3.2: Середні (що є типовим?)
- Page ID
- 66770
Незалежно від того, куди ви йдете або що робите, середні значення є скрізь. Давайте розглянемо кілька прикладів:
- Три чверті вашого студентського кредиту витрачається. На жаль, пройшла лише половина першого семестру, тому ви вирішуєте вичавити найбільше значення з грошей, які залишаються. Але чи помічали ви, що багато продуктових продуктів важко порівняти за вартістю, оскільки вони упаковані в контейнери різного розміру з різними ціновими точками? Наприклад, один тюбик зубної пасти продається в розмірі 125 мл за $1,99, тоді як порівнянний бренд продає за $1.89 за 110 мл. Яка вигідна угода? Справедливе порівняння вимагає обчислити середню ціну за мілілітр.
- Ваша місцева транзитна система стягує 2,25 долара за тариф для дорослих, 1,75 долара для студентів та людей похилого віку та 1,25 долара для дітей. Чи достатньо для вас цієї інформації, щоб розрахувати середній тариф, або вам потрібно знати, скільки існує гонщиків кожного виду?
- П'ять років тому ви інвестували $8,000 в Roller Coasters Inc. вартість акцій за ці роки змінилася на 9%, − 7%, 13%, 4% і − 2%, і ви дивуєтеся, що таке середньорічна зміна і чи не відставали ваші інвестиції з інфляцією.
- Якщо ви берете участь у будь-якому виді спорту, у вас є середнє якогось роду: боулери мають середні боулінг; хокейні або футбольні воротарі мають цілі проти середнього (GAA); і бейсбольні глечики мають зароблений пробіг середній (ERA).
Середні показники, як правило, діляться на три категорії. У цьому розділі досліджуються прості, зважені та геометричні середні.
Прості середні
Середнє значення - це одне число, яке представляє середину набору даних. Зазвичай інтерпретується як «типове значення». Обчислення середніх показників полегшує розуміння та порівняння різних наборів даних, особливо якщо існує велика кількість даних. Наприклад, що робити, якщо ви хочете порівняти продажі за рік? Один підхід передбачає прийняття продажів компанії для кожного з 52 тижнів в поточному році і порівняння їх з продажами всіх 52 тижнів з минулого року. Це включає 104 щотижневі показники продажів з 52 точками порівняння. З цього аналізу ви могли б стисло та впевнено визначити, чи продажі зростають чи знижуються? Напевно, ні. Альтернативний підхід передбачає порівняння середніх тижневих продажів минулого року з середніми тижневими продажами цього року. Це передбачає пряме порівняння лише двох чисел, і визначення того, чи продажі вгору чи вниз, дуже чітке.
У простому середньому всі окремі дані мають однаковий рівень важливості при визначенні типового значення. Кожна окрема точка даних також має однакову частоту, що означає, що жодна частина даних не зустрічається частіше, ніж інша. Також дані не представляють собою процентну зміну. Щоб розрахувати просте середнє значення, потрібно дві складові:
- Самі дані - вам потрібно значення для кожного фрагмента даних.
- Кількість даних - вам потрібно знати, скільки фрагментів даних задіяно (кількість), або загальна кількість, використана при розрахунку.
Формула
Як виражено у формулі 3.3, ви обчислюєте просте середнє значення, склавши разом усі частини даних, а потім взявши цю загальну суму та розділивши її на кількість.
Як це працює
Кроки, необхідні для обчислення простого середнього показника, такі:
Крок 1: Підсумуйте кожен фрагмент даних.
Крок 2: Визначте загальну кількість.
Крок 3: Обчисліть просте середнє значення за допомогою Формули 3.3.
Припустімо, що ви хочете обчислити середнє значення за трьома частинами даних: 95, 108 і 97. Зверніть увагу, що дані однаково важливі і кожен з'являється лише один раз, таким чином, маючи однакову частоту. Вам потрібно просте середнє значення.
Крок 1:\(\sum X=95+108+97=300\).
Крок 2: Є три частини даних, або\(n = 3\).
