Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5.8: Середні показники та ймовірність (частина 1)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57890

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання
    • Обчисліть середнє значення набору чисел
    • Знайти медіану множини чисел
    • Знайти режим набору чисел
    • Застосовуємо основне визначення ймовірності
    будьте готові!

    Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

    1. Спростити:\(\dfrac{4 + 9 + 2}{3}\). Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 4.6.12.
    2. Спрощення: 4 (8) + 6 (3). Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.2.8.
    3. Перетворити\(\dfrac{5}{2}\) на десяткове число. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 5.5.1.

    Одним із застосувань десяткових знаків, яке виникає часто, є знаходження середнього набору чисел. Що ви думаєте, коли чуєте слово середнє? Це ваш бал середній бал, середня орендна плата за квартиру у вашому місті, середній ватин гравця у вашій улюбленій бейсбольній команді? Середнє значення - це типове значення в наборі числових даних. Розрахунок середнього іноді передбачає роботу з десятковими числами. У цьому розділі ми розглянемо три різних способи розрахунку середнього показника.

    Обчисліть середнє значення множини чисел

    Середнє часто називають середнім арифметичним. Він обчислюється діленням суми значень на кількість значень. Студенти хочуть знати середнє значення своїх тестових балів. Кліматологи повідомляють, що середня температура змінилася або не змінилася. Містобудівників цікавить середній розмір домогосподарства.

    Припустимо, перші три тестові бали Ітана були 85, 88 і 94. Щоб знайти середній бал, він би склав їх і розділив на 3.

    \[\dfrac{85 + 88 + 94}{3}\]

    \[\dfrac{267}{3}\]

    \[89\]

    Його середній бал тесту становить 89 балів.

    Визначення: Середнє

    Середнє множини n чисел - середнє арифметичне чисел.

    \[mean = \dfrac{sum\; of\; values\; in\; data\; set}{n}\]

    ЯК: ОБЧИСЛИТИ СЕРЕДНЄ ЗНАЧЕННЯ НАБОРУ ЧИСЕЛ

    Крок 1. Напишіть формулу для середнього\[mean = \dfrac{sum\; of\; values\; in\; data\; set}{n}\]

    Крок 2. Знайти суму всіх значень у множині. Запишіть суму в чисельнику.

    Крок 3. Підрахуйте число, n, значень у множині. Запишіть це число в знаменник.

    Крок 4. Спростити дріб.

    Крок 5. Перевірте, щоб переконатися, що середнє значення є розумним. Вона повинна бути більше найменшого числа і менше найбільшого числа в наборі.

    Приклад\(\PageIndex{1}\):

    Знайдіть середнє значення чисел 8, 12, 15, 9 і 6.

    Рішення

    Напишіть формулу середнього значення. $$середнє =\ dfrac {сума\; з\; значень\; в\; даних\; набір} {n} $$
    Запишіть суму чисел в чисельнику. $$середнє =\ dfrac {8 + 12 + 15 + 9 + 6} {n} $$
    Підрахуйте, скільки чисел в наборі. У множині 5 чисел, тому n = 5. $$середнє =\ dfrac {8 + 12 + 15 + 9 + 6} {5} $$
    Складіть числа в чисельнику. $$середнє =\ dfrac {50} {5} $$
    Потім розділіть. середнє = 10
    Переконайтеся, що середнє значення є «типовим»: 10 не менше 6 і не більше 15. Середнє значення - 10.
    Вправа\(\PageIndex{1}\):

    Знайдіть середнє значення чисел: 8, 9, 7, 12, 10, 5.

    Відповідь

    \(8.5\)

    Вправа\(\PageIndex{2}\):

    Знайдіть середнє значення чисел: 9, 13, 11, 7, 5.

    Відповідь

    \(9\)

    Приклад\(\PageIndex{2}\):

    Вік членів сім'ї, які зібралися на святкування дня народження, становив 16, 26, 53, 56, 65, 70, 93 та 97 років. Знайдіть середній вік.

