1.5: Формула середньої точки

Визначте середні точки відрізків ліній, взявши середнє значення$x$ значень і середнє$y$ значення

Припустимо, координатна площина була перенесена над картою метро, а синя лінія пішла по прямій лінії від точки$\left(-9, 8\right)$ до точки$\left(1, -4\right)$. Якби ви потрапили на синю лінію на початку лінії і пройшли півдорозі до кінця лінії, які були б ваші координати? Як би ви обчислили ці координати?

Розглянемо наступну ситуацію: Ви живете в Де-Мойн, штат Айова, а ваші бабусі і дідусі живуть в Х'юстоні, штат Техас. Ви плануєте відвідати їх на літо, і ваші батьки погоджуються зустрітися з вашими бабусями і дідусями на півдорозі, щоб обміняти вас. Як ви знаходите це місце?

Зустрічаючи щось «на півдорозі», ви знаходите середину прямої лінії, що з'єднує два відрізки. У вищезгаданій ситуації середина буде на півдорозі між Де-Мойном та Х'юстоном.

Середина між двома парами координат представляє точку на півдорозі, або середнє значення. Це впорядкована пара$\left(x_m, y_m\right)$, де:

$\left(x_m,y_m\right)=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2} , \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$

Давайте знайдемо місце, яке знаходиться на півдорозі між Де-Мойном та Х'юстоном, враховуючи інформацію зверху:

Де-Мойн, штат Айова має координати$\left(41.59, 93.62\right)$.

Х'юстон, штат Техас має координати$\left(29.76, 95.36\right)$.

Знайдіть координати середньої точки між цими двома містами.

Вирішіть, яку впорядковану пару представляти

$\left(x_1, y_1\right)$і який буде представляти$\left(x_2, y_2\right)$.

$\left(x_1, y_1\right )=\left(41.59,93.62\right)$

$\left(x_2, y_2\right)=\left(29.76,95.36\right)$

Обчислити середню точку за допомогою формули

$\left(x_m,y_m\right )=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2} , \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$

$\left(x_m,y_m\right )=\left(\dfrac{41.59+29.76}{2} , \dfrac{93.62+95.36}{2}\right)$

$\left(x_m,y_m\right)=\left (35.675,94.49\right)$

Використовуючи Google Maps, ви можете зустрітися в національному лісі Озарк, на півдорозі між двома містами.

Тепер давайте завершимо наступні проблеми, використовуючи формулу середньої точки:

1. Відрізок з кінцевими точками$\left(9, –2\right)$ і$\left(x_1, y_1\right)$ має середину$\left(2, –6\right)$. Знайти$\left(x_1, y_1\right)$.

Скористайтеся формулою середньої точки:

$\dfrac{x_1+x_2}{2}=x_m$

$2=\dfrac{x_1+9}{2} \rightarrow 4=x_1+9$

$x_1 = -5$

Дотримуючись тієї ж процедури:

$\dfrac{y_1+(−2)}{2} = −6 \rightarrow y_1+(−2)=−12$

$y_1=−10$

$\left(x_1,y_1)=(−5,−10\right)$

2. Знайдіть значення x та y, які$\left(9.5,6\right)$ складають середину$\left(3,5\right)$ та$\left(x,y\right)$.

Почніть з формули і вирішіть для змінних:

Формула середньої точки:$\left(x_m, y_m\right )=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$

Підставляємо в задані значення і змінні:$\left(9.5,6\right)=\left(\dfrac{3+x}{2}, \dfrac{5+y}{2}\right)$

Це можна переписати як два рівняння:

$9.5=\dfrac{3+x}{2}$;$6=\dfrac{5+y}{2}$

Помножте кожну сторону на 2:$19=3+x$;$12=5+y$

Ізолювати змінні:$16=x$;$7=y$

Приклад$\PageIndex{1}$

Раніше вас попросили обчислити координати після подорожі на півдорозі до кінця синьої лінії метро. Ви знаєте, що синя лінія йде по прямій від$\left(-9,8\right)$ до точки$\left(1, -4\right)$.

Рішення

Щоб обчислити ці координати, потрібно обчислити середину між$\left(-9,8\right)$ і$\left(1, -4\right)$.

Щоб знайти середину між$\left(-9,8\right)$ і$\left(1, -4\right)$, підставити задані значення в формулу середньої точки і вирішити.

