4: Розмір наборів
- Page ID
- 53044
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
- 4.1: Вступ
- Якщо\(a\),\(b\) і всі\(c\) виразні, то набір\(\{a, b, c\}\) інтуїтивно більше, ніж\(\{a, b\}\). Але як щодо нескінченних множин? Чи всі вони такі великі, як один одного?
- 4.2: Перерахування та підрахункові набори
- Ми вже наводили приклади наборів, перерахувавши їх елементи. Давайте обговоримо в більш загальних рисах, як і коли ми можемо перерахувати елементи множини, навіть якщо цей набір нескінченний.
- 4.3: Зігзагоподібний метод Кантора
- Цигзагоподібний метод Кантора показує, що множини пар елементів незліченно нескінченних множин також підраховуються.
- 4.4: Функції та коди сполучення
- Ми можемо використовувати функції сполучення для представлення кожної пари елементів за допомогою одного числа. Використовуючи обернену функцію сполучення, ми можемо розшифрувати число, тобто з'ясувати, яку пару воно представляє.
- 4.5: Альтернативна функція сполучення
- Є й інші перерахування\(\mathbb{N}^2\), які полегшують з'ясування, які їх зворотні. Ось один.
- 4.6: Незліченні набори
- Один із способів показати, що набір є незліченним, - це дати діагональний аргумент. Ми припускаємо, що розглянута\(A\) множина є підрахунковою, і використовуємо гіпотетичне перерахування для визначення елемента,\(A\) який, по тому, як ми його визначаємо, гарантовано буде відрізнятися від кожного елемента в перерахуванні. Таким чином, перерахування не може бути перерахування всіх\(A\) врешті-решт, і ми показали, що ніякого перерахування не\(A\) може існувати.
- 4.7: Зменшення
- Зменшення показує, що\(A\) це незліченно, пов'язуючи кожен елемент\(A\) з елементом деякого відомого незліченного\(B\) множини в сюрктивному шляху. Якщо це можливо, то гіпотетичне перерахування\(A\) дасть перерахування\(B\). Оскільки\(B\) це незліченно, ніякого перерахування не\(A\) може існувати.
- 4.8: Рівноправність
- Загалом, нескінченні множини можна порівнювати за розмірами:\(A\) і\(B\) мають однаковий розмір, або рівноправні, якщо між ними є біекція.
- 4.9: Набори різних розмірів та теорема Кантора
- Ми можемо визначити,\(A\) що не більше, ніж\(B\) (\({A}\preceq{B}\)), якщо є ін'єкційна функція від\(A\) до\(B\).
- 4.10: Поняття розміру та Шредер-Бернштейн
- Ось інтуїтивна думка: якщо\(A\) не більше\(B\) і\(B\) не більше ніж\(A\), то\(A\) і\(B\) рівноправні. Це обґрунтовано теоремою Шредера-Бернштейна.