Крок 3: Застосуйте формулу 3.3:\(\text{SAvg}=\dfrac{300}{3}=100\). Просте середнє значення набору даних - 100.
Важливі зауваження
Хоча говорилося раніше, критично підкреслити, що просте середнє обчислюється тільки при дотриманні всіх наступних умов:
- Всі дані мають однаковий рівень важливості для розрахунку.
- Всі дані з'являються однакову кількість разів.
- Дані не представляють зміни відсотків або ряд чисел, призначених для множення один з одним.
Якщо будь-яке з цих трьох умов не виконується, то використовується або зважене, або геометричне середнє в залежності від того, який з перерахованих вище критеріїв провалився. Ми обговорюємо це пізніше, коли вводять кожне середнє значення.
Дуже важливо розпізнати, чи потенційно ви допустили помилки при обчисленні простого середнього. Перегляньте наступні ситуації і, не роблячи ніяких розрахунків, визначте найкращу відповідь.
- Просте середнє значення 15, 30, 40 і 45 становить:
- нижче 20.
- між 20 і 40 включно.
- вище 40.
- Якщо просте середнє значення трьох частин даних дорівнює 20, які з наступних даних не належать до набору даних? Набір даних: 10, 20, 30, 40
- 10
- 20
- 30
- 40
- Відповідь
-
- b (просте середнє значення повинно падати в середині набору даних, який, здається, розподілений між 15 і 45, тому середина буде близько 30)
- d (якщо число 40 включено в будь-який середній розрахунок за участю інших чисел, то неможливо отримати низьке середнє значення 20)
Продажі Buzz Electronics в першому кварталі вказані в таблиці нижче.
| Місяць | 2013 Продажі | 2014 Продажі |
|---|---|---|
| Січень | $413 200 | $455 875 |
| Лютий | $328 987 | $334 582 |
| Березень | $350,003 | $312 777 |
Марті потрібно підготувати звіт для ради директорів, порівнюючи щоквартальні показники за рік. Для цього їй потрібно зробити наступне:
- Розрахуйте середні продажі в кварталі за кожен рік.
- Висловіть продажі 2014 року у відсотках від продажів 2013 року, округляючи відповідь до двох десяткових знаків.
Рішення
Потрібно розрахувати просте середнє значення, або\(\text{SAvg}\), за перший квартал в кожному 2013 і 2014 роках. Потім перетворіть числа в відсоток.
Що ви вже знаєте
Ви знаєте три чверті щорічно:
2013:\(X_1 = \$413,200 \)\(X_2 = \$328,986\)\(X_3 = \$350,003\)
2014:\(X_1 = \$455,876\)\(X_2 = \$334,582\)\(X_3 = \$312,777\)
Як ви туди потрапите
Для кожного року виконуйте кроки з 1 по 3:
Крок 1: Підсумуйте дані.
Крок 2: Підрахуйте загальну кількість задіяних даних.
Крок 3: Обчисліть просте середнє значення за допомогою Формули 3.3.
Крок 4: Щоб розрахувати ставку, виражену у відсотках, застосуйте Формулу 2.2 з глави 2\(\text { Rate }=\dfrac{\text { Portion }}{\text { Base }}\), розглядаючи середні продажі 2013 року як основу (зверніть увагу на ключове слово «of» у питанні), а продажі 2014 року як частину. Округлення до двох десяткових знаків.
Виконувати
Рік 2013
Крок 1:
\[\begin{aligned} \sum X &=s 413,200+\$ 328,986+\$ 350,003 \\ &=\$ 1,092,189 \end{aligned}\nonumber \]
Крок 2:
\[n = 3\nonumber \]
Крок 3:
\[\text{SAvg}=\dfrac{\$ 1,092,189}{3}=\$ 364,063\nonumber \]
Крок 4:
\[\%=\dfrac{\$ 367,745}{\$ 364,063} \times 100=101.01 \%\nonumber \]
Рік 2014
Крок 1:
\[\begin{aligned} \sum X &=\$ 455,876+\$ 334,582+\$ 312,777 \\ &=\$ 1,103,235 \end{aligned}\nonumber \]
Крок 2:
\[n = 3\nonumber \]
Крок 3:
\[\text{SAvg}=\dfrac{\$ 1,103,235}{3}=\$ 367,745\nonumber \]
Середньомісячні продажі в 2013 році становили $364 063 в порівнянні з продажами в 2014 році $367 745. Це означає, що продажі 2014 року складають 101,01% від продажів 2013 року.
