4.3: Семантика логіки речень

Наше завдання полягає в тому, щоб дати точні значення всім добре сформованим формулам SL. Ми будемо називати ці, досить розумно, як «речення SL». Деякі з цього завдання вже завершені. Ми знаємо щось про значення 26 великих літер: вони означають прості англійські речення на наш вибір. Хоча семантика для такої природної мови, як англійська, складна (Який сенс речення? Його правдива-умови? Виражена пропозиція? Ці дві речі однакові? Це щось інше зовсім? Ugh.), семантика речень SL проста: все, що нас хвилює, - це значення правди. Речення в SL може мати одне з двох смислових значень: true або false. Ось і все.

Це один із способів, за допомогою якого перехід на SL є приборканням природної мови. У SL кожне речення має визначальне значення істини; і є лише два варіанти: true або false. Англійська та інші природні мови складніше, ніж це. Звичайно, є питання недекларативних речень, які не виражають пропозицій і взагалі не мають істинних цінностей. (Коротко зупинившись, щоб ще раз відзначити, що ця розмова про речення, а не пропозиції, які вони висловлюють, маючи правдиві значення трохи швидкі та вільні. Підтверджуючи нашу попередню позицію щодо цього: не велика справа.) Але навіть якщо ми обмежимося декларативними англійськими реченнями, речі виглядають не так просто, як у SL. Розглянемо речення «Наполеон був коротким». Можливо, ви не знаєте, що популярна концепція французького імператора як зменшувальну за зростом має своє коріння в британській пропаганді в той час. Власне кажучи, він був близько 5 '7». Це коротко? Ну, не в той час (наприкінці 18, початку 19 століть); люди були коротшими тоді (харчування не було таким, яким воно є в наші дні, наприклад), і тому Наполеон був приблизно в середньому або трохи вище. Однак зараз люди вищі, тому 5' 7" може вважатися коротким. По крайней мере, коротко для чоловіка. Дорослий чоловік, тобто. Я маю на увазі, доросла людина, яка не карлик. Також, доросла людина, яка не карликова французького видобутку (він був би високим чоловіком у Камбоджі, наприклад, де середня висота становить лише 5' 4»). Середній зріст для сучасного француза становить 5' 9.25». Наполеон на 2,25 дюйма коротше середнього. Це коротко? Чорт візьми, я не знаю!

Проблема тут полягає в тому, що відносні терміни, такі як «короткий», мають прикордонні випадки; вони розпливчасті. Незрозуміло, як призначити значення істини реченням на кшталт «Наполеон короткий». Отже, в англійській мові можна сказати, що їм не вистачає істинного значення (відсутня якась явна специфікація відповідних стандартів). Логіка, яка є більш складною, ніж наш SL, розробили способи боротьби з подібними випадками. Замість двох істинних значень, деякі логіки додають більше. Є три значення логіки, де у вас є true, false, і ні. Таким чином, ми могли б сказати, що «Наполеон короткий» ні. Є логіка з нескінченно багатьма значеннями істини між істинним і хибним (де брехня дорівнює нулю, а істина - 1, а кожне дійсне число між ними - це ступінь істини); в такій системі ми могли б призначити, я не знаю, .62 до пропозиції, що Наполеон короткий. Справа в тому, що англійська та інші природні мови брудні, коли справа доходить до правдивої цінності. Ми приручаємо їх у SL, припускаючи, що кожне речення SL має визначене значення істини, і що є лише два значення істини: істинне та хибне - які ми вкажемо, до речі, буквами «T» та «F».

Наше завдання звідси полягає в тому, щоб забезпечити семантику для п'яти операторів: тильда, точка, клин, потрійний бар і підкова (ми починаємо з тильди, тому що це найпростіший, і ми зберігаємо підкову для останнього, тому що це зовсім трохи більше). Вкажемо значення цих символів з точки зору їх впливу на істину-значення: що таке істинно-значення складного речення з їх основним оператором, враховуючи істинно-значення складових? Смисловими значеннями операторів будуть істинно-функції: систематичні рахунки виходів істинно-значущих (складного речення), що виникають з можливих входів істинно-значущих (простих компонентів).

Заперечення (тильда)

Оскільки тильда є одним місцем оператора, це найпростіший оператор, з яким можна впоратися. Загальна форма заперечення - ~ p, де 'p' є змінною, що стоїть для будь-якого загального речення SL, простого або складного. Як буква нижнього регістру, «p» не є частиною нашої мови (SL); скоріше, це інструмент, який ми використовуємо, щоб говорити про нашу мову - для позначення загальних добре сформованих конструкцій всередині неї.

