4.4: Переклад з англійської на логіку речень

Незабаром ми дізнаємося, як оцінювати аргументи в Sentential Logic —аргументи, чиї передумови та висновки є реченнями SL. Однак у реальному житті ми не зацікавлені в оцінці аргументів якоюсь штучною мовою; ми зацікавлені в оцінці аргументів, представлених природними мовами, такими як англійська. Таким чином, для того, щоб наша оціночна процедура аргументу SL мала будь-яке реальне значення, ми повинні показати, як аргументи SL можуть бути справедливими уявленнями природничих мовних аналогів. Нам потрібно показати, як перекладати речення англійською мовою на SL.

У нас вже є деякі підказки про те, як це робиться. Ми знаємо, що прості англійські речення представлені як великі літери в SL. Ми знаємо, що наші оператори - тильда, точка, клин, підкова та потрійний бар - є аналогами SL англійських локуцій «не», «і», «або», «якщо/тоді» та «якщо і тільки якби» відповідно. Але є значно більше сказати на тему відносин між англійською та SL. Наші оператори - поодинці або в поєднанні - можуть захопити набагато більшу частину англійської, ніж цей короткий список слів і фраз.

Тільда, крапка і клин

Розглянемо слово «але». В англійській мові воно має інше значення від слова 'і'. Коли я кажу «Дональд Трамп багатий і щедрий», я повідомляю одне; коли я кажу «Дональд Трамп багатий, але щедрий», я спілкуюся дещо іншим. Обидва висловлювання передають твердження про те, що Трамп багатий, з одного боку, і щедрий з іншого. Речення «але», однак, передає щось більше, а саме, що є щось дивовижне у великодушності у світлі багатства, що між ними існує певна напруга. Але зверніть увагу, що кожне з цих висловлювань вірно за тих самих обставин: коли Трамп і багатий, і щедрий; різниця між «але» і «і» не впливає на правдиві умови. Оскільки значення наших операторів SL повністю визначені з точки зору їх впливу на істинні значення, SL сліпий до різниці в значенні між «і» і «але». Оскільки істинні умови для сполук, що містять два слова, однакові - істинні лише у випадку, якщо обидва компоненти є істинними, і помилковими в іншому випадку - ми можемо використовувати крапку для представлення обох. «Дональд Трамп багатий і щедрий», а «Дональд Трамп багатий, але щедрий» буде винесено в SL як щось на кшталт «R • G» (де «R» означає просте речення «Трамп багатий», а «G» означає «Трамп щедрий»). Знову ж таки, перехід з англійської мови на SL - це стратегія боротьби з безладністю природної мови: для проведення суворого логічного аналізу, що бере участь у оцінці дедуктивних аргументів, нам потрібна простіша, приборкана мова; невелика різниця в значенні між «і» і «але» є однією з зморшок, які ми потрібно випрасувати, перш ніж ми зможемо продовжити.

Існують інші слова та фрази, які мають такий же вплив на значення істини, як і ', і тому їх можна представити крапкою: «хоча», «проте», «крім того», «додатково» тощо. Всі вони можуть бути використані для формування сполучників.

Способів формування диз'юнкцій в англійській мові менше. Майже завжди в них є слово «або», іноді супроводжується «або». Щоразу, коли ми побачимо «або», ми переведемо це на SL як клин. Як ми обговорювали, клин захоплює інклюзивне відчуття «або» - того чи іншого, або обох. Ексклюзивний сенс - той чи інший, але не обидва - також може бути відображений у SL, використовуючи комбінацію символів. «Хілларі Клінтон або Дональд Трамп виграють вибори, але не обидва». Як би ми перевели це на SL? Нехай «H» виступає за «Хілларі Клінтон виграє», а «D» - «Дональд Трамп виграє». Ми знаємо, як боротися з «або» частиною: «Хілларі Клінтон переможе або Дональд Трамп переможе» - це просто «H ₵ D'. Як щодо частини «не обох»? Це твердження, трохи перефразовуючи, що це не той випадок, що і Хілларі, і Трамп виграють; тобто це заперечення кон'юнкції: '~ (H • D) '. Отже, у нас є частина «або», і ми маємо частину «не обидва»; єдине, що залишилося, це слово «але» між ними. Ми тільки що навчилися з цим боротися! «Але» перекладається як крапка. Отже, правильний переклад SL «Хілларі Клінтон або Дональд Трамп виграють вибори, але не обидва» полягає в наступному:

