4.2: Синтаксис логіки речень

Last updated
Save as PDF

Page ID: 50927

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

По-перше, ми розглянемо синтаксис. Ця дискусія дасть нам деякі підказки щодо взаємозв'язку між Sentential Logic та англійською мовою, але повний облік цих відносин доведеться почекати, як ми вже говорили, для обговорення семантики.

Англійською мовою ми можемо розрізнити два типи (декларативних) речень: прості та складні. Просте речення - це таке, яке не містить жодного іншого речення як складової частини. Складене речення - це таке, яке містить хоча б одне інше речення як складову частину. (Ми не будемо давати суворого визначення того, що таке одне речення, щоб бути складовою частиною іншого речення. Швидше, ми спробуємо встановити інтуїтивне розуміння відносини, наводячи приклади, і обумовимо, що суворе визначення може бути надано, але це занадто багато клопоту, щоб возитися.) «Бейонсе логічне» - це просте речення; жодна з його частин сама по собі не є реченням. (Ви можете подумати, що «Бейонсе є» є частиною речення, яке кваліфікується як саме речення - речення, яке стверджує, що вона існує, можливо. Але це не зробить. Слово «є» в оригінальному реченні - це «є» присудком» - просте зв'язувальне дієслово; «Бейонсе є» лише вважається реченням, якщо ви зміните значення «є» на «є» існування». Так чи інакше, перестаньте завдавати неприємностей. Ось чому ми не дали суворого визначення «складової частини»; ми б загрузли в цих видів таємних відмінностей.) «Бейонсе логічна, а Джеймс Браун живий» - це складне речення: воно містить два простих речення як складові частини, а саме: «Бейонсе логічна» та «Джеймс Браун живий».

У SL ми будемо використовувати великі літери - 'A ',' B ',' C ',..., 'Z' - для позначення простих речень. Наша практика буде просто вибирати великі літери для простих пропозицій, які легко запам'ятати. Наприклад, ми можемо вибрати «B», щоб стояти за «Бейонсе логічно» та «J», щоб стояти за «Джеймс Браун живий». Досить легко. Тверда частина символізує складні речення в SL. Як би ми впоралися з «Бейонсе логічна, а Джеймс Браун живий», наприклад? Ну, у нас є великі літери, які стоять для простих частин речення, але це залишає слово «і'. Нам потрібно більше символів.

Ми виділимо п'ять різних видів складного речення та введемо спеціальний символ SL для кожного. Знову ж таки, на цьому етапі ми обговорюємо лише синтаксис SL—правила об'єднання його символів у добре сформовані конструкції. Ми матимемо кілька підказок щодо семантики цих нових символів - натяки на їх значення - але повне розгляд цієї теми не прийде до наступного розділу.

Сполучення

Перший тип складного речення - це той, який ми вже бачили. Сполучники - це, приблизно, «і'-речення - речення на кшталт «Бейонсе логічна, а Джеймс Браун живий». Ми вже вирішили дозволити «B» стояти за «Бейонсе логічно» і дозволити «J» стояти за «Джеймс Браун живий». Що нам потрібно, це символ, який розшифровується як «і». У SL цей символ є «крапкою». Виглядає це так: •.

Щоб сформувати сполучення в SL, ми просто наклеюємо крапку між двома складовими літерами, таким чином:

Б • J

Це версія SL «Бейонсе логічна, а Джеймс Браун живий».

Примітка про термінологію. Кон'юнкція має два компоненти, по одному з обох боків від точки. Ми будемо називати їх «кон'юнктами» сполучника. Якщо нам потрібно бути конкретними, ми можемо посилатися на «лівий кон'юнкт» ('B' в даному випадку) або «правий кон'юнкт» ('J' в даному випадку).