Потрібно дати звіт про значення тильди з точки зору її впливу на істину-значення. Тільда, як ми вже говорили, є еквівалентом SL «не» або «це не так». Давайте подумаємо, що відбувається англійською мовою, коли ми використовуємо ці терміни. Якщо ми візьмемо справжнє речення, скажемо «Едісон винайшов лампочку» і сформуємо з нею сполуку, а «ні», ми отримаємо «Едісон не винайшов лампочку» - брехня. Якщо ми візьмемо помилкове речення, наприклад «Джеймс Браун живий», і заперечуємо його, ми отримаємо «Джеймс Браун не живий» - правда.

Очевидно, що вплив заперечення на значення істини полягає в тому, щоб перетворити істину на брехню, а неправду - на правду. Ми можемо представити це графічно, використовуючи те, що ми будемо називати «таблиця правди». Наступна таблиця дає повну специфікацію семантики тильди:

У лівій колонці ми маємо 'p', який, як змінна, розшифровується як загальне, невизначене речення SL. Оскільки це не визначено, ми не знаємо його істинного значення; але оскільки це речення в SL, ми знаємо, що існує лише дві можливості для його істинного значення: true або false (T або F). Таким чином, в першому стовпці, ми перерахуємо ці дві можливості. У другому стовпці ми маємо '~ p', заперечення того, що 'p' є. Ми можемо обчислити істинно-значення заперечення на основі істинного значення речення, яке заперечується: якщо вихідне речення істинне, то його заперечення помилкове; якщо вихідне речення помилкове, то заперечення істинне. Це те, що ми представляємо, коли ми пишемо 'F' і 'T' під тильдою (оператор, який впливає на зміну значення істини) у другому стовпці, в тих же рядках, що і їх протилежності.

Тільда є істинно-функціональним оператором. Його значення задається функцією: якщо ви введете T, то виходом буде F; якщо ви введете F, виходом буде T. Інші чотири оператори також будуть визначені з точки зору істинної функції, яку вони представляють. Це точно аналогічно, знову ж таки, арифметиці. Додавання, з його оператором '+', є функцією на числах. Вхід 1 і 3, а вихід 4. У SL у нас є тільки два значення - T і F - але це те ж саме. Ми могли б так само добре використовувати числа для представлення істинних значень: 0 для false і 1 для true, наприклад. У цьому випадку тильда буде функцією, яка виводить 0, коли 1 є входом, і виводить 1, коли 0 є входом.

Сполучники (DOT)

Наша груба та готова характеристика сполучників полягала в тому, що вони є «і"-реченнями - реченнями, такими як «Бейонсе логічна, а Джеймс Браун живий». Оскільки ці види складних речень включають дві простіші складові, ми говоримо, що точка є двомісним оператором. Таким чином, коли ми вказуємо загальну форму кон'юнкції за допомогою загальних змінних, нам потрібно два з них. Загальна форма кон'юнкції в SL - p • q Питання, на які нам потрібно відповісти, такі: За яких обставин вся кон'юнкція вірна, а за яких обставин помилкова? І як це залежить від істинно-значень складових частин?

Раніше ми зазначали, що коли хтось вимовляє кон'юнкцію, вони беруть на себе зобов'язання обом кон'юнктам. Якщо я скажу вам, що Бейонсе мудра, а Джеймс Браун живий, я зобов'язуюся правді обох цих передбачуваних фактів; Я, як би, обіцяю вам, що обидві ці речі правдиві. Отже, якщо навіть один з них виявиться помилковим, я порушив свою обіцянку; єдиний спосіб виконання обіцянки - це якщо обидва вони виявляться правдивими.

Ось як працюють сполучники, тоді: вони істинні на той випадок, якщо обидва кон'юнкти істинні; помилково інакше. Ми можемо представити це графічно, з таблицею правди, що визначає крапку:

Оскільки точка є двомісним оператором, нам потрібні стовпці для кожної з двох змінних у загальному вигляді - p та q, кожна з яких є загальним реченням SL, яке може бути як істинним, так і хибним. Це дає нам чотири можливості для їхніх істинних значень як пари: як true, p true і q false, p false і q true, обидва хибні. Ці чотири можливості дають нам чотири рядки таблиці. Для кожного з цих можливих входів в truth-функцію ми отримуємо вихід, перерахований під крапкою. T - вихід, коли обидва входи є Ts; F - вихід за будь-яких інших обставин.

