4.10: Поняття розміру та Шредер-Бернштейн
- Page ID
- 53121
Ось інтуїтивна думка: якщо\(A\) не більше\(B\) і\(B\) не більше ніж\(A\), то\(A\) і\(B\) рівноправні. Якщо чесно, якби ця думка була неправильною, то ми навряд чи могли б виправдати думку про те, що наше визначене поняття рівноправності має якесь відношення до порівнянь «розмірів» між множинами! На щастя, інтуїтивна думка правильна. Це обґрунтовано теоремою Шредера-Бернштейна.
Теорема\(\PageIndex{1}\) (Schröder-Bernstein)
Якщо\(\cardle{A}{B}\) і\(\cardle{B}{A}\), то\(\cardeq{A}{B}\).
Іншими словами, якщо йде укол від\(A\) до\(B\), а укол від\(B\) до\(A\), то відбувається біекція від\(A\) до\(B\).
Цей результат, однак, довести дійсно досить складно. Дійсно, хоча Кантор заявляв результат, інші його довели. 1 Наразі ви можете (і повинні) взяти це на довіру.
На щастя, Шредер-Бернштейн є правильним, і це виправдовує наше мислення про відносини, які ми визначили,\(\cardeq{A}{B}\) тобто\(\cardle{A}{B}\), як те, що має щось спільне з «розміром». Більш того, Шредер-Бернштейн дуже корисний. Це може бути важко придумати двобіжності між двома рівноправними множинами. Теорема Шредера-Бернштейна дозволяє нам розбити порівняння на випадки, тому нам потрібно думати лише про ін'єкцію від першої до другої, і навпаки.