(Ч ∨ Д) • ~ (Ч • Г)

Зверніть увагу, що ми повинні були докласти диз'юнкцію, 'H ₵ D', в дужках. Це для усунення неоднозначності: без дужок ми б не знали, чи є клин або (середня) точка основним оператором, і тому конструкція не була б добре сформована. У SL виняткове значення «або» виражається кон'юнкцією: воно поєднує (включно) «або» претензію до «не обох» - одне чи інше, але не обидва.

Варто зробити паузу, щоб задуматися над символікою «не обох», і порівняти її з додатковою локацією - «нічий/ні». Ми символізуємо «не обидва» в SL як заперечений сполучник; «nither/nor» - це заперечений дис-перехід. Вирок «Ні Дональд Трамп, ні Бейонсе не виграють вибори» буде винесено як «~ (D ₵ B)»; тобто це не так, що або Дональд, або Бейонсе виграють.

Коли ми обговорювали синтаксис SL, було корисно використовувати і аналогію з арифметикою, щоб зрозуміти взаємодію між тильдами і дужками. Прийняття цієї аналогії занадто далеко у випадку заперечених сполучників та диз'юнкцій може призвести нас до помилки. В арифметиці вірно наступне:

- (2 + 5) = -2 + -5

Ми можемо розподілити мінус-знак всередині дужок (це просто множення на -1). Наступні, однак, не вірні в логіці (Потрійний бар є логічним знаком рівності; це вказує на те, що компоненти мають однакові істинні умови (значення)):

~ (р • q) ≡ ~ р • ~ q [НЕПРАВИЛЬНО]
~ (p ₵ q) ≡ ~ p ₵ ~ q [НЕПРАВИЛЬНО]

У цих випадках тильда не може бути розподілена всередині дужок. Для кожного ліво- і праворучні компоненти мають різне значення. Щоб зрозуміти, чому, слід подумати над деякими конкретними прикладами. Нехай «R» виступає за «Дональд Трамп багатий», а «G» - «Дональд Трамп щедрий». «~ (R • G) «символізує твердження, що Трамп не є одночасно багатим і щедрим. Зверніть увагу, що ця претензія сумісна з його насправді багатим, але не щедрим, а також з його щедрим, але не багатим. Твердження полягає лише в тому, що він не обидва. Тепер розглянемо твердження, що '~ R • ~ G' символізує. Основним оператором у цьому реченні є точка; це сполучник. Сполучники беруть на себе зобов'язання правді кожного зі своїх сполучників. Кон'юнкти в цьому випадку символізують речення «Трамп не багатий» і «Трамп не щедрий». Тобто цей кон'юнктор відданий Трампу бракує як багатства, так і щедрості. Це сильніше твердження, ніж сказати, що він не обидва: якщо ви говорите, що він не обидва, це сумісно з тим чи іншим; «~ R • ~ ~ G», з іншого боку, наполягає на тому, що обидва виключені. Отже, загалом кажучи, заперечений кон'юнкція робить іншу (слабшу) претензію, ніж поєднання двох заперечень.

Існує також різниця між запереченою диз'юнкцією і диз'юнкцією двох заперечень. Розглянемо '~ (R ₵ G) '. Це символізує вирок «Трамп ні багатий, ні щедрий». Іншими словами, йому не вистачає і багатства, і щедрості. Це набагато сильніше твердження, що той, який символізує «~ R ₵ ~ G» - диз'юнкція «Або Трамп не багатий, або він не щедрий». Йому не вистачає тієї чи іншої якості (або обох; диз'юнкція є інклюзивною). Це сумісно з тим, що він насправді багатий, але не щедрий; він також сумісний з його щедрим, але не багатим.

