4.3: Ізоселі трикутники

Трикутник з двома рівними сторонами називається рівнобедреним; решта - підставою.

Теорема$\PageIndex{1}$

Припустимо,$\triangle ABC$ це рівнобедрений трикутник з підставою$[AB]$. Тоді

$\measuredangle ABC \equiv - \measuredangle BAC.$

Більше того, зворотне утримує, якщо$\triangle ABC$ є невиродженим.

Наступним доказом є Паппус Олександрійський.

Доказ

Зауважте, що

$CA = CB$,$CB = CA$,$\measuredangle ACB \equiv -\measuredangle BCA$.

За аксіомою IV

$\triangle CAB \cong \triangle CBA.$

Застосовуючи теорему про знаки кутів трикутників (Теорема 3.3.1) І знову Аксіома IV, отримаємо, що

$\measuredangle BAC \equiv -\measuredangle ABC.$

Щоб довести зворотне, ми припускаємо, що$\measuredangle CAB \equiv - \measuredangle CBA$. За умовою ASA (теорема 4.2.1),$\triangle CAB \cong \triangle CBA$. Тому,$CA = CB$.

Трикутник з трьома рівними сторонами називається рівностороннім.

Вправа$\PageIndex{1}$

$\triangle ABC$Дозволяти рівносторонній трикутник. Покажіть, що

$\measuredangle ABC = \measuredangle BCA = \measuredangle CAB.$

Підказка

Застосовуйте теорему 4.3.1 двічі