    Рішення

    Напишіть формулу середнього значення. $$середнє =\ dfrac {сума\; з\; значень\; в\; даних\; набір} {n} $$
    Запишіть суму чисел в чисельнику. $ середнє =\ дфрак {16 + 26 + 53 + 56 + 65 + 70 + 93 + 97} {n} $$
    Підрахуйте, скільки чисел в наборі. Назвіть це n і запишіть його в знаменник. $ середнє =\ дфрак {16 + 26 + 53 + 56 + 65 + 70 + 93 + 97} {8} $$
    Спростити дріб. $$середнє =\ дфрак {476} {5} $$
      середнє = 59,5

    Чи є 59,5 «типовим»? Y es, це ні менше 16, ні більше 97. Середній вік - 59,5 років.

    Вправа\(\PageIndex{3}\):

    Вік чотирьох студентів у автопулі Бена - 25, 18, 21 та 22. Знайдіть середній вік учнів.

    Відповідь

    21,5 років

    Вправа\(\PageIndex{4}\):

    Єна підрахувала кількість електронних листів, які вона отримала минулого тижня. Цифри були 4, 9, 15, 12, 10, 12 і 8. Знайдіть середню кількість електронних листів

    Відповідь

    10

    Ви помітили, що в останньому прикладі, поки всі числа були цілими числами, середнє значення становило 59,5, число з одним десятковим знаком? Прийнято повідомляти середнє значення на один десятковий розряд більше, ніж початкові числа. У наступному прикладі всі цифри представляють гроші, і буде сенс повідомити середнє значення в доларах і центах.

    Приклад\(\PageIndex{3}\):

    За останні чотири місяці рахунки за стільниковий телефон Дейзі становили $42,75, $50.12, $41.54, 48,15 доларів. Знайдіть середню вартість рахунків за стільниковий телефон Дейзі.

    Рішення

    Напишіть формулу середнього значення. $ $ середнє =\ dfrac {сума\; з\; всіх\; чисел} {n} $$
    Запишіть суму чисел в чисельнику. $ $ середнє =\ dfrac {сума\; з\; всіх\; чисел} {4} $$
    Підрахуйте, скільки чисел в наборі. Назвіть це n і запишіть його в знаменник. $ середнє =\ дфрак {42.75 + 50.12 + 41.54 + 48.15} {4} $$
    Спростити дріб. $$середнє =\ дфрак {182.56} {4} $$
      середнє = 45,64

    Чи здається $45,64 «типовим» для цього набору чисел? Так, це не менше $41,54 і не перевищує $50.12. Середня вартість її рахунку за мобільний телефон склала $45.64.

    Вправа\(\PageIndex{5}\):

    Минулого тижня Рей записав, скільки витрачав на обід кожен робочий день. Він витратив $6,50, $7,25, $4,90, $5,30 і $12,00. Знайдіть середнє значення того, скільки він витрачав кожен день.

    Відповідь

    $7.19

    Вправа\(\PageIndex{6}\):

    Ліза зберегла квитанції від останніх чотирьох поїздок на заправку. Квитанції показують такі суми: $34,87, $42,31, 38.04 і $43,26. Знайдіть середнє значення.

    Відповідь

    $39.62

    Знайти медіану множини чисел

    Коли Енн, Бьянка, Дора, Єва та Франсін співають разом на сцені, вони шикуються в порядку своїх висот. Їх висоти, в дюймах, наведені в таблиці 5.70.

    Таблиця 5.70

    Енн Б'янка Дора Єва Франсін
    59 60 65 68 70

    Дора знаходиться в середині групи. Її зріст, 65 ″, є медіаною висот дівчат. Половина висот менше або дорівнює висоті Дори, а половина більше або дорівнює. Медіана - середнє значення.

    Цифри 59, 60, 65, 68 і 70 перелічені. 59 і 60 мають дужку під ними, а червоним кольором позначені «2 нижче». 68 і 70 мають дужку під ними, а червоним позначені як «2 вище». 65 має стрілку, що вказує на неї, і позначено як медіана.

    Визначення: Медіана

    Медіана набору значень даних - середнє значення.

    • Половина значень даних менше або дорівнює медіані.
    • Половина значень даних більше або дорівнює медіані.