Диз'юнкція (КЛИН)

Наша груба характеристика диз'юнкцій полягала в тому, що вони є «або» реченнями - реченнями на кшталт «Бейонсе логічна або Джеймс Браун живий». У SL загальна форма диз'юнкції - p ψ q. нам потрібно з'ясувати обставини, при яких таке з'єднання істинно; нам потрібна істина-функція, представлена клином.

У цей момент ми стикаємося з ускладненням. Клин повинен захоплювати сутність «або» англійською мовою, але слово 'або' має два різних почуття. Це один з тих випадків, коли природну мову потрібно приручити: наш клин може мати лише одне значення, тому нам потрібно вибирати між двома альтернативними сенсами англійського слова «or».

«Або» можна використовувати виключно або включно. Виключне почуття «або» виражається в такому реченні: «Клінтон виграє вибори або Трамп виграє вибори». Два диз'юнкти представляють виняткові можливості: той чи інший станеться, але не обидва. Інклюзивне почуття «або», однак, дозволяє можливість обох. Якби я сказав вам, що у мене виникли проблеми з вирішенням того, що замовити в ресторані, і сказав: «Я буду замовляти омарів або стейк», і тоді я в кінцевому підсумку вирішив отримати серфінг 'n' дерну (омарів і стейк в поєднанні в одному і тому ж entrée), ви б не сказали, що я збрехав вам, коли я сказав, що я замовляю омарів або стейк. Інклюзивне почуття «або» дозволяє використовувати те чи інше - або обидва.

Ми будемо використовувати інклюзивне почуття «або» для нашого клину. Є аргументи для вибору інклюзивного сенсу над ексклюзивним, але ми не будемо зупинятися на них тут. (Як це було у випадку, коли нам довелося зробити вибір щодо слова «деякі» в арістотельській логіці, аргумент стверджує, що інклюзивний сенс є основним значенням «або», а винятковий сенс - це значення, яке часто, але не завжди передається, коли ми використовуємо «або» в конкретних обставинах—підтекст. Ця лінія міркувань має як прихильників, так і недоброзичливців.) Нам потрібно вибрати значення для клину, і ми вибираємо інклюзивне значення «або». Як ми побачимо пізніше, ексклюзивний сенс не буде втрачений для нас через цей вибір: ми зможемо символізувати ексклюзивне 'або' всередині SL, використовуючи комбінацію операторів.

Отже, клин включно «або». Це правда, коли той чи інший - або обидва кон'юнкти є істинним; помилково інакше. Це його істинно-табличне визначення:

Двоумовні (TRIPLE-BAR)

Як ми вже говорили, біумовні - це, приблизно, «якщо і тільки як"-речення - речення на кшталт «Бейонсе логічні тоді і лише тоді, коли Джеймс Браун живий». «Якщо і тільки тоді» - це не фраза, яку більшість людей вживають у повсякденному житті, але сенс простий: вона використовується для того, щоб стверджувати, що обидва компоненти мають однакову істинну цінність, що один тягне за собою інший і навпаки, що вони не можуть мати різних істинних цінностей. У SL загальною формою біумовного є p ≡ q Це істина-функція:

Потрійний бар ніби схожий на логічний знак рівності (він навіть нагадує '='): функція забезпечує вихід T, коли обидва компоненти однакові, F, коли вони не є.

Хоча істинно-функціональне значення потрійного смуги тепер зрозуміло, все ще може бути так, що інтуїтивне значення англійської фрази «якщо і тільки якщо» залишається невловимим. Це природно. Не бійтеся: нам доведеться набагато більше сказати про цю локуцію, коли ми обговорюємо переклад між англійською та SL; повне розуміння біумовних може бути досягнуто лише на основі повного розуміння умовних, до яких, як випливають з імен, вони близькі пов'язані. Тепер перейдемо до уточнення істинно-функціонального значення останнього.

