4.1: Чому ще одна дедуктивна логіка?

Last updated
Save as PDF

Page ID: 50936

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Логіка Аристотеля була чудовою. Він мав два з плюсом тисячоліття, як єдина гра в місті. Ще зовсім недавно, в кінці 18 століття (пам'ятаємо, Аристотель робив свою роботу в 4 столітті до н.е.), великий німецький філософ Іммануїл Кант зауважив, що «з часів Аристотеля [логіки] не довелося йти ні на крок назад... [і] він також не зміг зробити жодного кроку вперед, і тому здається всім зовнішній вигляд закінченим і завершеним». (Кант, І. 1997. Критика чистого розуму. Гайер, П. і Вуд, А. (тр.). Кембридж: Кембриджська університетська преса. стор. 106)

Це, можливо, була поява за часів Канта, але лише через випадковість історії. У свій час, в Стародавній Греції, в системі Аристотеля був суперник — логіка стоїчної школи, кульмінацією якої стала робота Хрісіппа. Нагадаємо, для Арістотеля фундаментальною логічною одиницею був клас; і оскільки терміни виділяють класи, його логіку часто називають «терміном логіка». Для стоїків фундаментальною логічною одиницею була пропозиція; оскільки речення вибирають пропозиції, ми могли б назвати це «логікою речення». Ці два підходи до логіки розроблялися самостійно. Через перипетії інтелектуальної історії (більш пізні коментатори пропагували Аристотельську логіку, оригінальні твори з Хрісіппа і т.д.) виявилося, що підхід Аристотеля був тим, який передавався майбутнім поколінням, тоді як стоїчний підхід лежав у спокої. Однак в 19 столітті завдяки роботі таких логіків, як Джордж Буль (і багатьох інших), пропозиційний підхід був відроджений і перероджений в формальну систему.

Чому цей альтернативний підхід цінний? Однією з проблем, які ми мали, коли ми представляли Aristotelian Logic, було те, що через обмеження категоричних пропозицій ми будемо обмежені в кількості та різноманітності фактичних аргументів, які ми могли б оцінити. Ми відкинули ці занепокоєння з (дещо розпливчастим) обіцянкою, що насправді багато речень, які не були стандартними категоріями, можуть бути переведені в цю форму. Крім того, обмеження категоричних силогізмів було аналогічно безпроблемним (ми запевнили себе), оскільки багато аргументів, які не є стандартною формою силогізмів, могли бути представлені як (можливо, ряд) таких аргументів.

Ці запевнення вірні у великій кількості випадків. Але є кілька дуже простих аргументів, які чинять опір перекладу в сувору аристотельську форму, і для яких ми хотіли б мати простий метод судити їх дійсними. Ось один із прикладів:

Або Клінтон виграє вибори, або Трамп переможе на виборах.
Трамп не виграє вибори.
Тому на виборах переможе Клінтон.

Жодне з пропозицій в цьому аргументі не знаходиться в стандартній формі. І хоча аргумент має дві передумови і висновок, це не категоричний силогізм. Чи могли б ми перевести його в таку форму? Ну, ми можемо зробити певний прогрес у другій передумові та висновку, зазначивши, як ми це робили в главі 3, що існує простий трюк для перетворення речень з одниною (імена, такі як «Клінтон» та «Трамп») у категорії: нехай ці імена будуть класовими термінами, що стосуються класу одиниць, що містять особа, на яку вони посилаються, а потім роблять речення універсалами. Таким чином, висновок «Клінтон виграє вибори» може бути переписаний у стандартній формі як «Усі Клінтони є переможцями виборів», де «Клінтони» відноситься до класу одиниць, що містить лише Хілларі Клінтон. Аналогічним чином, «Трамп не виграє вибори» може бути переписаний як універсальний негатив: «Ні Козирі не є переможцями виборів». Перша передумова, однак, представляє деяку складність: як я можу надати або/або претензію як категоричну? Які мої два класи? Ну, переможці виборів все ще в суміші, мабуть. Але що робити з Клінтоном і Трампом? Ось ідея: склейте їх разом в одному класі (їм це не сподобається), клас, що містить лише два з них. Назвемо клас «кандидатами». Тоді цей універсальний стверджуючий правдоподібно відображає значення оригінальної передумови: «Усі переможці виборів є кандидатами». Отже, тепер ми маємо це:

Усі переможці виборів є кандидатами.
Жоден Козир не є переможцями виборів.
Тому всі Клінтони є переможцями виборів.