    Що робити, якщо Кармен, піаністка, приєднається до співочої групи на сцені? Кармен має висоту 62 дюйми, тому вона вписується в порядок висоти між Б'янкою і Дорою. Тепер набір даних виглядає наступним чином:

    \[59, 60, 62, 65, 68, 70\]

    Немає єдиного середнього значення. Зростання шести дівчат можна розділити на дві рівні частини.

    \[\underbrace{59, 60, 62} \quad \underbrace{65, 68, 70}\]

    Статистики зійшлися на думці, що в таких випадках медіана - це середнє значення двох найближчих до середини значень. Отже, медіана - це середнє значення 62 і 65,\(\dfrac{62 + 65}{2}\). Серединна висота - 63,5 дюйма.

    Числа 9, 11, 12, 13, 15, 18 і 19 перераховані. 9, 11 і 12 мають дужку під ними і позначені «3 нижче». 15, 18 і 19 мають дужку під ними і позначені як «3 вище». 13 має стрілку, що вказує на неї, і позначена як медіана.

    Зверніть увагу, що коли кількість дівчат становила 5, медіана була третім зростом, але коли кількість дівчат становила 6, медіана була середнім показником третьої та четвертої висот. Загалом, коли кількість значень непарна, медіана буде одним значенням посередині, але коли число парне, медіана - це середнє значення двох середніх значень.

    ЯК: ЗНАЙТИ МЕДІАНУ НАБОРУ ЧИСЕЛ

    Крок 1. Перерахуйте числа від найменшого до найбільшого.

    Крок 2. Підрахуйте, скільки чисел в наборі. Назвіть це п.

    Крок 3. Непарна чи парна n?

    • Якщо n - непарне число, медіана - середнє значення.
    • Якщо n - парне число, медіана - це середнє значення двох середніх значень.
    Приклад\(\PageIndex{4}\):

    Знайдіть медіану 12, 13, 19, 9, 11, 15 та 18.

    Рішення

    Перерахуйте числа в порядку від найменшого до найбільшого. 9, 11, 12, 13, 15, 18, 19
    Підрахуйте, скільки чисел в наборі. Назвіть це п. п = 7
    Непарна чи парна n? дивно
    Медіана - середнє значення.
    Середина - це число в 4-й позиції. Таким чином, медіана даних становить 13.
    Вправа\(\PageIndex{7}\):

    Знайдіть медіану набору даних: 43, 38, 51, 40, 46.

    Відповідь

    43

    Вправа\(\PageIndex{8}\):

    Знайдіть медіану набору даних: 15, 35, 20, 45, 50, 25, 30.

    Відповідь

    30

    Приклад\(\PageIndex{5}\):

    Крістен отримала наступні бали на своїх щотижневих математичних вікторини: 83, 79, 85, 86, 92, 100, 76, 90, 88 та 64. Знайдіть її серединний бал.

    Рішення

    Перерахуйте числа в порядку від найменшого до найбільшого. 64, 76, 79, 83, 85, 86, 88, 90, 92, 100
    Підрахуйте кількість значень даних у наборі. Назвіть це п. п = 10
    Непарна чи парна n? навіть
    Медіана - середнє значення двох середніх значень, 5-го і 6-го чисел.
    Знайдіть середнє значення 85 і 86. середнє = 85,5

    Середній бал Крістен становить 85,5.

    Вправа\(\PageIndex{9}\):

    Знайдіть медіану набору даних: 8, 7, 5, 10, 9, 12.

    Відповідь

    8.5

    Вправа\(\PageIndex{10}\):

    Знайдіть медіану набору даних: 21, 25, 19, 17, 22, 18, 20, 24.

    Відповідь

    20.5

    Визначте режим набору чисел

    Середнє - це одне число в наборі чисел, яке якось характерно для всього набору чисел. Середнє і медіана часто називають середнім. Так, це може збивати з пантелику, коли слово середнє відноситься до двох різних чисел, середнього і медіани! Насправді існує третє число, яке теж є середнім. Це середнє значення - режим. Режим набору чисел - це число, яке зустрічається найбільше. Частота, це кількість разів, коли число відбувається. Так що режим набору чисел - це число з найбільшою частотою.

