вниз по синій лінії є\(\left(-4, 2\right)\).
Приклад\(\PageIndex{2}\)
У поході ви з другом вирішуєте взяти різні маршрути, але потім зустрічаєтеся на обід. Ви походите на 3 милі на північ і 2 милі на захід. Починаючи з тієї ж точки, ваш друг ходить 4 милі на схід і 1 милю на південь. З цих точок ви кожен йдете назустріч один одному, зустрічаючись на півдорозі на обід. Де б ваше місце зустрічі в обідній час посилання на вашу відправну точку?
Рішення
Подумайте про початкову точку як про початок декартової системи координат. Якщо ви йдете на північ 3 милі, тобто йдете прямо вгору по графіку 3 одиниці. Ходьба на захід 2 милі така ж, як ходьба зліва 2 одиниці на графіку. Тоді ви приїхали в точку\(\left(-2, 3\right)\). Для вашого друга схід праворуч (позитивний), а південь вниз (негативний), тому він/вона прибуває\(\left(4,-1\right)\). Тепер потрібно знайти середню точку:
\(\left(x_m,y_m\right)=\left(\dfrac{-2+4}{2} , \dfrac{3+(-12)}{2}\right)=(22,22)=\left(1,1\right)\)
Ваше місце зустрічі час обіду буде 1 миля на північ і 1 миля на схід від вашої відправної точки.

Рецензія
У 1—10 знайдіть середню точку відрізка лінії, що з'єднує дві точки.
- \(\left(x_1, y_1\right)\)і\(\left(x_2, y_2\right)\)
- \(\left(7, 7\right)\)і\(\left(–7, 7\right)\)
- \(\left(–3, 6\right)\)і\(\left(3, –6\right)\)
- \(\left(–3, –1\right)\)і\(\left(–5, –8\right)\)
- \(\left(3, –4\right)\)і\(\left(6, 1\right)\)
- \(\left(2, –3\right)\)і\(\left(2, 4\right)\)
- \(\left(4, –5\right)\)і\(\left(8, 2\right)\)
- \(\left(1.8, –3.4\right)\)і\(\left(–0.4, 1.4\right)\)
- \(\left(5, –1\right)\)і\(\left(–4, 0\right)\)
- \(\left(10, 2\right)\)і\(\left(2, –4\right)\)
- Кінцева точка відрізка лінії є,\(\left(4, 5\right)\) а середина відрізка лінії -\(\left(3, –2\right)\). Знайдіть іншу кінцеву точку.
- Кінцева точка відрізка лінії є,\(\left(–10, –2\right)\) а середина відрізка лінії -\(\left(0, 4\right)\). Знайдіть іншу кінцеву точку.
- Шон живе в шести кварталах на захід і в десяти кварталах на північ від центру міста. Кенія живе чотирнадцять кварталів на схід і в двох кварталах на північ від центру міста.
- Як далеко один від одного ці дві дівчини «як ворона летить»?
- Де знаходиться точка на півдорозі між їхніми будинками?
Змішаний відгук
- Чисельність населення збільшується на 1,2% щорічно. Нинішнє населення становить 121 000 осіб.
- Яким буде населення через 13 років?
- Якщо припустити, що цей показник продовжується, коли населення досягне 200 000?
- Пишіть\(1.29651843 \cdot 10^5\) в стандартній формі.
- \(4, 2, 1,\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{8}, …\)Приклад геометричної послідовності? Поясніть свою відповідь.
- Спростити\(6x^3(4xy^{2}+y^{3}z)\).
- Припустимо\(0=(x−2)(x+1)(x−3)\). Що таке\(x\) −перехоплення?
- Спростити\(\sqrt{300}\).
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 11.8.
Лексика
Термін | Визначення |
---|---|
Формула середньої точки | Формула середньої точки говорить, що для кінцевих точок\(\left(x_1, y_1\right)\) і\(\left(x_2, y_2\right)\), середина є\(\left(\dfrac{x_1+x_2}{2} , \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\). |
середина | Середина двох векторів - це розташування в центрі їх кінцевих точок. |
Додатковий ресурс
Інтерактивний елемент
Відео: Формула середньої точки - огляд
Діяльність: Середина Формула Обговорення Питання
Практика: Формула середньої точки
Реальний світ: Карта SF - PythM