Ви помітили, що там сталося? Я використовував ту саму мову для опису претензії, символізованої «~ (R • G)» та '~ R ₵ ~ G'. Обидва просто стверджують, що він не багатий і щедрий; він може бути тим чи іншим. Я також описав претензії, зроблені «~ (R ₵ G)» та «~ R • ~ G» так само. Обидва роблять сильніше стверджують, що йому не вистачає обох характеристик. Це вірно загалом: заперечені сполучники еквівалентні диз'юнкції двох заперечень; а заперечені диз'юнкції еквівалентні поєднанню двох заперечень. Наступні логічні еквіваленти вірні (Їх часто називають «Закони ДеМоргана» після дев'ятнадцятого століття англійський логік Август ДеМорган, який, мабуть, першим сформулював з точки зору сучасної формальної системи, розробленої його земляком і сучасником Джорджем Булем. Однак DeMorgan не виявив цих еквівалентів. Вони були відомі логікам ще з давніх греків):

~ (р • q) ≡ ~ р ₵ ~ q
~ (р ₵ q) ≡ ~ р • ~ q

Якщо ви хочете розподілити цю тильду всередині дужок (або, як варіант, рухаючись справа наліво, витягнути тильду назовні), вам доведеться змінити клин на крапку (і навпаки).

Підкова і трипл-бар

Є багато англійських локуцій, які ми можемо символізувати, використовуючи підкову та потрійний бар, особливо підкову. Насправді, як ми побачимо, можна надати претензії, перекладені з потрійною смугою, використовуючи замість цього підкову (разом із крапкою). Ми розглянемо репрезентативну вибірку багатьох способів, за допомогою яких умовні та двоумовні можуть виражатися англійською мовою, і поговоримо про те, як перевести їх в SL за допомогою підкови і трипл-бару.

Канонічна презентація умовного використовує слова «якщо» і «то», як у «Якщо демократи відіграють Конгрес, то буде прийнято багато нового законодавства». Але слово «тоді» насправді не є необхідним: «Якщо демократи відіграють Конгрес, буде прийнято багато нового законодавства» робить те саме твердження. Це також буде символізуватися як 'D, то L' (з 'D' і 'L' стоять для очевидних простих компонентів). Слово 'if' також можна замінити. «За умови, що демократи відіграють Конгрес, буде прийнято багато нового законодавства» також висуває таку ж претензію.

Речі стають складними, якщо ми змінюємо розміщення «якщо». Поклавши це в середині речення, ми отримуємо, наприклад, «Ваш біль зникне, якщо ви п'єте цей трав'яний чай щодня протягом тижня». Порівняйте це речення з тим, яке ми розглядали раніше: «Якщо ви п'єте цей трав'яний чай щодня протягом тижня, то ваш біль зникне». Читайте одне, потім інше. Вони пред'являють однакову претензію, чи не так? Емпіричне правило: все, що слідує за словом «if», коли «if» відбувається самостійно (без слова «тільки»; див. Нижче), є попередником умовного. Ми б переклали обидва ці речення як щось на кшталт 'D (де 'D' - для пиття чаю, а 'P' - для болю, що йде).

Слово «тільки» змінює речі. Подумайте: «Я виграю в лотерею, лише якщо у мене є квиток». Розумне твердження, очевидно, вірне. Я припускаю, що це умовне. Нехай «W» позначають «Я виграю лотерею» і «Т» позначають «У мене є квиток». Що є попередником і що є наслідком? Яка з цих двох символізацій правильна:

T TL W
або
W taLT

Щоб зрозуміти це, давайте прочитаємо їх на англійську мову як канонічні претензії «якщо/тоді». Перший каже: «Якщо у мене є квиток, то я виграю в лотерею». Ну, це оптимістично! Але явно неправдиве—що - те тільки дурня повірив би. Це не може бути правильним способом символізувати нашу оригінальну, цілком розумну твердження, що я виграю, лише якщо у мене є квиток. Так що це повинна бути друга символізація, яка говорить про те, що якщо я виграв лотерею, то у мене був квиток. Це краще. Взагалі кажучи, компонент, що виникає перед «тільки якщо», є попередником умовного, а компонент, що виникає після, є наслідком.