Принаймні всі пропозиції зараз категоричні. Проблема в тому, що це не категоричний силогізм. Вони повинні включати рівно три класи; цей аргумент має чотири - Клінтонів, Трампа, переможців виборів та кандидатів. Правда, кандидати - це просто складний клас, зроблений шляхом об'єднання Клінтонів і Трампа, так що ви можете зробити випадок, що тут дійсно всього три класи. Але, в категоричному силогізмі, кожен з класових термінів повинен відбуватися рівно двічі. «Переможці виборів» трапляються у всіх трьох, і я не бачу, як я можу усунути одне з цих випадків.

Тьфу. Це викликає у мене головний біль. Не повинно бути так важко проаналізувати цей аргумент. Вам не потрібно бути логіком (або студентом логіки, який пройшов через три глави цієї книги), щоб визнати, що аргумент Трампа/Клінтона є дійсним. Виберіть випадкову людину з вулиці, покажіть їм цей аргумент і запитайте їх, чи це добре. Вони скажуть, що це так. Звичайним людям легко прийняти таке судження; чи не так легко логіці зробити це судження? Логіка Аристотеля, здається, не відповідає поставленому завданню. Потрібен альтернативний підхід.

Цей конкретний приклад є саме тим аргументом, який просить логіку, орієнтовану на пропозицію, на відміну від логіки, орієнтованої на клас, як Арістотель. Якщо ми візьмемо цілі пропозиції як нашу фундаментальну логічну одиницю, ми можемо побачити, що форма цього аргументу - річ, пам'ятайте, що визначає його дійсність - це щось на кшталт цього:

Або p або q
Не q
Тому р

У цій схемі «p» означає пропозицію про те, що Клінтон виграє, і «q» за пропозицію про те, що Трамп виграє. Нескладно помітити, що це дійсна форма. (Цю форму часто називають «диз'юнктивним силогізмом». Зверніть увагу, що там використовується слово «силогізм». До середньовіччя стоїчна логіка не зникла повністю. Швидше, біти його просто додавалися по системі Аристотеля. Так, традиційно (і до цих пір є в багатьох підручниках з логіки) при обговоренні Аристотелевської логіки представляти цю форму разом з деякими іншими, як додаткові дійсні форми (доповнюють Варвари, Датисі і інших). Але це поєднання двох традицій затьмарює принципову різницю між класоцентричним підходом до логіки та орієнтованим на пропозиції. Вони повинні бути чітко виражені.) У цьому перевага переходу на речення, а не на термін, логіку. Це дозволяє легко проаналізувати цю та багато інших форм аргументів.

У цьому розділі ми обговоримо основи позиційно-орієнтованого підходу до дедуктивної логіки—сувенціальної логіки. Як і у випадку з логікою Аристотеля, Sentential Logic повинна виконати три завдання:

1. Приручити природну мову.
2. Точно визначте логічну форму.
3. Розробити спосіб перевірки логічних форм на валідність.

Підхід до першого завдання - приборкання природної мови - буде істотно відрізнятися від Арістотеля, тоді як Арістотельська логіка працювала в добре поведеній частині природної мови - речення, що виражають категоричні пропозиції - речення логіки кроки поза природною мовою цілком, конструюючи штучна мова і тільки оцінка аргументів, виражених в його терміні. Цей крок, звичайно, викликає занепокоєння щодо застосовності до повсякденних аргументів ще гостріше: що хороша логіка, якщо вона взагалі не оцінює англійські аргументи? Що ми повинні показати, щоб полегшити цю стурбованість, полягає в тому, що існує систематичний зв'язок між нашою штучною мовою та нашою природною мовою (англійська); ми повинні показати, як перекладати між ними - і як переклад з англійської на штучну мову призводить до видалення неточність і непокірність, приборкання природної мови.

Ми будемо називати нашу штучну мову «SL», скорочено від «Sentential Logic». При побудові мови ми повинні вказати її синтаксис та семантику. Синтаксис мови - це правила, що регулюють те, що вважається добре сформованою конструкцією в межах цієї мови; тобто синтаксис - це граматика мови. Синтаксис - це те, що говорить мені, що «Який красивий пудель у вас там». - це добре сформована англійська конструкція, тоді як «Пудель красивий там, що у вас є». - це не так. Семантика мови - це облік значень його добре сформованих бітів. Якщо ви знаєте, що означає речення, то ви знаєте, що потрібно для того, щоб висловити правду чи брехню. Отже, семантика говорить вам, за яких умов дана пропозиція є істинною чи помилковою. (Це насправді спірне твердження про роль семантики. Наприклад, ваш скромний автор - один із диваків, який вважає це неправдою (принаймні природною мовою). Але давайте залишимо цих девіантних лінгвістів і філософів (і їх незрозумілі аргументи) в одну сторону і просто скажемо: семантика дає вам правдиві умови. Це, безумовно, вірно для нашої штучної мови SL.) Наше обговорення семантики SL розкриє його зв'язок з англійською мовою та розповість нам, як перекладати між двома мовами.