диз'юнкція

Розмежування - це, грубо, «або» речення - речення на кшталт «Бейонсе логічна або Джеймс Браун живий». Іноді «або» супроводжується словом «або», як у «Або Бейонсе логічна, або Джеймс Браун живий». Знову ж таки, ми дозволяємо «B» стояти за «Бейонсе логічна» і нехай «J» виступає за «Джеймс Браун живий». Нам потрібен символ, який розшифровується як «або» (або «або/або»). У SL цей символ є «клином». Виглядає це так:

Щоб сформувати сполучення в SL, ми просто наклеюємо клин між двома складовими літерами, таким чином:

Б ∞ ДЖ

Це версія SL «Бейонсе логічна або Джеймс Браун живий».

Примітка про термінологію. Диз'юнкція має два компоненти, по одному з обох боків клина. Ми будемо називати їх «диз'юнктами» диз'юнкції. Якщо нам потрібно бути конкретними, ми можемо посилатися на «лівий диз'юнкт» ('B' в даному випадку) або «правосторонній диз'юнкт» ('J' в даному випадку).

заперечення

Заперечення - це, приблизно, «не» речення - речення на кшталт «Джеймс Браун не живий». Можливо, вам здасться дивним, що це буде вважатися складним реченням. Не відразу зрозуміло, наскільки будь-яка складова частина цього речення сама по собі є пропозицією. Дійсно, якщо визначення «складової частини» (яке ми навмисно не надали) вимагало, щоб частини речень містили лише суміжні слова (слова поруч один з одним), ви не могли придумати частину «Джеймс Браун не живий», яка сама по собі є реченням. Але це не умова щодо «складової частини». Насправді це речення містить ще одне речення як складову частину, а саме: «Джеймс Браун живий». Це можна зробити більш зрозумілим, якщо перефразувати вихідне речення. «Джеймс Браун не живий» означає те саме, що і «Це не так, що Джеймс Браун живий». Тепер у нас є всі слова в «Джеймс Браун живий» поруч один з одним; це явно складова частина більшого складного речення. У нас є 'J', щоб стояти за простий компонент; нам потрібен символ для 'це не так '. У SL цей символ є «тильдою». Виглядає це так: ~.

Щоб сформувати заперечення в SL, ми просто префіксуємо тильду до простішого компонента, який заперечується:

Це версія SL «Джеймс Браун не живий».

Умовні

Умовні умови - це, приблизно, «якщо/потім» речення - речення на кшталт «Якщо Бейонсе логічна, то Джеймс Браун живий». (Джеймс Браун насправді мертвий. Але припустимо, що Бейонсе - це «Джеймс Браун-Трутер», річ, яку я щойно придумав. Вона стверджує, що Джеймс Браун підробив свою смерть, що Хрещений батько душі все ще живий, отримуючи фанки в якомусь таємному місці. (Грайте разом.) У такому випадку умовне речення може мати сенс.) Знову ж таки, ми дозволяємо «B» стояти за «Бейонсе логічна» і нехай «J» виступає за «Джеймс Браун живий». Що нам потрібно, це символ, який розшифровується як 'if/then' частина. У SL цей символ є «підкова». Виглядає це так: taLi.

Щоб сформувати умовний у SL, ми просто вставляємо підкову між двома складовими літерами (де зустрічається слово «тоді»), таким чином:

Б ALI J

Це версія SL «Якщо Бейонсе логічна, то Джеймс Браун живий».

Примітка про термінологію. На відміну від нашого лікування сполучників і диз'юнкцій, ми будемо розрізняти дві складові умовного. Компонент зліва від підкови буде називатися «попередником» умовного; компонент після підкови є його «наслідком». Як ми побачимо, коли ми перейдемо до семантики для SL, є вагома причина для розрізнення двох компонентів.

Біумовні

Біумовні умови - це, приблизно, «якщо і тільки як"-речення - речення на кшталт «Бейонсе логічні тоді і лише тоді, коли Джеймс Браун живий». (Це, мабуть, не знайомий локація. Про те, що це означає, ми поговоримо докладніше, коли обговорюємо семантику.) Знову ж таки, ми дозволяємо «B» стояти за «Бейонсе логічна» і нехай «J» виступає за «Джеймс Браун живий». Нам потрібен символ, який позначає частину «якщо і тільки якщо». У SL цей символ є «потрійною смугою». Виглядає це так: ≡.