Претензію в останньому прикладі можна поставити по-різному: наявність квитка - необхідна умова для виграшу в лотерею. Ми весь час використовуємо мову «необхідних і достатніх умов». Ми символізуємо ці локації з підковою. Наприклад, бути не менше 16 років - необхідна умова наявності водійських прав (в більшості штатів). Нехай «О» позначають «Мені принаймні 16 років» та «D» позначають «Я маю водійські права». 'D aLi O 'символізує речення, яке стверджує, що O необхідний для D. Навпаки не спрацює: «O», якщо ми прочитаємо його назад, говорить: «Якщо мені принаймні 16 років, то у мене є водійські права». Але це неправда. Багато 16-річних дітей не отримують ліцензії. Існують додаткові умови крім віку: проходження тесту, фізична здатність керувати автомобілем і т.д.

Інший спосіб поставити це: бути принаймні 16 років не є достатньою умовою для отримання водійських прав; цього недостатньо самостійно. Приклад достатньої умови: отримання 100% на кожному тесті є достатньою умовою для отримання А в класі (припускаючи, що тести є єдиними оцінками). Тобто, якщо ви отримуєте 100% на кожному тесті, то ви отримаєте A. Якщо «H» означає «Я отримав 100% на всіх тестах», а «A» означає «Я отримав A в класі», то ми вказуємо, що H є достатньою умовою для A в SL, написавши «H» A'. Зауважте, що це не є необхідною умовою: вам не потрібно бути ідеальним, щоб отримати A. 'At | H 'символізував би неправду.

Визначити поняття - це забезпечити необхідні і достатні умови для підпадання під нього. Наприклад, холостяк - це, за визначенням, неодружений чоловік. Тобто, бути неодруженим чоловіком є необхідним і достатнім для того, щоб бути холостяком: ви не кваліфікуєтесь як холостяк, ви не є неодруженим чоловіком, і бути неодруженим чоловіком достатньо, самостійно, щоб претендувати на холостяцтво. Для таких обставин у нас є потрійний бар. Нагадаємо, фраза про те, що потрійний бар призначений для захоплення значення «якщо і тільки якщо». Зараз ми в змозі зрозуміти цю локацію. Розглянемо твердження, що я холостяк тоді і тільки в тому випадку, якщо я неодружений чоловік. Це дійсно поєднання двох претензій: я холостяк, якщо я неодружений чоловік, і я холостяк, тільки якщо я неодружений чоловік. Нехай «Б» позначають «Я холостяк» і «U» позначають «Я неодружений самець». Наша претензія тоді B, якщо U, і B тільки якщо U. ми знаємо, як боротися з 'if' самостійно між двома реченнями: одне після 'if' є попередником умовного. І ми знаємо, як боротися з «тільки якщо»: речення перед ним є попередником, а речення після нього є наслідком. Щоб символізувати «Я холостяк, якщо я неодружений самець», використовуючи підкови та крапку, ми отримуємо це:

(U TALI Б) • (B TALI U)

Лівий кон'юнкт є частиною 'if'; правий кон'юнкт є частиною «тільки якщо». Мета потрійного бару - дати нам спосіб символізувати такі претензії легше, єдиним символом. «Я холостяк, якщо і тільки якщо я неодружений чоловік» можна перекласти на SL як «B ≡ L», що є лише скороченням для більш тривалого поєднання умов вище. І враховуючи, що «необхідний і достатній» - це також просто поєднання двох умовних, ми також використовуємо потрійний бар для цього локуції. (Крім того, фраза «про всяк випадок» може бути використана для вираження двозастережної претензії.)