Умовні (Підкова)

Наша груба характеристика умовних полягала в тому, що вони є «якщо/то» реченнями - реченнями на кшталт «Якщо Бейонсе логічна, то Джеймс Браун живий». Такі речення ми постійно вживаємо в повсякденній мові, але напрочуд важко закріпити точне значення умовного, особливо в межах обмежень, накладених SL. Насправді існує багато конкуруючих розповідей про умовні - багато різних умов на вибір - в літературі, що датується аж до стоїків Стародавньої Греції. Цілі книги можуть бути - і були написані на тему умовних. В ході нашого обговорення семантики для підкови ми зрозуміємо, чому це така неприємна тема; це складно.

Загальна форма умовного в SL - p aCl q, нам потрібно вирішити, для яких значень p і q умовне виходить true і false. Щоб допомогти нам разом (зробивши речі більш яскравими), ми розглянемо фактичну умовну претензію, з невеликою історією, щоб піти разом з нею. Припустимо, Барб страждає від болю в суглобах; можливо, це подагра, можливо, це артрит - вона не знає і не була до лікаря, щоб з'ясувати це. Вона скаржиться на свій біль своєму сусідові Саллі. Саллі є великою вірою в «альтернативну медицину» і «цілісне зцілення». Почувши короткий опис симптомів, Саллі готова з рецептом, який вона доставляє Барб у вигляді умовної претензії: «Якщо пити цей трав'яний чай щодня протягом тижня, то ваш біль піде». Вона здає пакетик чайного листя і доручає Барб в їх правильному приготуванні.

Ми хочемо оцінити умовне твердження Саллі - що якщо Барб п'є трав'яний чай щодня протягом тижня, то її біль зникне - для правди/фальші. Для цього ми розглянемо різні сценарії, подробиці яких будуть лежати на цій оцінці.

Сценарій #1: Барб насправді п'є чай щодня протягом тижня, як це передбачено, і, зробивши це, ось і ось, її біль зникла. Саллі була права! У цьому випадку ми б сказали, що умовний ми оцінюємо вірно.

Сценарій #2: Барб робить так, як сказала Саллі, і п'є чай щодня протягом тижня, але, після закінчення тижня, біль залишається такою ж, як ніколи. У цьому сценарії ми б сказали, що Саллі помилялася: її умовна порада була помилковою.

Можливо, ви бачите, що я тут роблю. Кожен із сценаріїв представляє один із рядків у визначенні таблиці правди для підкови. Умовна претензія Саллі має попередник - Барб п'є чай щодня протягом тижня - і, як наслідок, біль Барба зникає. Це р і q, відповідно, в умовному р taLi q. в сценарії #1, і р і q були вірними: Барб дійсно випив чай, і біль пішов; в сценарії #2, р був істинним (Барб випив чай) але q був помилковим (біль не пішов). Ці два сценарії є першими двома рядками чотирирядкових таблиць істинності, які ми вже бачили для точок, клин і потрійний бар. Для підкови істини функція дає нам T в першому ряду і F у другому:

Все, що залишилося, це з'ясувати, що відбувається в третьому та четвертому рядках таблиці, де попередник (р, Барб п'є чай) є помилковим обидва рази, а наслідком спочатку істинно (у рядку 3), а потім помилковим (у рядку 4). Є ще два сценарії, які слід розглянути.

У сценарії #3 Барб вирішує, що Саллі трохи горіха, або вона п'є чай один раз, і це жахливо смакує, тому вона вирішує припинити пити його - незалежно від обставин, Барб не п'є чай протягом тижня; попередник помилковий. Але за цим сценарієм виявляється, що після того, як тиждень минув, біль Барба пішов; наслідок це правда. Що ми говоримо про пораду Саллі - якщо ви вип'єте чай, біль зникне - у цьому наборі обставин?

У сценарії #4, знову Барб не п'є чай (помилковий попередник), а після того, як тиждень встає, біль залишається (помилковий наслідок). Що ми говоримо про умовну пораду Саллі в цьому розкладі?

Спокусливо сказати, що в 3-му та 4-му сценаріях, оскільки Барб навіть не спробував засіб Саллі, ми не в змозі оцінити поради Саллі на правду чи фальш. Гіпотеза навіть не перевірялася. Отже, ми схильні говорити: «Якщо ви п'єте чай, то біль зникне» не є ні правдою, ні помилковою. Але хоча це може бути життєздатним варіантом англійською мовою, він не працюватиме в SL. Ми зробили спрощуючі припущення, що кожне речення SL має мати істинне значення, і що тільки дві можливості є істинними і хибними. Ми не можемо сказати, що він не має значення істини; ми не можемо додати третє значення і назвати його «ні». Ми повинні поставити T або F під підкову в третьому та четвертому рядках таблиці істинності для цього оператора. З огляду на це обмеження, і з огляду на те, що ми вже вирішили, як повинні працювати перші два рядки, існує чотири можливі способи вказівки істини-функції для підкови:

Це наші єдині варіанти (пам'ятайте, що два верхні ряди врегульовані; сценарії 1 і 2 вище мали чіткі результати). Який з них захоплює значення умовного кращого?

