17.2: Проективна модель

Наступна картинка ілюструє карту,$P\mapsto \hat{P}$ описану в попередньому розділі — якщо ви зробите знімок ліворуч і застосуєте карту$P\mapsto \hat P$, ви отримаєте зображення праворуч. Картинки є конформною та проективною моделями гіперболічної площини відповідно. Карта$P\mapsto \hat P$ - це «переклад» з одного на інший.

У проективній моделі все виглядає інакше; одні стають простішими, інші ускладнюються.

Лінії

h-лінії в проективній моделі є акордами абсолюту; точніше, акорди без його кінцевих точок.

Це спостереження може бути використано для перенесення тверджень про лінії та точки з евклідової площини на h-площину. Як приклад наведемо гіперболічну версію теореми Паппуса для h-площини.

Теорема$\PageIndex{1}$ Hyperbolic Pappus' theorem

Припустимо, що дві трійки h-точок$A$,$B$$C$, і,$A'$$B'$,$C'$ в h-площині є h-колінеарними. Припустимо, що h-точки$X$$Y$, і$Z$ визначаються

$\begin{aligned} X&=(BC')_h\cap(B'C)_h, & Y&=(CA')_h\cap(C'A)_h, & Z&=(AB')_h \cap(A'B)_h.\end{aligned}$

Тоді точки$X$,$Y$,$Z$ h-колінеарні.

У проективній моделі це твердження випливає відразу з оригінальної теореми Паппуса 15.6.2. Те ж саме можна зробити і для теореми Десарьє 15.6.1. Цей же аргумент показує, що побудова дотичної лінії з лінійкою, описаної лише у вправі 15.8.2, працює і в h-площині.

З іншого боку, зауважте, що довести це твердження за допомогою конформної моделі зовсім непросто.

Кола і рівновіддалені

H-кола та рівновіддалені в проективній моделі є певним типом еліпсів та їх відкритими дугами.

Випливає, оскільки стереографічна проекція посилає кола на площині до кіл на одиничній сфері, а проекція точки стопи кола назад на площину є еліпсом. (Можна визначити еліпс як проекцію точки стопи кола.)

Відстань

Розглянемо пару h-точок$P$ і$Q$. $A$$B$Дозволяти і бути ідеальною точкою h-лінії в проективній моделі; тобто$A$ і$B$ є перетинами евклідової лінії$(PQ)$ з абсолютом.

Тоді Лемма 17.1.1,

припускаючи, що точки$A, P, Q, B$ з'являються на лінії в тому ж порядку.

Кути

Кутові заходи в проективній моделі сильно відрізняються від евклідових кутів, і це важко зрозуміти, дивлячись на картину. (Ідея, описана в розв'язанні вправи 16.3.1 та в ескізі доказу теореми 19.4.1, може бути використана для побудови багатьох проективних перетворень цього типу.) Наприклад, всі пересічні h-лінії на малюнку перпендикулярні.

Є два корисних винятку:

• $O$Якщо центр абсолюту, то $$\measuredangle_hAOB=\measuredangle AOB.$$
• Якщо$O$ центр абсолюту і$\measuredangle OAB=\pm\tfrac\pi2$, то

$\measuredangle_h OAB=\measuredangle OAB=\pm \dfrac{\pi}{2}.$

Щоб знайти міру кута в проективній моделі, ви можете застосувати рух h-площини, яка переміщує вершину кута до центру абсолюту; як тільки це буде зроблено, гіперболічний та евклідовий кути мають однакову міру.

Рухи

Рухи h-площини в конформній та проективній моделям однаково актуальні для інверсивних перетворень та проективного перетворення. А саме:

• Інверсивні перетворення, що зберігають h-площину, описують рухи h-площини в конформній моделі.
• Проективні перетворення, що зберігають h-площину, описують рухи h-площини в проективній моделі. ¹

Наступна вправа - гіперболічний аналог вправи 16.5.1. Це перший приклад твердження, яке допускає більш легкий доказ за допомогою проективної моделі.

Вправа$\PageIndex{1}$

Дозволяти$P$ і$Q$ бути точки в h-площині, які лежать на однаковій відстані від центру абсолюту. Зверніть увагу, що в проективній моделі h-середня точка$[PQ]_h$ збігається з серединою Евкліда$[PQ]_h$.

Зробіть висновок, що якщо h-трикутник вписаний в h-коло, то його медіани зустрічаються в одній точці.

Нагадаємо, що h-трикутник може бути також вписаний в гороцикл або рівновіддалений. Подумайте, як довести заяву в цьому випадку.