Формула середньої точки:$\left(x_m,y_m\right)=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2} , \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$

Підставляємо в задані значення і змінні:$midpoint=\left(\dfrac{-9+1}{2} , \dfrac{8+(-2)}{2}\right)$

$midpoint=\left(−4,2\right)$

Тому координати поїзда метро на півдорозі вниз по синій лінії є$\left(-4, 2\right)$.

Приклад$\PageIndex{2}$

У поході ви з другом вирішуєте взяти різні маршрути, але потім зустрічаєтеся на обід. Ви походите на 3 милі на північ і 2 милі на захід. Починаючи з тієї ж точки, ваш друг ходить 4 милі на схід і 1 милю на південь. З цих точок ви кожен йдете назустріч один одному, зустрічаючись на півдорозі на обід. Де б ваше місце зустрічі в обідній час посилання на вашу відправну точку?

Рішення

Подумайте про початкову точку як про початок декартової системи координат. Якщо ви йдете на північ 3 милі, тобто йдете прямо вгору по графіку 3 одиниці. Ходьба на захід 2 милі така ж, як ходьба зліва 2 одиниці на графіку. Тоді ви приїхали в точку$\left(-2, 3\right)$. Для вашого друга схід праворуч (позитивний), а південь вниз (негативний), тому він/вона прибуває$\left(4,-1\right)$. Тепер потрібно знайти середню точку:

$\left(x_m,y_m\right)=\left(\dfrac{-2+4}{2} , \dfrac{3+(-12)}{2}\right)=(22,22)=\left(1,1\right)$

Ваше місце зустрічі час обіду буде 1 миля на північ і 1 миля на схід від вашої відправної точки.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Рецензія

У 1—10 знайдіть середню точку відрізка лінії, що з'єднує дві точки.

1. $\left(x_1, y_1\right)$і$\left(x_2, y_2\right)$
2. $\left(7, 7\right)$і$\left(–7, 7\right)$
3. $\left(–3, 6\right)$і$\left(3, –6\right)$
4. $\left(–3, –1\right)$і$\left(–5, –8\right)$
5. $\left(3, –4\right)$і$\left(6, 1\right)$
6. $\left(2, –3\right)$і$\left(2, 4\right)$
7. $\left(4, –5\right)$і$\left(8, 2\right)$
8. $\left(1.8, –3.4\right)$і$\left(–0.4, 1.4\right)$
9. $\left(5, –1\right)$і$\left(–4, 0\right)$
10. $\left(10, 2\right)$і$\left(2, –4\right)$
11. Кінцева точка відрізка лінії є,$\left(4, 5\right)$ а середина відрізка лінії -$\left(3, –2\right)$. Знайдіть іншу кінцеву точку.
12. Кінцева точка відрізка лінії є,$\left(–10, –2\right)$ а середина відрізка лінії -$\left(0, 4\right)$. Знайдіть іншу кінцеву точку.
13. Шон живе в шести кварталах на захід і в десяти кварталах на північ від центру міста. Кенія живе чотирнадцять кварталів на схід і в двох кварталах на північ від центру міста.
    1. Як далеко один від одного ці дві дівчини «як ворона летить»?
    2. Де знаходиться точка на півдорозі між їхніми будинками?

Змішаний відгук

14. Чисельність населення збільшується на 1,2% щорічно. Нинішнє населення становить 121 000 осіб.
    1. Яким буде населення через 13 років?
    2. Якщо припустити, що цей показник продовжується, коли населення досягне 200 000?

15. Пишіть$1.29651843 \cdot 10^5$ в стандартній формі.
16. $4, 2, 1,\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{8}, …$Приклад геометричної послідовності? Поясніть свою відповідь.
17. Спростити$6x^3(4xy^{2}+y^{3}z)$.
18. Припустимо$0=(x−2)(x+1)(x−3)$. Що таке$x$ −перехоплення?
19. Спростити$\sqrt{300}$.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 11.8.

Лексика

Термін	Визначення
Формула середньої точки	Формула середньої точки говорить, що для кінцевих точок$\left(x_1, y_1\right)$ і$\left(x_2, y_2\right)$, середина є$\left(\dfrac{x_1+x_2}{2} , \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$.
середина	Середина двох векторів - це розташування в центрі їх кінцевих точок.

Додатковий ресурс

Інтерактивний елемент

Відео: Формула середньої точки - огляд

Діяльність: Середина Формула Обговорення Питання

Практика: Формула середньої точки

Реальний світ: Карта SF - PythM