У цей момент у вас може виникнути заперечення: навіщо взагалі включати трійник в SL, якщо це незамінно на користь точки і пари підкови? Хіба це не зайве? Ну, так і ні. Ми могли б обійтися без цього, але наявність його полегшує певні переклади. Власне кажучи, це стосується всіх наших символів. Завжди можна замінити їх комбінаціями інших. Розглянемо підкову. Це помилково, коли попередній істинний і, як наслідок, помилковий, істинний інакше. Отже, насправді, це просто твердження, що це не так, що попереднє вірне, а висновок помилковий - заперечений кон'юнкція. Ми могли б замінити будь-який р, t q на ~ (р • ~ q). І еквіваленти, які ми бачили раніше— закони ДеМорган - показують нам, як ми можемо замінити крапки клинами і навпаки. Це факт (я цього не буду доводити; повірте на слово), що ми могли б обійтися лише двома символами на нашій мові: тильда і будь-який клин, точка або підкова. (Насправді, це можливо отримати тільки з одним символом: якби ми визначили новий двомісний оператор, який істинно, коли обидва компоненти є помилковими, і false інакше, що б зробити трюк. Символ, який зазвичай використовується для цієї істинної функції - «|», який називається «штрих Шеффер» після логіка (Генрі Шеффер), який вперше опублікував цей результат) Отже, так, у нас є більше символів, ніж нам потрібно, строго кажучи. Але зручно мати кількість символів, які ми робимо, оскільки вони акуратно вибудовуються з англійськими locutions, що робить переклад між англійською та SL набагато простішим, ніж було б інакше.

Вправи

Перекладіть наступне на SL, використовуючи жирні великі літери, щоб стояти для простих речень.

1. Гаррі Лайм - злочинець C, але він не монстр М.

2. Якщо Т Горвальд не вбив свою дружину, то J effries буде виглядати нерозумно.

3. Розмарі не любить як Me Max, так і H German.

4. Майкл не буде K хворий Фредо, якщо його М інший ще живий.

5. Ні W Вуді, ні B uzz не змогли перемогти Зурга, але R ex міг.

6. Якщо F redo або S onny візьме на себе сім'ю, це буде катастрофа D.

7. Е лі розбагатіє тільки в тому випадку, якщо D aniel не п'є свій молочний коктейль.

8. Написання хіта P lay необхідно для Розмарі, щоб впасти в L ove з Максом.

9. Кейн не був W на виборах, але якщо відкриття опери O пройде добре, він поверне свою гідність D.

10. Якщо Дейв летить в M onolith, то він матиме T трансформаційний досвід; але якщо він не летить в M onolith, він застрягне на кораблі G.

11. Кейн хоче, щоб я любив, якщо і тільки якщо він отримує його на власних умовах ТБ.

12. Або Генрі тримає свій рот M закритим і довго йде до J Mail, або R діє на своїх друзів і живе решту свого життя, як S chnook.

13. Тільки якщо Герман побудує акваріум Розмарі Л любить його. Я вбиваю Моррі достатньо для того, щоб тримати його Q тихо.

15. Джефріс буде V вказано, за умови, що Торвальд K вбив свою дружину, і Дойл А визнає, що він був правий весь час.

16. C Співпраця з Сесілом Б. ДеМілле необхідна для того, щоб відродити кар'єру Норми, і якщо вона не співпрацює з ДеМілле, Норма може піти в глузду.

17. Або D aniel або E li отримають масло, але не обидва.

18. Щоб мати F повноцінне життя як іграшку, необхідно, але недостатньо, щоб з ним грали діти.

19. Чувак отримає R Rich, якщо план WP Уолтера працює, і якщо чувак отримає R Rich, він придбає новий куля для боулінгу B і новий килимок C.

20. Або блок AE-35 U дійсно несправний, або HAL пішов з розуму C; і якщо HAL зійшов з розуму C, то місія M буде невдалою, і ні D ave, ні F ранг ніколи не повернеться додому.