Варіант 1 спокусливий: як ми зазначили, в рядках 3 і 4 гіпотеза Саллі навіть не перевіряється. Якщо ми змушені вибирати між істинним і хибним, ми могли б також піти з помилкою. Проблема з цим параметром полягає в тому, що ця істинна функція - true, коли обидва компоненти є істинними; false інакше - вже прийнята. У цьому сенс точки. Якщо ми виберемо варіант 1, ми робимо підкову і крапку означають одне і те ж. Це не зробить: це різні оператори; вони повинні мати різне значення. «І» і «якщо/тоді» не означають одне і те ж саме англійською мовою, зрозуміло.

Варіант 2 теж має свої принади. Гаразд, ми можемо сказати, ні в одній ситуації гіпотеза Саллі не перевірена, але принаймні рядок 3 має щось для цього, Саллі-мудрий: біль іде. Отже, скажімо, її умовні вірно в цьому випадку, але помилково в рядку 4, коли ще є біль. Знову ж таки, цього не зробить. Порівняйте стовпець під варіантом 2 зі стовпцем під q. Вони однакові: T, F, T, F Це означає, що весь умовний, p taLi q, має те саме значення, що і його послідовний, простий старий q. Передній, p, не має різниці з істинно-значенням умовного в даному випадку. Але це повинно; ми не повинні бути в змозі обчислити значення істини двомісної функції, навіть не дивлячись на один з входів.

Варіант 3 наступний. Деякі люди вважають розумним сказати, що умовне помилкове в рядку 3: є щось про зникнення болю, незважаючи на те, що не пити чай, це несумісне з пророкуванням Саллі. І якщо ми не можемо поставити F в останньому рядку теж (це просто варіант 1 знову), то зробити його T. Але це не вдається з тієї ж причини варіант 1 зробив: правда функція вже прийнята, на цей раз потрійний бар. «Якщо і тільки тоді» є набагато сильнішою претензією, ніж просто «якщо/тоді»; двоумові повинні мати інше значення від простих умовних.

Це залишає варіант 4. Це той, який ми будемо приймати, не в останню чергу тому, що це єдина можливість, що залишилася. Умовне є істинним, коли і попередні, і наслідки є істинним - сценарій 1; це помилково, коли попередник істинний, але послідовний помилковий сценарій 2; і це правда, коли попередник є помилковим - сценарії 3 і 4. Це визначення підкови:

Це не ідеально. Перші два ряди досить правдоподібні, але є щось глибоко дивне в тому, щоб сказати, що речення «Якщо ви п'єте чай, то біль піде» вірно, коли чай не п'ють. Але це наш єдиний варіант. Можливо, ми можемо зробити це трохи більш приємним, сказавши - як ми робили про універсальні категоричні пропозиції з порожніми предметними класами - що, хоча це правда в таких випадках, це вірно лише пилососно або тривіально - правда таким чином, що не говорить вам про те, як справи йдуть у світі.

Що також може трохи допомогти, це зазначити, що, хоча рядки 3 та 4 не мають особливого сенсу для випадку Barb/Sally, вони працюють для інших умов. Автор жахів Стівен Кінг живе в штаті Мен (половина його книг встановлена там, здається). Вважайте це умовним: «Якщо Стівен Кінг є губернатором штату Мен, то він живе в Мені». Хоча видатний громадянин, Кінг не є губернатором штату Мен, тому попередник є помилковим. Він, хоча, як ми вже зазначали, житель штату Мен, отже, це правда. Ми в рядку 3 таблиці правди для умовних тут. І інтуїтивно умовне вірно: він не губернатор, але якби він був, то жив би в штаті Мен (губернатори проживають у столицях своїх штатів). І вважаємо це умовним: «Якщо Стівен Кінг є президентом США, то він живе у Вашингтоні, округ Колумбія». Тепер і попередник (король є президентом) і наслідком (він живе в DC) помилкові: ми в рядку 4 таблиці. Але знову ж таки, умовне твердження інтуїтивно вірно: якби він був президентом, він би жив у Вашингтоні.

