4.1: Вступ

Last updated
Save as PDF

Page ID: 53109

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Коли Георг Кантор розробив теорію множин у 1870-х роках, однією з його цілей було зробити приємною ідею нескінченної колекції - фактичної нескінченності, як казали б середньовічні. Ключовою частиною цього стало його звернення до розміру різних наборів. Якщо\(a\),\(b\) і всі\(c\) виразні, то набір\(\{a, b, c\}\) інтуїтивно більше, ніж\(\{a, b\}\). Але як щодо нескінченних множин? Чи всі вони такі великі, як один одного? Виявляється, їх немає.

Перша важлива ідея тут - це перерахування. Ми можемо перерахувати кожен кінцевий набір, перерахувавши всі його елемент s Для деяких нескінченних наборів, ми також можемо перерахувати всі їх елемент s, якщо ми дозволимо сам список бути нескінченним. Такі набори називаються рахунковими. Дивовижний результат Кантора, який ми повністю зрозуміємо до кінця цієї глави, полягав у тому, що деякі нескінченні множини не підлягають зліченню.