Підказка

Спостереження слід, оскільки відображення через перпендикулярну бісектрису$[PQ]$ - це рух евклідової площини, а також рух h-площини. Без втрати спільності можна вважати, що центр окружності збігається з центром абсолюту. При цьому h-медіани трикутника збігаються з евклідовими медіанами. Залишилося застосувати теорему 8.3.1.

Вправа$\PageIndex{2}$

$m$Дозволяти$\ell$ і є h-лініями в проективній моделі. Нехай$s$ і$t$ позначають евклідові лінії дотичні до абсолюту в ідеальних точках$\ell$. Покажіть$s$, що якщо лінії$t$ і розширення$m$ перетинаються в одній точці, то$\ell$ і$m$ є перпендикулярними h-лініями.

Підказка

Нехай$\hat{\ell}$ і$\hat{m}$ позначають h-лінії в конформної моделі, які відповідають$\ell$ і$m$. Потрібно показати, що$\hat{\ell} \perp \hat{m}$ як дуги в евклідовій площині.

Точка$Z$, де$s$ зустрічається$t$, є центром кола,$\Gamma$ що містить$\hat{\ell}$.

Якщо$\hat{m}$ проходить через$Z$, то інверсія в$\Gamma$ обмін на ідеальні точки$\hat{\ell}$. Зокрема,$\hat{\ell}$ карти до себе. Звідси і результат.

Вправа$\PageIndex{3}$

Використовуйте проективну модель для отримання формули кута паралелізму (Пропозиція 13.1.1).

Підказка

$Q$Дозволяти бути точка стопи$P$ на лінії і$\varphi$ бути кут паралелізму. Можна припустити, що$P$ це центр абсолюту. Тому$PQ = \cos \varphi$ і

$PQ_h = \dfrac{1}{2} \cdot \ln \dfrac{1 + \cos \varphi}{1 - \cos \varphi}.$

Вправа$\PageIndex{4}$

Використовуйте проективну модель, щоб знайти радіус ідеального трикутника.

Підказка

Застосовуйте вправу$\PageIndex{3}$ для$\varphi = \dfrac{\pi}{3}$.

Проективна модель h-площини може бути використана для отримання ще одного доказу гіперболічної теореми Піфагора (теорема 13.6.1).

Спочатку нагадаємо його твердження:

$$\cosh c=\cosh a\cdot\cosh b,$$

де$a=BC_h$$b=CA_h$,$c=AB_h$ і$\triangle_hACB$ - h-трикутник з прямим кутом в$C$.

Зверніть увагу, що можна вважати, що$A$ це центр абсолюту. Набір$s=BC$,$t =CA$,$u= AB$. Відповідно до теореми Евклідова Піфагора (Теорема 6.2.1) ми маємо

$$u^2=s^2+t^2.$$

Залишається висловити$a$$b$, і$c$ використовуючи$s$,$t$ і показати$u$, що 17.2.3 має на увазі 17.2.2.

Розширені вправи$\PageIndex{5}$

Завершіть доказ гіперболічної теореми Піфагора (теорема 13.6.1), зазначеної вище.

Підказка

Зауважте$b = \dfrac{1}{2} \cdot \ln \dfrac{1 + t}{1 - t}$, що, отже,

$$\cosh b = \dfrac{1}{2} \cdot (\sqrt{\dfrac{1 + t}{1 - t}} + \sqrt{\dfrac{1 - t}{1 +t}}) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - t^2}}.$$

Таким же чином ми отримуємо, що

$$\cosh c = \dfrac{1}{\sqrt{1 - u^2}}.$$

Нехай$X$ і$Y$ є ідеальними точками$(BC)_h$. Застосовуючи теорему Піфагора (теорема 6.2.1) знову, отримуємо це$CX = CY = \sqrt{1 - t^2}$. Тому,

$a = \dfrac{1}{2} \cdot \ln \dfrac{\sqrt{1 - t^2} + s}{\sqrt{1 - t^2} - s},$

і

$$\cosh a = \dfrac{1}{2} \cdot (\dfrac{\sqrt{1 - t^2} + s}{\sqrt{1 - t^2} - s} + \dfrac{\sqrt{1 - t^2} - s}{\sqrt{1 - t^2} + s}) = \dfrac{\sqrt{1 - t^2}}{\sqrt{1 - t^2 - s^2}} = \dfrac{\sqrt{1 - t^2}}{\sqrt{1 - u^2}}.$$

Нарешті, зауважте, що 17.2.5, 17.2.6 та 17.2.7 передбачають теорему.