Зверніть увагу на трюк, який я потягнув там: я перейшов з так званого показового настрою (якщо він є) на умовний (якщо він був). Істина умовного ясніше в останньому ладі, ніж перше. Але цей трюк не завжди спрацює, щоб умовне здійснилося в третьому та четвертому рядах. Подумайте: «Якби Стівен Кінг був президентом США, то він би жив у Мені» і «Якби Стівен Кінг був губернатором штату Мен, то він би жив у Вашингтоні, округ Колумбія». Це приклади третього та четвертого ряду відповідно, але жоден з них не є інтуїтивно вірним.

На даний момент, можливо, ви розумієте, чому умовні є такою неприємною темою в історії логіки. Різноманітні підходи, з супутніми альтернативними логічними формалізмами, були розроблені протягом століть (і особливо в минулому столітті) для вирішення різних проблем, що виникають у зв'язку з умовними вимогами. Наш - найпростіший підхід, той, з якого почати. Оскільки це вступний текст, це доречно. Ви можете досліджувати альтернативні рахунки умовного, якщо продовжите вивчення логіки далі.

Обчислення істинних значень складних речень SL

Маючи в руках істинно-функціональні визначення п'яти операторів SL, ми можемо розробити попередню навичку, яка буде необхідна для розгортання, коли настане час перевірити аргументи SL на валідність. Нам потрібно вміти обчислювати істинні значення складних речень SL, враховуючи істинні значення їх найпростіших частин (прості речення - великі літери). Для цього ми повинні спочатку визначити, з яким типом складного речення ми маємо справу - заперечення, кон'юнкція, диз'юнкція, умовне або біумовне. Це передбачає вирішення того, який з операторів у реченні SL є основним оператором. Потім обчислюємо істинну величину сполуки відповідно до визначення для відповідного оператора, використовуючи істинні значення простіших компонентів. Якщо ці компоненти самі по собі є складовими, ми визначаємо їх основні оператори і обчислюємо відповідно, з точки зору їх простіших компонентів - повторюючи в міру необхідності, поки ми не перейдемо до найпростіших компонентів усіх, великих літер. Кілька прикладів зроблять процес зрозумілим.

Припустимо, що A і B є істинними реченнями SL. Розглянемо це з'єднання:

~ A ∞ B

Яка його істинна цінність? Щоб відповісти на це питання, ми спочатку повинні з'ясувати, з яким складним реченням ми маємо справу. У нього є два оператора—тильда і клин. Який з них є основним оператором; тобто у нас є заперечення або диз'юнкція? Ми відповіли на це питання раніше, коли обговорювали синтаксис SL. Наша умовність з тильдами полягає в тому, що вони зводять нанівець першу добре сформовану конструкцію відразу праворуч від них. У цьому випадку 'A' є першою добре сформованою конструкцією відразу праворуч від тильди, тому тильда заперечує її. Це означає, що клин є основним оператором; це диз'юнкція, де лівий диз'юнкт - ~ A, а правий диз'юнкт - B. Щоб обчислити істинне значення диз'юнкції, нам потрібно знати істинні значення його диз'юнктів. Ми знаємо, що B є істинним; нам потрібно знати значення істини ~ A. Це легко, оскільки A вірно, ~ A має бути помилковим. Корисно відстежувати крок за кроком обчислень, як так:

Я позначив істинні значення найпростіших компонентів, A і B, поверх цих букв. Потім, під тильдою, оператор, який робить це відбувається, я пишу 'F', щоб вказати, що лівий диз'юнкт, ~ A, є помилковим. Тепер я можу обчислити значення істини диз'юнкції: лівий диз'юнкт є помилковим, але правий диз'юнкт є істинним; це рядок 3 таблиці правди клина, і диз'юнкція виявляється істинною в цьому випадку. Я вказую це «Т» під клином, який я виділяю (жирним шрифтом та підкресленням), щоб підкреслити той факт, що це істинне значення всього складного речення:

Коли ми обговорювали синтаксис, ми стверджували, що додавання дужок до з'єднання, подібного до останнього, змінить його значення. Зараз ми в змозі довести цю претензію. Розглянемо це речення SL (де A і B знову вважаються істинними):

