1.4: Середні точки та бісектриса сегмента

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 1.3: Визначення відрізків лінії
- 1.5: Формула середньої точки

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Використовуйте середні та бісектриси, щоб знайти позначку на півдорозі між двома координатами.

Коли два сегменти конгруентні, ми вказуємо, що вони конгруентні або однакової довжини з маркуванням сегментів, як показано нижче:

F-д_6А98А3Д 7Д0Ф7Е30Ф7 А6626д413А3Е250 ДДФ Ф 53Д0Б2Д22А146Ф08+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{1}$

Середина - це точка на відрізку лінії, яка ділить його на два конгруентні відрізки.

Ф-Д_31д2Д6Б90116Б83С83КБСБ 107СБ 09938Ф38Ф38Д09105АС 9ДФ6427Е7+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{2}$

Тому що $AB=BC$ , $B$ є серединою $\overline{AC}$ . Будь-який відрізок лінії матиме рівно одну середину.

Коли точки побудовані в координатній площині, ми можемо використовувати формулу, щоб знайти середню точку між ними.

Ось два пункти, $(-5, 6)$ і $(3, 2).$

F-D_650EA721AE597CC15733B51060539384713704655785 ДБ3409 CA65DE+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{3}$

Середина повинна знаходитися на півдорозі між точками на відрізку, що з'єднує їх. Просто дивлячись, здається, що середина $(-1, 4).$

Формула середньої точки: Для двох точок, ( $x_1, y_1$ ) і ( $x_2,y_2$ ), середина є $\left (\dfrac{x_1+x_2}{2} , \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$ .

Давайте використаємо формулу, щоб переконатися $(-1, 4)$ , що це середина між $(-5, 6)$ і $(3, 2)$ .

$\left (\dfrac{-5+3}{2} ,\dfrac{6+2}{2}\right) =(−22,82)=(−1,4)$

Бісектриса відрізка розрізає відрізок лінії на дві конгруентні частини і проходить через середню точку. Перпендикулярна бісектриса - це бісектриса відрізка, яка перетинає відрізок під прямим кутом.

$\overline{AB} \cong \overline{BC}$

$\overline{AC} \perp \overleftrightarrow{DE}$

F-д_10Б5С81Е8971228E3765Ф5БФ 8C316678e8E86850a8F859736F82BDCAAD1A+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{4}$

Що робити, якщо вам дали координати двох точок і ви хотіли знайти точку точно посередині їх? Як би ви знайшли координати цієї третьої точки?

Приклад $\PageIndex{1}$

Напишіть всі однакові сегментні заяви.

F-д_9а 6700Е4Е1Д8Ф7С4722А6БФ 4668А0Б40КБ5ФБ6Б6БД46С24Б8Б8А1Е71Д+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{5}$

Рішення

$AD=DE$

$FD=DB=DC$

Приклад $\PageIndex{2}$

$M$ Це середина $\overline{AB}$ ?

F-д_76АБ1ДДК9ААЕ00Б907Ф6Е17901А9А17ББ9ФБ9ФБ549АЕ9Е399097ФДБ6ФД+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{6}$

Рішення

Ні, це не так $MB=16$ і $AM=34−16=18$ . $AM$ повинен дорівнювати для $MB$ того, щоб M була середньою точкою $\overline{AB}$ .

Приклад $\PageIndex{3}$

Знайдіть середню точку між $(9, -2)$ і $(-5, 14)$ .

Рішення

Підключіть точки в формулу.

$\left(\dfrac{9+(−5)}{2}\ ,\dfrac{−2+14}{2}\right)=\left(\dfrac{4}{2},\dfrac{12}{2}\right)=(2,6)$

Приклад $\PageIndex{4}$

Якою лінією є перпендикулярна бісектриса $\overline{MN}$ ?

F-д_ЕБ304884693938А 38Д56БФ 2БД Ф Ф Ф 528Ф4А3Е963С0091768ФБ3056D+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{7}$

Рішення

Перпендикулярна бісектриса повинна бути бісекційною $\overline{MN}$ і бути перпендикулярною їй. Тільки $\overleftrightarrow{OQ}$ підходить під цей опис. $\overleftrightarrow{SR}$ є бісектриса, але не перпендикулярна.

Приклад $\PageIndex{5}$

Знайти $x$ і $y$ .

Ф-Д_749 КФ80ДБА 8ФБ29Б27Б801Д636209Е36994Ф8Е53ФБ 86Б145C35FF53+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{8}$

Рішення

Показана лінія - перпендикулярна бісектриса.

Отже, $3x−6=21$

$3x=27$

$x=9$

І, $(4y−2)=90$

$4y=92$

$y=23$

Рецензія

Скопіюйте малюнок нижче і позначте його наступною інформацією:

$\overline{AB} \cong \overline{AD}$

$\overline{CD} \cong \overline{BC}$

F-D_9A867539E404ББА 62ДА 8 АФ 4Е566Ф7Б4Ф90А209239Ф13Б447100 ЕЕДА+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{9}$

Для 2-4 використовуйте наступну картинку, щоб відповісти на питання.

Ф-д_0е813Б80008999Б9Б9 бааа27Е076д 8989675Б02577С40Д06Ф 1Б1Б1С+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{10}$

$P$ середина того, що два сегменти?
Як $\overline{VS}$ ставиться до $\overline{QT}$ ?
Як $\overline{QT}$ ставиться до $\overline{VS}$ ?

Для вправи 5 використовуйте алгебру для визначення значення $x$ .

Малюнок $\PageIndex{11}$

Для питань 6-10 знайдіть середину між кожною парою точок.

(-2, -3) і (8, -7)
(9, -1) і (-6, -11)
(-4, 10) і (14, 0)
(0, -5) і (-9, 9)
(-3, -5) і (2, 1)

Враховуючи середню точку ( $M$ ) та будь-яку кінцеву точку $\overline{AB}$ , знайдіть іншу кінцеву точку.

$A(−1,2)$ і $M(3,6)$
$B(−10,−7)$ і $M(−2,1)$

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.4.

Лексика

Термін	Визначення
середина	Середина відрізка лінії - це точка на відрізку лінії, яка розділяє відрізок на дві конгруентні частини.
перпендикулярна бісектриса	Бісектриса відрізка, яка перетинає відрізок під прямим кутом.
бісектриса сегмента	Бісектриса відрізка - це лінія (або частина лінії), яка проходить через середню точку.
маркування сегментів	Коли два сегменти конгруентні, ми вказуємо, що вони збігаються з *маркуванням сегментів*.
Формула середньої точки	Формула середньої точки говорить, що для кінцевих точок $(x_1, y_1)$ і $(x_2, y_2)$ , середина є $\left (\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$ .

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Середні точки та бісектриси сегментів Приклади - Основні

Діяльність: Середні точки та сегментні бісектриси Питання обговорення

Навчальні посібники: Керівництво з вивчення сегментів

Практика: Середні точки та бісектриси сегментів

Реальний світ: середина та сегментні бісектриси - діяльність пошуку скарбів