    Визначення: режим

    Режим набору чисел - це число з найбільшою частотою.

    Припустимо, Джолін відстежувала кількість миль, які вона пробігла з початку місяця, як показано на малюнку 5.7.

    Показано зображення календаря. У четвер перша, позначена новорічним днем, пишеться 2 милі. У суботу на третьому написано 15 милі. На 4-й, 8 миль. На 6-му, 3 хв. На 7-й, 8 миль. На 9-му, 5 хв. На 10-й, 8 миль.

    Малюнок 5.7

    Якщо перераховувати цифри по порядку, легше визначити той, який має найбільшу частоту.

    \[2, 3, 5, 8, 8, 8, 15\]

    Джолін пробігла 8 миль тричі, а кожне інше відстань вказано лише один раз. Таким чином, режим даних становить 8 миль.

    ЯК: ВИЗНАЧИТИ РЕЖИМ НАБОРУ ЧИСЕЛ

    Крок 1. Перерахуйте значення даних в числовому порядку.

    Крок 2. Підрахуйте кількість разів, коли з'являється кожне значення.

    Крок 3. Режим - це значення з найбільшою частотою.

    Приклад\(\PageIndex{6}\):

    Вік студентів у класі математики коледжу перераховані нижче. Визначте режим.

    18, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 22, 22, 22, 22, 22, 23, 24, 24, 25, 29, 30, 40, 44

    Рішення

    Віки вже перераховані по порядку. Ми складемо таблицю частот, щоб допомогти визначити вік з найвищою частотою.

    Таблиця показана з 2 рядками. Перший рядок має позначення «Вік» і містить значення: 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 29, 30, 40 і 44. Другий рядок має позначення «Частота» і містить значення: 4, 3, 7, 2, 5, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1 та 1.

    Тепер шукайте найвищу частоту. Найвища частота - 7, що відповідає 20-річному віку. Так що режим віку в цьому класі становить 20 років.

    Вправа\(\PageIndex{11}\):

    Кількість лікарняних днів, використаних працівниками минулого року: 3, 6, 2, 3, 7, 5, 6, 2, 4, 2. Визначте режим.

    Відповідь

    2

    Вправа\(\PageIndex{12}\):

    Кількість сумок, що належать жінкам в книжковому клубі: 5, 6, 3, 1, 5, 8, 1, 5, 8, 5. Визначте режим.

    Відповідь

    5

    Приклад\(\PageIndex{7}\):

    Дані перераховують висоти (в дюймах) учнів у класі статистики. Визначте режим.

    56 61 63 64 65 66 67 67
    60 62 63 64 65 66 67 70
    60 63 63 64 66 66 67 74
    61 63 64 65 66 67 67  

    Рішення

    Перерахуйте кожне число зі своєю періодичністю.

    Таблиця показана з 2 рядками. Перший рядок має маркування «Число» і перераховує значення: 56, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 70 і 74. Другий рядок має маркування «Частота» і перераховує значення: 1, 2, 2, 1, 5, 4, 3, 5, 6, 1 і 1.

    Тепер шукайте найвищу частоту. Найвища частота - 6, що відповідає висоті 67 дюймів. Так що режим цього набору висот становить 67 дюймів.

    Вправа\(\PageIndex{13}\):

    Тут наведено вік учнів у класі статистики: 19, 20, 23, 23, 38, 21, 19, 21, 19, 21, 21, 20, 43, 20, 23, 17, 21, 20, 29, 18, 28. Що таке режим?

    Відповідь

    21

    Вправа\(\PageIndex{14}\):

    Учні перерахували кількість членів свого домогосподарства наступним чином: 6, 2, 5, 6, 3, 7, 5, 6, 5, 3, 4, 4, 5, 5, 7, 6, 4, 5, 2, 1, 5. Що таке режим?

    Відповідь

    5

    Деякі набори даних не мають режиму, оскільки жодне значення не відображається більше, ніж будь-яке інше. І деякі набори даних мають більше одного режиму. У заданому наборі, якщо два або більше значень даних мають однакову найвищу частоту, ми говоримо, що всі вони є режимами.

    Дописувачі та атрибуція