Щоб сформувати двозастережний в SL, ми просто вставляємо потрійний бар між двома складовими літерами, таким чином:

B ≡ J

Тобто SL версія «Бейонсе логічна тоді і лише тоді, коли Джеймс Браун живий».

Особливих назв для компонентів біумовного немає.

Пунктуація - Дужки

Наша мова, SL, досить сувора: поки що у нас є лише 31 різні символи - 26 великих літер та п'ять символів для п'яти різних типів складного речення. Тепер ми додамо ще дві: ліву і праву дужки. І це буде так.

Ми використовуємо дужки в SL з однієї причини (і лише з однієї причини): для усунення неоднозначності. Щоб побачити, як це працює, корисно буде провести аналогію між SL і мовою простої арифметики. Останній також має обмежену кількість символів: числа, знаки для арифметичних операцій (додавання, віднімання, множення, ділення) та дужки. Дужки використовуються в арифметиці для неоднозначності. Розглянемо таку комбінацію символів:

2 +3 х 5

У своєму роді ця формула неоднозначна. Я не знаю, чи це сума чи добуток; тобто я не знаю, який оператор - знак додавання або знак множення - є основним оператором. (Можливо, ви дізналися «порядок операцій» в початковій школі, згідно з яким множення має пріоритет над додаванням, щоб не було двозначності в цьому виразі. Але порядок операцій - це всього лише (в основному довільний) спосіб усунення неоднозначності, яка була б там без неї. Справа в тому, що відсутня якась умовна умова - будь то дужки чи порядок операцій - значення таких виразів невизначені.) Ми можемо використовувати дужки для усунення неоднозначності, і ми можемо зробити це двома різними способами:

(2 + 3) х 5
або
2 + (3 х 5)

І звичайно, де ми ставимо дужки робить велику різницю. Перша формула - добуток; знак множення - основний оператор. Він виходить до 25. Друга формула - сума; знак додавання - основний оператор. І виходить до 17. Різне розміщення дужок, різні результати.

Така ж річ буде виникати в SL. Ми використовуємо той самий термін, який ми використовуємо для позначення знаків додавання та множення - «оператор» - для позначення точки, клина, тильди, підкови та потрійного бару. (Як ми побачимо, коли ми подивимося на семантику для SL, це цілком правильно, оскільки оператори SL позначають математичні функції на істинних значеннях.) Існують способи об'єднання символів SL у складені формули з більш ніж одним оператором; і так само, як і в арифметиці, без дужок, ці формули були б неоднозначними. Давайте розглянемо приклад.

Розглянемо це речення: «Якщо Бейонсе логічна, а Джеймс Браун живий, то я королева Англії». Це складне речення, але воно містить як слово «і», так і конструкцію «якщо/то». І він має три прості компоненти: два, до яких ми звикли зараз про Бейонсе та Джеймса Брауна, які ми символізуємо відповідно «B» та «J», і новий - «Я королева Англії» - який ми також можемо символізувати з «Q». Виходячи з того, що ми вже знаємо про те, як працюють символи SL, ми б візуалізували речення таким чином:

Б • J ALI Q

Але так само, як і у випадку з арифметичним прикладом вище, ця формула неоднозначна. Я не знаю, що це за складне речення - сполучник або умовне. Тобто, я не знаю, який з двох операторів - точка або підкова - є основним оператором. Для того, щоб усунути неоднозначність, нам потрібно додати кілька дужок. Це може піти двома шляхами, і нам потрібно вирішити, який з двох варіантів правильно відображає значення вихідного речення:

(B • J) TL Q
або
B • (J aCL Q)

Перша формула є умовною; підкова - її головний оператор, а попередник - складне речення (сполучник «B • J»). Друга формула - сполучник; точка - її основний оператор, а праворуч - складне речення (умовне 'J Q '). Нам потрібно вирішити, яка з цих двох формулювань правильно відображає значення англійського речення «Якщо Бейонсе логічна, а Джеймс Браун живий, то я королева Англії».

