Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.10: Поняття розміру та Шредер-Бернштейн

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    53121

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Template:MathJaxZach

    Ось інтуїтивна думка: якщо\(A\) не більше\(B\) і\(B\) не більше ніж\(A\), то\(A\) і\(B\) рівноправні. Якщо чесно, якби ця думка була неправильною, то ми навряд чи могли б виправдати думку про те, що наше визначене поняття рівноправності має якесь відношення до порівнянь «розмірів» між множинами! На щастя, інтуїтивна думка правильна. Це обґрунтовано теоремою Шредера-Бернштейна.

    Теорема\(\PageIndex{1}\) (Schröder-Bernstein)

    Якщо\(\cardle{A}{B}\) і\(\cardle{B}{A}\), то\(\cardeq{A}{B}\).

    Іншими словами, якщо йде укол від\(A\) до\(B\), а укол від\(B\) до\(A\), то відбувається біекція від\(A\) до\(B\).

    Цей результат, однак, довести дійсно досить складно. Дійсно, хоча Кантор заявляв результат, інші його довели. 1 Наразі ви можете (і повинні) взяти це на довіру.

    На щастя, Шредер-Бернштейн є правильним, і це виправдовує наше мислення про відносини, які ми визначили,\(\cardeq{A}{B}\) тобто\(\cardle{A}{B}\), як те, що має щось спільне з «розміром». Більш того, Шредер-Бернштейн дуже корисний. Це може бути важко придумати двобіжності між двома рівноправними множинами. Теорема Шредера-Бернштейна дозволяє нам розбити порівняння на випадки, тому нам потрібно думати лише про ін'єкцію від першої до другої, і навпаки.

    1. Докладніше про історію дивіться, наприклад, Поттер (2004, с. 165—6). ↩ ︎