Середньозважені
Ви розглядали, як розраховується середній бал (GPA)? Ваша ділова програма вимагає успішного проходження багатьох курсів. Ваші оцінки в кожному курсі поєднуються, щоб визначити ваш середній бал; однак, не кожен курс обов'язково має такий же рівень важливості, як вимірюється вашими кредитами курсу.
Можливо, ваш курс математики займає одну годину щодня, тоді як ваш курс спілкування доставляється лише в годині заняття три рази на тиждень. Отже, коледж призначає курс математики п'ять кредитних годин, а курс комунікацій три кредитні години. Якщо ви хочете середній показник, ці різні кредитні години означають, що два курси не мають однакового рівня важливості, і тому просте середнє значення не може бути розраховане.
У середньозваженому значенні не всі фрагменти даних мають однаковий рівень важливості або вони не відбуваються з однаковою частотою. Дані не можуть представляти процентну зміну або ряд чисел, призначених для множення один на одного. Щоб розрахувати середньозважене, потрібно дві складові:
- Самі дані - вам потрібно значення для кожного фрагмента даних.
- Вага даних - ви повинні знати, наскільки важливий кожен фрагмент даних для середнього. Це або присвоєне значення, або відображення кількості разів кожен фрагмент даних відбувається (частота).
Формула
Як виражено у формулі 3.4, обчисліть середньозважене, додавши добутки ваг та даних для всього набору даних, а потім розділивши цю суму на загальну кількість ваг.
Як це працює
Кроки, необхідні для обчислення середньозваженого, такі:
Крок 1: Підсумуйте кожен фрагмент даних, помножений на пов'язану з ним вагу.
Крок 2: Підсумуйте загальну вагу.
Крок 3: Обчисліть середньозважене за допомогою Формули 3.4.
Давайте залишимося з ілюстрацією курсів математики та комунікацій та вашого GPA. Припустимо, що це єдині два курси, які ви приймаєте. Ви закінчуєте курс математики з A, перекладаючи в бал 4.0. У курсі комунікацій ваш C + перетворюється на бал 2.5. Ці курси мають п'ять і три кредитні години відповідно. Оскільки вони не однаково важливі, ви використовуєте середньозважений.
Крок 1: У чисельнику підсумуйте продукти кредитних годин кожного курсу (вага) та ваш бал (дані). Це означає (математика кредитні години × математика оцінка точка) + (зв'язок кредитні години × зв'язок клас точки). Чисельно це так\(\sum WX=(5 \times 4)+(3 \times 2.5)=27.5\).
Крок 2: У знаменнику підсумуйте ваги. Це кредитні години. У вас є\(\sum W=5+3=8\).
Крок 3: Застосуйте формулу 3.4, щоб розрахувати середній бал.
\(\text { WAvg }=\dfrac{27.5}{8}=3.44\)(GPA мають два десяткових знака).
Зверніть увагу, що ваш середній бал вище, ніж якби ви щойно обчислили просте середнє значення\(\dfrac{4+2.5}{2}=3.25\). Це відбувається тому, що ваш курс математики, в якому ви набрали вищу оцінку, був більш важливим у розрахунку.
Речі, на які слід остерігатися
Найпоширеніша помилка в середньозважених - плутати дані з вагою. Якщо у вас два назад, ваш чисельник все ще правильний; однак ваш знаменник неправильний. Щоб відрізнити дані від ваги, зверніть увагу, що дані складають частину питання. У наведеному вище прикладі ви шукали, щоб обчислити середній бал; отже, бал оцінки є даними. Інша інформація, кредитні години, повинна бути вагою.
