4: Розмір наборів

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 3.8: Резюме
- 4.1: Вступ

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

4.1: Вступ
Якщо $a$ , $b$ і всі $c$ виразні, то набір $\{a, b, c\}$ інтуїтивно більше, ніж $\{a, b\}$ . Але як щодо нескінченних множин? Чи всі вони такі великі, як один одного?
4.2: Перерахування та підрахункові набори
Ми вже наводили приклади наборів, перерахувавши їх елементи. Давайте обговоримо в більш загальних рисах, як і коли ми можемо перерахувати елементи множини, навіть якщо цей набір нескінченний.
4.3: Зігзагоподібний метод Кантора
Цигзагоподібний метод Кантора показує, що множини пар елементів незліченно нескінченних множин також підраховуються.
4.4: Функції та коди сполучення
Ми можемо використовувати функції сполучення для представлення кожної пари елементів за допомогою одного числа. Використовуючи обернену функцію сполучення, ми можемо розшифрувати число, тобто з'ясувати, яку пару воно представляє.
4.5: Альтернативна функція сполучення
Є й інші перерахування $\mathbb{N}^2$ , які полегшують з'ясування, які їх зворотні. Ось один.
4.6: Незліченні набори
Один із способів показати, що набір є незліченним, - це дати діагональний аргумент. Ми припускаємо, що розглянута $A$ множина є підрахунковою, і використовуємо гіпотетичне перерахування для визначення елемента, $A$ який, по тому, як ми його визначаємо, гарантовано буде відрізнятися від кожного елемента в перерахуванні. Таким чином, перерахування не може бути перерахування всіх $A$ врешті-решт, і ми показали, що ніякого перерахування не $A$ може існувати.
4.7: Зменшення
Зменшення показує, що $A$ це незліченно, пов'язуючи кожен елемент $A$ з елементом деякого відомого незліченного $B$ множини в сюрктивному шляху. Якщо це можливо, то гіпотетичне перерахування $A$ дасть перерахування $B$ . Оскільки $B$ це незліченно, ніякого перерахування не $A$ може існувати.
4.8: Рівноправність
Загалом, нескінченні множини можна порівнювати за розмірами: $A$ і $B$ мають однаковий розмір, або рівноправні, якщо між ними є біекція.
4.9: Набори різних розмірів та теорема Кантора
Ми можемо визначити, $A$ що не більше, ніж $B$ ( ${A}\preceq{B}$ ), якщо є ін'єкційна функція від $A$ до $B$ .
4.10: Поняття розміру та Шредер-Бернштейн
Ось інтуїтивна думка: якщо $A$ не більше $B$ і $B$ не більше ніж $A$ , то $A$ і $B$ рівноправні. Це обґрунтовано теоремою Шредера-Бернштейна.
4.11: Резюме