Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

13.5: Статистика та ймовірність

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    52666

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Навіть коли ми маємо справу зі статистично значущою статистикою, ми критичні мислителі повинні бути насторожі, щоб не бути бамбуковими статистикою. Що б ви віддали перевагу, напій на 96% знежирений або той, який має 4% жиру? Більшість з нас віддають перевагу першому, але ми не думаємо критично тут, тому що немає різниці в двох.

    «Якщо щось трапляється лише з кожним мільйоном людей в день, а населення США становить 250 мільйонів, то вас чекають 250 дивовижних збігів щодня», - говорить статистик Іварс Петерсон. Деякі з цих «чудес» будуть повідомлені публічно, і ми, споживачі ЗМІ, будуть в захваті, коли ми, мабуть, не повинні бути.

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Якщо ви подивитеся на швидкість, яку люди їдуть, коли вони потрапляють в автомобільні аварії, ви виявите, що набагато більший відсоток аварій відбувається на швидкості нижче 70 миль на годину, ніж на швидкості понад 100 миль на годину. Тому, щоб бути в безпеці, ви повинні спробувати проїхати більше 100 миль на годину.

    Ви ж хочете бути в безпеці, чи не так? А може, ви віддаєте перевагу жити на «краю». Або, можливо, ви бачили через мою дурну рекомендацію про водіння понад 100 миль на годину. Чи можете ви сказати, що не так з міркуваннями, крім того, що це нерозумно?

    Відповідь

    Щодо перевищення швидкості, дуже мало людей їдуть так швидко, тому, природно, на цій швидкості мало аварій; але шанси на аварію при їзді з такою швидкістю астрономічні порівняно з їздою в межах швидкості.

    Перейдемо від статистики до ймовірності.

    «Сумнів - це не приємний стан; але впевненість - абсурдна». -Вольтер

    Імовірність передбачає розміщення числа на шанс події, що має місце. Звичай полягає в тому, що ймовірні числа повинні бути за шкалою від нуля до одиниці, при цьому нуль означає, що подія точно не відбудеться, і з одним значенням це точно буде. Більшість ймовірностей, які нас цікавлять, потрапляють десь між цими двома крайнощами.

    Розглянемо гру за участю кістки. Коли ми кидаємо справедливу смерть, є шість можливих результатів, всі однаково вірогідні. Припустимо, нас цікавить ймовірність отримання 5. Це означає, що рівно один з шести можливих результатів є успіхом, даючи ймовірність 1/6. Фундаментальний принцип тут простий. Імовірність успішного результату завжди дорівнює співвідношенню:

    Кількість успішних результатів, поділена на загальну кількість можливих результатів,

    до тих пір, поки кожен результат однаково вірогідний. Якщо результати не однаково ймовірні, математика ускладнюється.

    Гемблери, які роблять ставку на результат ролі справедливого вмирають іноді роблять помилку, думаючи, що, якщо після десяти або двадцяти рулонів п'ятірка підійшла менше 1/6 часу, то п'ятірка є «належним», а це означає, що на наступному рулоні п'ятірка швидше, ніж 1/6. Ця помилка в міркуваннях називається помилкою азартного гравця. П'ятірка має однакову ймовірність незалежно від історії померти.

    Але все це було на припущенні, що померти була «справедливою». Давайте розслабити це припущення. Припустимо, хтось показує вам монетку з головою і хвостом на ній. Ви спостерігаєте, як він перевертає його десять разів, і всі десять разів він піднімається головами. Яка ймовірність того, що на одинадцятому сальто придумають голови? Розглянемо, що сказали б три людини.

    Людина, яка вчиняє помилку гравця, скаже вам: «Хвости є більш імовірним, ніж голови, оскільки речі повинні вирівняти і хвости повинні прийти».

    Студент математики сказав би вам: «Ми не можемо передбачити майбутнє з минулого; окремі випробування не співвідносяться. Отже, шанси все ще рівні».

    Професійний гравець сказав би: «Там повинно бути щось не так з монеткою або як вона перегортається. Я б не посперечався з хлопцем, який його перевертає. Однак, на рівну ставку, я б посперечав когось іншого, хто не є другом хлопця, який робить гортання, що голови знову з'являться».

    Професійний азартний гравець - найрозумніший з цих трьох людей.

    Зверніть увагу, як ми застосовуємо наші базові знання до оцінок ймовірності. Припустимо, ви знаєте, що потрапляєте наосліп в контейнер з білими і чорними кульками. Припустимо, ви відбираєте ємність, замінюючи кульку після кожного зразка. Ви робите це п'ять разів і отримуєте 4 білих кульки і 1 чорну кульку. Тоді, якби вас запитали, чи біла куля чи чорна куля, ймовірно, наступного разу, ви б сказали, що біла куля. Але якби у вас були знання про те, що контейнер має одну білу кульку і 99 чорних куль, то наступного разу ви вгадаєте чорну кулю, а не білу кулю.

    Ваші найкращі претензії щодо ймовірностей завжди відносно того, що ви знаєте. Наприклад, якщо все, що ви знаєте, це те, що кубик - це куб, то краще стверджувати, що ймовірність появи 5 на наступному рулоні дорівнює 1/6. Але якщо ви також знаєте, що плашка завантажена так, що 4 ніколи не з'являється, то ви повинні стверджувати, що ймовірність 5 більше 1/6.

    Ми робимо всілякі судження ймовірності, не ставлячи жодних чисел на ці ймовірності. Дивлячись на жінку, яка виходить з гаража, ми правильно говоримо, що більш імовірно, що вона банківський клерк, ніж те, що вона банківський клерк з Флориди, хоча ми не маємо гарного уявлення, яке число ймовірностей. Але якби ми помітили, що вона щойно пішла від своєї машини, яка має номерні знаки Флориди, то ми б сказали, що більш імовірно, що вона банківський клерк з Флориди, ніж те, що вона банківський клерк, а не з Флориди.

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Чи є більш імовірним, що вона банківський клерк з Флориди, ніж те, що вона бідна і живе у Флориді і працює клерком у банку?

    Відповідь

    Так. Більш імовірно, що вона має дві характеристики, ніж у неї є ці дві плюс ще одна.