Шляхи до успіху
Формула, яка використовується для обчислення простого середнього, є спрощенням формули середньозважених. У простому середньому кожен фрагмент даних однаково важливий. Таким чином, ви призначаєте значення 1 вазі для кожного фрагмента даних. Оскільки будь-яке число, помножене на 1, є однаковим числом, проста формула середнього значення опускає зважування в чисельнику, оскільки це дало б непотрібні обчислення. У знаменнику сума ваг 1 нічим не відрізняється від підрахунку загальної кількості штук даних. По суті, ви можете використовувати формулу середньозважених для вирішення простих середніх.
У кожному з наступних визначте, яка інформація є даними, а яка - вага.
- Рафікі управляє лимонадним стендом під час його гаражного продажу сьогодні. Він продав 13 маленьких напоїв за $0.50, 29 середніх напоїв за $0.90 і 21 великий напій за $1,25. Яка середня ціна продається лимонаду?
- Наталія отримала результати дослідження ринку. У ході дослідження респонденти визначили, скільки разів на тиждень купували пляшку Coca-Cola. Розрахуйте середню кількість покупок, зроблених за тиждень.
| Закупівлі за тиждень | Кількість людей |
|---|---|
| 1 | 302 |
| 2 | 167 |
| 3 | 488 |
| 4 | 256 |
- Відповідь
-
- Ціна напоїв - це дані, а кількість напоїв - вага.
- Покупки в тиждень - це дані, а кількість людей - вага.
Розшифровка оцінки, отримана студентом місцевого коледжу. На діаграмі показано, як клас перетворюється на точку оцінки.
| Курс | Сорт | Кредитні години |
|---|---|---|
| Економіка 100 | Б | 4 |
| Математика 100 | A | 5 |
| Маркетинг 100 | Б+ | 3 |
| Комунікації 100 | C | 4 |
| Обчислення 100 | А+ | 3 |
| Бухгалтерія 100 | D | 4 |
| Сорт | Клас Точка |
|---|---|
| А+ | 4.5 |
| A | 4.0 |
| Б+ | 3.5 |
| Б | 3.0 |
| С+ | 2.5 |
| C | 2.0 |
| D | 1.0 |
| F | 0.0 |
Обчисліть середній бал учня (GPA). Округлите остаточну відповідь до двох десяткових знаків.
Рішення
Курси не несуть рівних ваг, оскільки вони мають різні кредитні години. Тому для розрахунку GPA необхідно знайти середньозважений, або\(\text{WAvg}\).
Що ви вже знаєте
Оскільки питання задається для середнього балу балів, бали балів для кожного курсу - це дані, або\(X\). Відповідні кредитні години - це ваги, або\(W\).
Як ви туди потрапите
Вам потрібно перетворити оцінку для кожного курсу в бал, використовуючи вторинну таблицю. Потім виконайте наступні дії:
Крок 1: Підсумуйте кожен фрагмент даних, помножений на пов'язану з ним вагу.
Крок 2: Підсумуйте загальну вагу.
Крок 3: Обчисліть середньозважене за допомогою Формули 3.4.
Виконувати
Перетворіть оцінки:
| Курс | Сорт | Клас Точка | Кредитні години |
|---|---|---|---|
| Економіка 100 | Б | 3.0 | 4 |
| Математика 100 | A | 4.0 | 5 |
| Маркетинг 100 | Б+ | 3.5 | 3 |
| Комунікації 100 | C | 2.0 | 4 |
| Обчислення 100 | А+ | 4.5 | 3 |
| Бухгалтерія 100 | D | 1.0 | 4 |
Крок 1:
\[\sum WX=(4 \times 3.0)+(5 \times 4.0)+(3 \times 3.5)+(4 \times 2.0)+(3 \times 4.5)+(4 \times 1.0)=68\nonumber \]
Крок 2:
\[\sum w=4+5+3+4+3+4=23\nonumber \]
Крок 3:
\[\text { WAvg }=\dfrac{68}{23}=2.96\nonumber \]
Середній бал студента становить 2,96. Зверніть увагу, що математика сприяла значній мірі (майже одна третина) до точки оцінки студента, оскільки цей курс був зважений сильно, і студент добре працював.
