8.5: Рівновіддалена властивість

Нагадаємо, що відстань від лінії$\ell$ до точки$P$ визначається як відстань від$P$ до її точки стопи на$\ell$.

Пропозиція$\PageIndex{1}$

$\triangle ABC$Припустимо, що не вироджується. Потім точка$X$ лежить на бісектрисі зовнішньої бісектриси$\angle ABC$ if і тільки якщо$X$ рівновіддалена від ліній$(AB)$ і$(BC)$.

Доказ

Можна припустити, що$X$ не лежить на союзі$(AB)$ і$(BC)$. В іншому випадку відстань до однієї з ліній зникає; у цьому випадку$X = B$ є єдиною точкою, рівновіддаленою від двох ліній.

$Y$$Z$Дозволяти і бути відображенням$X$ поперек$(AB)$ і$(BC)$ відповідно. Зауважте, що

$Y \ne Z$.

В іншому випадку обидві лінії$(AB)$ і$(BC)$ є перпендикулярними бісектриси$[XY]$. тобто,$(AB) = (BC)$ що неможливо, оскільки не$\triangle ABC$ є виродженим. За пропозицією 5.4.1

$XB = YB = ZB$.

Зверніть увагу, що$X$ є рівновіддаленим від$(AB)$ і$(BC)$ якщо і тільки якщо$XY = XZ$. Застосовуючи SSS, а потім SAS, ми отримуємо, що

$\begin{array} {rcl} {XY} & = & {XZ.} \\ {} & \Updownarrow & {} \\ {\triangle BXY} & \cong & {\triangle BXZ.} \\ {} & \Updownarrow & {} \\ {\measuredangle XBY} & \equiv & {\pm \measuredangle BXZ.} \end{array}$

З тих пір$Y \ne Z$, ми отримуємо, що$\measuredangle XBY \ne \measuredangle BXZ$; тому

$$\measuredangle XBY = -\measuredangle BXZ.$$

За пропозицією 5.4.1,$A$ лежить на$B$ бісектрисі$\angle XBY$ і лежить на бісектрисі$\angle XBZ$; тобто

$2 \cdot \measuredangle XBA \equiv \measuredangle XBY$,$2 \cdot \measuredangle XBC \equiv \measuredangle XBZ.$

За 8.5.1,

$2 \cdot \measuredangle XBA \equiv -2 \cdot \measuredangle XBC.$

Остання ідентичність означає або

$\measuredangle XBA + \measuredangle XBC \equiv 0$або$\measuredangle XBA + \measuredangle XBC \equiv \pi,$

а значить і результат.