Питання в тому, яке складне речення є оригіналом? Це умовний чи кон'юнктор? Це не сполучник. Сполучники - це приблизно (знову ж таки, ми ще не робимо семантику), 'і'-речення. Коли ви вимовляєте кон'юнкцію, ви берете на себе зобов'язання обом кон'юнктам. Якщо я скажу: «Бейонсе логічна, а Джеймс Браун живий», я кажу вам, що обидві ці речі правдиві. Якщо ми тлумачимо теперішнє речення як сполучник, правильно символізований як «B • (J aCl Q)», то ми вважаємо, що людина, яка вимовляє речення, вчинена обом кон'юнктам; вона говорить нам, що дві речі вірні: (1) Бейонсе логічна і (2) якщо Джеймс Браун живий, то вона королева Англія. Отже, якщо ми сприймаємо це як сполучник, ми інтерпретуємо оратора як прихильного до пропозиції, що Бейонсе логічна. Але очевидно, що вона не є. Вона вимовила: «Якщо Бейонсе логічна, а Джеймс Браун живий, то я королева Англії», щоб висловити сумнівність щодо логічності Бейонсе (і статусу Джеймса Брауна серед живих). Це речення не є сполучником, воно є умовним. Це говорить, що якщо ці дві речі вірні (про Бейонсе та Джеймса Брауна), то я королева Англії. Висловлювач сумнівається, що обидва кон'юнктури в попередньому. Правильна символізація цього речення - перша вище: '(B • J) aLi Q'.

Знову ж таки, в SL дужки мають одну мету: прибрати неоднозначність. Ми використовуємо їх лише для цього. Такий вид неоднозначності виникає у формулах, як та, яку щойно обговорювали, включаючи кілька екземплярів операторів точка, клин, підкова та потрійний бар.

Зверніть увагу, що я не згадував тильду там. Тільда відрізняється від інших чотирьох. Точка, клин, підкова та потрійний бар - це те, що ми могли б назвати «операторами двох місць». Є два простіші компоненти в сполучники, диз'юнкції, умовні та двоумові. З іншого боку, заперечення мають лише один простіший компонент; отже, ми можемо назвати тильду «оператором одного місця». Він діє лише на одне: речення, яке воно заперечує.

Ця відмінність має відношення до нашого обговорення дужок та неоднозначності. Ми приймемо конвенцію, згідно з якою тильда заперечує першу добре сформовану конструкцію SL відразу праворуч. Ця конвенція матиме ефект усунення потенційної неоднозначності без необхідності дужок. Розглянемо наступну комбінацію символів SL:

~ A ∞ B

Може здатися, що ця формула неоднозначна, з наступними двома можливими способами усунення неоднозначності:

~ (A ∨ B)
або
(~ A) ∨ B

Але це не так. Враховуючи нашу умовність - тильда заперечує першу добре сформовану конструкцію SL відразу праворуч - вихідна формула - '~ A ₵ B'—не є неоднозначною; вона добре сформована. Оскільки «A» сама по собі є добре сформованою конструкцією SL (найпростішого виду), тильда в «~ A ₵ B» заперечує лише «A». Це означає, що нам не потрібно вказувати цей факт дужками, як у другому з двох потенційних неоднозначностей вище. Така формула, з дужками навколо тильди та елемента, який вона заперечує, не є добре сформованою конструкцією в SL. Враховуючи нашу конвенцію про тильди, дужки навколо '~ A' є надмірними.

Перша потенційна неоднозначність - '~ (A ₵ B) '— добре сформована, і це означає щось інше від «~ A ͡B». У першому тильда заперечує всю диз'юнкцію, «B»; в останньому вона заперечує лише «A». Це має значення. Знову ж таки, аналогія з арифметикою тут корисна. Порівняйте наступні дві формули:

- (2 + 5)
проти
-2 + 5

У першому мінус-знак охоплює всю суму, і тому результат дорівнює -7; у другому він охоплює лише 2, тому результат дорівнює 3. Це точно аналогічно різниці між '~ (A ₵ B) 'і '~ A ₵ B'. Тільда має ширшу сферу застосування в першій формулі, і це має значення. Різницю можна пояснити лише з точки зору значення, а це означає, що настав час звернути нашу увагу на семантику SL.