Анжеліка розпочала березень місяць, заборгувавши 20 000 доларів за її кредитною лінією власного капіталу (HELOC). Вона зробила виплату в розмірі 5000 доларів п'ятого, позичила 15 000 доларів дев'ятнадцятого, а двадцять шостого зробила ще один платіж у розмірі 5000 доларів. Використовуючи підсумковий баланс кожного дня для ваших розрахунків, яким був середній баланс в HELOC за березень місяць?
Рішення
Баланс, що належить в HELOC Анжеліки, не дорівнює протягом усіх днів березня. Деякі залишки проводилися більше днів, ніж інші. Це означає, що вам потрібно буде скористатися середньозваженим технікою і знайти\(\text{WAvg}\).
Що ви вже знаєте
Ви знаєте наступне:
| Дати | Кількість днів (\(W\)) | Баланс в Heloc (\(X\)) |
|---|---|---|
| 1 березня — 4 березня | \ (Ш\) ">4 | \ (X\)) ">$20,000 |
| 5 березня—18 березня | \ (Ш\) ">14 | \ (X\)) ">$20,000 − $5,000 = $15 000 |
| 19 березня—25 березня | \ (Ш\) ">7 | \ (X\)) ">$15 000 + $15,000 = $30,000 |
| 26 березня—31 березня | \ (Ш\) ">6 | \ (X\)) ">$30 000 − $5,000 = $25 000 |
Як ви туди потрапите
Крок 1: Підсумуйте кожен фрагмент даних, помножений на пов'язану з ним вагу.
Крок 2: Підсумуйте загальну вагу.
Крок 3: Обчисліть середньозважене за допомогою Формули 3.4.
Виконувати
Крок 1:
\[\sum WX=(4 \times \$ 20,000)+(14 \times \$ 15,000)+(7 \times \$ 30,000)+(6 \times \$ 25,000)=\$ 650,000\nonumber \]
Крок 2:
\[\sum W=4+14+7+6=31\nonumber \]
Крок 3:
\[\text{WAvg}=\dfrac{\$ 650,000}{31}=\$ 20,967.74\nonumber \]
За весь березень середній баланс у HELOC склав 20 967,74 доларів США. Відзначимо, що баланс з найбільшою вагою (з 5 березня по 18 березня) і найбільшим сальдо (з 19 березня по 25 березня) складають майже дві третини від розрахункового середнього.
Геометричні середні
Як ви в середньому змінюєте відсоток? Якщо продажі збільшаться на 100% в цьому році і знизяться на 50% в наступному році, чи середня зміна продажів збільшенням\(\dfrac{(100 \%-50 \%)}{2}=25 \%\) на рік? Відповідь однозначно «ні». Якщо продажі минулого року становили 100 доларів, а вони збільшилися на 100%, це призведе до збільшення на 100 доларів. Загальний обсяг продажів зараз становить 200 доларів. Якщо продажі потім знизилися на 50%, у вас є зниження на 100 доларів. Загальний обсяг продажів зараз знову становить 100 доларів. Іншими словами, ви почали з $100 і закінчили з $100. Це середня зміна нічого, або 0% на рік! Зверніть увагу, що другий відсоток зміни, по суті, множиться на результат зміни першого відсотка. Геометричне середнє знаходить типове значення для набору чисел, які призначені для множення разом або мають експоненціальний характер.
Формула
У бізнес-математиці найчастіше використовується геометричне середнє значення для усереднення ряду процентних змін. Формула 3.5 спеціально написана для вирішення цієї ситуації.
Як це працює
Щоб розрахувати середнє геометричне, виконайте наступні дії:
Крок 1: Визначте ряд змін відсотків, які потрібно помножити.
Крок 2: Підрахуйте загальну кількість змін відсотків, задіяних у розрахунку.
Крок 3: Обчисліть середнє геометричне за допомогою Формули 3.5.
Скористаємося даними продажів, представленими вище, згідно з якими продажі зростають на 100% в перший рік і зменшуються на 50% в другий рік. Яка середня зміна відсотків за рік?
