4.11: Резюме

Last updated
Save as PDF

Page ID: 53085

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Template:MathJaxZach

Розмір множини\(A\) можна виміряти натуральним числом, якщо множина кінцева, а розміри можна порівняти, порівнюючи ці числа. Якщо множини нескінченні, все складніше. Перший рівень нескінченності - це незліченно нескінченні множини. Множина\(A\) піддається підрахунку, якщо його елементи можуть бути розташовані в перерахуванні, односторонньому нескінченному списку, тобто, коли є суб'єктивна функція\(f\colon \PosInt \to A\). Він незліченно нескінченний, якщо він підраховується, але не кінцевий. Цигзагоподібний метод Кантора показує, що множини пар елементів незліченно нескінченних множин також підраховуються; і це може бути використано для того, щоб показати, що навіть набір раціональних чисел\(\Rat\) піддається підрахунку.

Є, однак, нескінченні множини, які не підлягають підрахунку: ці множини називаються незліченними. Існує два способи показати, що множина незліченна: безпосередньо, за допомогою діагонального аргументу або шляхом зменшення. Щоб дати діагональний аргумент, ми припускаємо, що розглянута\(A\) множина є підрахунковою, і використовуємо гіпотетичне перерахування для визначення елемента,\(A\) який, по тому, як ми його визначаємо, гарантовано буде відрізнятися від кожного елемента в перерахуванні. Таким чином, перерахування не може бути перерахування всіх\(A\) врешті-решт, і ми показали, що ніякого перерахування не\(A\) може існувати. Зменшення показує, що\(A\) це незліченно, пов'язуючи кожен елемент\(A\) з елементом деякого відомого незліченного\(B\) множини в сюрктивному шляху. Якщо це можливо, то гіпотетичне перерахування\(A\) дасть перерахування\(B\). Оскільки\(B\) це незліченно, ніякого перерахування не\(A\) може існувати.

Загалом, нескінченні множини можна порівнювати за розмірами:\(A\) і\(B\) мають однаковий розмір, або рівноправні, якщо між ними є біекція. Ми також можемо визначити,\(A\) що не більше, ніж\(B\) (\(\cardle{A}{B}\)), якщо є ін'єкційна функція від\(A\) до\(B\). За теоремою Шредера-Бернштейна це насправді забезпечує розмірний порядок нескінченних множин. Нарешті, теорема Кантора говорить, що для будь-якого\(A\),\(\cardless{A}{\Pow{A}}\). Це узагальнення нашого результату, який\(\Pow{\PosInt}\) незліченний, і показує, що існує не просто два, а нескінченно багато рівнів нескінченності.