Тепер головним оператором є тильда: вона заперечує всю диз'юнкцію всередині дужок. Щоб виявити вплив цього заперечення на значення істини, нам потрібно обчислити істинне значення диз'юнкції, яке воно заперечує. І A, і B вірні; це верхній ряд клина істини таблиці— диз'юнкції виявляються вірними в таких випадках:

Так тильда заперечує правду, даючи нам брехню:

Істинне значення цілого є помилковим; подібна на вигляд диз'юнкція без дужок була істинною. Ці два речення SL повинні мати різне значення; вони мають різні істинні значення.
Можливо, буде корисно подивитися ще один приклад, на цей раз більш складного речення SL. Знову припустимо, що A і B є істинними SL простими реченнями, і що X і Y - помилкові SL прості речення. Обчислимо істинно-значення наступного складного речення:

~ (А • Х) TALI (B ∞ ~ У)

В якості першого кроку корисно відзначити істинні значення простих речень:

Тепер нам потрібно розібратися, що це за складносурядне речення; що таке основний оператор? Це речення є умовним; головним оператором є підкова. Тільда в крайньому лівому куті зводить нанівець першу добре сформовану конструкцію відразу праворуч. У цьому випадку, тобто (A • X). ~ (A • X) є попередником цього умовного; (B ∞ ~ Y) є наслідком. Нам потрібно обчислити істинні значення кожного з них, перш ніж ми зможемо обчислити значення істини всієї сполуки.

Давайте спочатку візьмемо попереднє, ~ (A • X). Тільда заперечує кон'юнкцію, тому перш ніж ми можемо знати, що робить тильда, нам потрібно знати істинне значення кон'юнкції всередині дужок. Сполучники істинні на той випадок, якщо обидва сполучники істинні; в цьому випадку A є істинним, але X є помилковим, тому сполучник помилковий, і його заперечення має бути істинним:

Так що попередник нашого умовного вірний. Давайте подивимося на наслідок, (B ∞ ~ Y). Y є помилковим, тому ~ Y має бути істинним. Це означає, що обидва диз'юнкти, B і ~ Y вірні, що робить нашу диз'юнкцію істинною:

І попереднє, і наслідок умовного вірні, тому весь умовний вірний:

Одне остаточне зауваження: іноді вам потрібна лише часткова інформація, щоб винести судження про істинність- значення складного речення. Подивіться ще раз на визначення таблиці істинності двомісних операторів:

Для трьох з цих операторів - точка, клин та підкова - один із рядів не схожий на інші. Для точки: це виходить істинним лише тоді, коли і p, і q є істинними, у верхньому ряду. Для клину: він виходить помилковим лише тоді, коли і p і q є помилковими, у нижньому ряду. Для підкови: він виходить хибним лише тоді, коли p є істинним, а q - помилковим, у другому рядку.

Помітивши це, в деяких випадках, ми можемо обчислити істинні значення сполук, не знаючи істинних значень обох компонентів. Припустимо ще раз, що A є істинним, а X є помилковим; і нехай Q буде простим реченням SL, істинне значення якого є для вас загадкою (він має один, як і всі вони повинні; Я просто не кажу вам, що це таке). Розглянемо це з'єднання:

A ∞ Q

Ми знаємо, що один з диз'юнктів є істинним; ми не знаємо правдиво-цінності іншого. Але нам це не потрібно! Диз'юнкція є помилковою лише тоді, коли обидві її диз'юнкти є помилковими; це правда, коли навіть одна з її диз'юнктів є істинною. Буття істинне достатньо, щоб сказати нам, що диз'юнкція вірна; Q не має значення.

Розглянемо сполучник:

Х • Q

Ми знаємо лише значення істини одного з кон'юнктів: X є помилковим. Це все, що нам потрібно знати, щоб обчислити істину-значення кон'юнкції. Сполучники вірні лише тоді, коли обидва їхні сполучники істинні; вони помилкові, коли навіть один з них є хибним. X бути помилковим достатньо, щоб сказати нам, що цей сполучник є помилковим.

Нарешті, розглянемо ці умовні:
Q: A та X, Q

Вони обидва вірні. Умовні умови є лише помилковими, коли попереднє є істинним, а наслідком є хибним; тому вони істинні, коли наслідок істинно (як у випадку з Q tecedent A) і всякий раз, коли попередник є хибним (як це буває в X RaCL Q).

Вправи

Обчислити значення істини наступних складних речень, де A, B і C є істинними; X, Y і Z є помилковими; а P і Q мають невідоме значення істини.