Крок 1: Зміни є\(\Delta \%_{1}=+100 \%\) і\(\Delta \%=-50 \%\).
Крок 2: Задіяні дві зміни, або\(n = 2\).
Крок 3: Застосуйте формулу 3.5:
\ [\ почати {вирівняний}
\ текст {gaVG} &=\ лівий [\ sqrt [2] {(1+100\%)\ раз (1-50\%)} -1\ вправо]\ раз 100\
&=\ ліворуч [\ sqrt [2] {2\ раз 0.5} -1\ праворуч]\ раз 100\\
&= [\ sqrt [2] {1} -1\ раз 100\\\
&= 0\ раз 100 = 0\%
\ кінець {вирівняний }\ номер\]
Середня зміна відсотків на рік становить 0%, оскільки збільшення на 100% та зменшення 50% скасовують один одного.
Важливі зауваження
Критичною вимогою формули геометричного середнього є те, що кожен\((1+\Delta \%)\) вираз має привести до числа, яке є позитивним. Це означає, що\(\Delta \%\) не може бути значенням менше -100% інакше Формула 3.5 не може бути використана.
Шляхи до успіху
Цікавою характеристикою геометричного середнього є те, що воно завжди буде видавати число, яке або менше (ближче до нуля), або дорівнює простому середньому. У прикладі просте середнє значення +100% і -50% становить 25%, а середнє геометричне - 0%. Цю характеристику можна використовувати як перевірку помилок при виконанні цих видів розрахунків.
Для перших трьох питань визначте, чи варто обчислити просте, зважене або геометричне середнє.
- Рендалл боулінг 213, 245 і 187 у своїй лізі боулінгу в четвер ввечері і хоче знати його середнє значення.
- Сінді інвестувала в акції, які щорічно збільшувалися в ціні на 5%, 6%, 3% та 5%. Вона хоче знати свій середній приріст.
- Роздрібний магазин продав 150 велосипедів за звичайною ціною 300 доларів і 50 велосипедів за ціною продажу 200 доларів. Менеджер хоче знати середню ціну продажу.
- Гонсалес розрахував просте середнє значення 50% та середнє геометричне 60%. Він вважає, що його цифри правильні. Як ви думаєте?
- Відповідь
-
- Простий; кожен пункт має однакову важливість і частоту.
- Геометричні; це серія процентних змін ціни акцій.
- Зважений; кожен елемент має різну частоту.
- Принаймні одне з чисел є неправильним, оскільки геометричне середнє завжди менше або дорівнює простому середньому.
З 2006 по 2010 рік річний дохід WestJet змінився на +21,47%, +19,89%, -10,55% і +14,38%. Це відображає зростання продажів з 1,751 мільярда доларів у 2006 році до 2,609 мільярда доларів у 2010 році. [1] Який середній відсоток зростання доходів WestJet протягом цього періоду часу?
Рішення
Зверніть увагу, що ці цифри відображають процентні зміни доходів. Зміни за роком множаться разом, щоб ви обчислили середнє геометричне, або\(\text{GAvg}\).
Що ви вже знаєте
Крок 1:
Ви знаєте чотири відсотки змін:
\[\Delta \%_{1}=21.47 \% \quad \Delta \%_{2}=19.89 \% \quad \Delta \%_{3}=-10.55 \% \quad \Delta \%_{4}=14.38 \%\nonumber \]
Крок 2:
Чотири зміни задіяні, або\(n = 4\).
Як ви туди потрапите
Крок 3:
Висловіть процентні зміни в десятковому форматі і підставляйте в Формулу 3.5.
Виконувати
Крок 3:
\[\text { GAvg }=\left [\sqrt[4]{(1+0.2147) \times(1+0.1989) \times(1-0.1055) \times(1+0.1438)}-1 \right ] \times 100=10.483 \%\nonumber \]
В середньому доходи WestJet зросли на 10,483% щороку з 2006 по 2010 рік.
Посилання
- WestJet, інформаційний бюлетень WestJet, www.Westjet.com/PDF/ІнвесторМедіа/Інвестор Факт Sheet.pdf (доступ до 10 травня 2011 р.).