Search

Книга: Звичайні диференціальні рівняння (Wiggins)
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%97%D0%B2%D0%B8%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Wiggins)
Ця книга складається з десяти тижнів матеріалу, наданого в якості курсу зі звичайних диференціальних рівнянь (ODE) для другого курсу математики спеціальностей в Брістольському університеті. Це перший ...Ця книга складається з десяти тижнів матеріалу, наданого в якості курсу зі звичайних диференціальних рівнянь (ODE) для другого курсу математики спеціальностей в Брістольському університеті. Це перший курс, присвячений виключно диференціальним рівнянням, які ці студенти будуть приймати.
3.1: Набір проблем
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%97%D0%B2%D0%B8%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Wiggins)/03%3A_%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D1%83_%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%94%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B9_%D1%82%D0%B0_%D1%96%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BD_-_%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B1%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C/3.01%3A_%D0%9D%D0%B0%D0%B1%D1%96%D1%80_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B5%D0%BC
$\dot{x} = x-x^3, x \in \mathbb{R}. \label{3.11}$ Обчислити всі рівноваги і визначити їх стійкість, тобто вони стабільні Ляпунов, асимптотично стійкі або нестабільні? Розглянемо автономне векторне п... $\dot{x} = x-x^3, x \in \mathbb{R}. \label{3.11}$ Обчислити всі рівноваги і визначити їх стійкість, тобто вони стабільні Ляпунов, асимптотично стійкі або нестабільні? Розглянемо автономне векторне поле на $\mathbb{R}^n$ : $\dot{x} = f(x), x \in \mathbb{R}^n. \label{3.12}$ Припустимо, $M \subset \mathbb{R}^n$ це обмежений інваріантний набір для (3.12). Припустимо $p \in \mathbb{R}^n, p \notin M$ . $\dot{y} = -y, (x, y) \in \mathbb{R}^2. \label{3.13}$
11.5: Е- Динаміка рівнянь Гамільтона
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%97%D0%B2%D0%B8%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Wiggins)/11%3A_%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B8/11.05%3A_%D0%95-_%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D1%8C_%D0%93%D0%B0%D0%BC%D1%96%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0
$= \frac{\partial H}{\partial q} \frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial H}{\partial p} \frac{\partial H}{\partial q} = 0. \label{E.3}$ \[J(p, q) = \begin{pmatrix} {\frac{\partial^{2}H}{\part... $= \frac{\partial H}{\partial q} \frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial H}{\partial p} \frac{\partial H}{\partial q} = 0. \label{E.3}$ $J(p, q) = \begin{pmatrix} {\frac{\partial^{2}H}{\partial q \partial p}}&{\frac{\partial^{2}H}{\partial p^2}}\\ {-\frac{\partial^{2}H}{\partial q^2}}&{-\frac{\partial^{2}H}{\partial p \partial q}} \end{pmatrix}, \label{E.5}$ $H(q, p) = \frac{\lambda}{2} (p^{2}-q^{2}) = \frac{\lambda}{2} (p-q)(p+q), (q, p) \in \mathbb{R}^2, \label{E.7}$
4.1: Набір проблем
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%97%D0%B2%D0%B8%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Wiggins)/04%3A_%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D1%83_%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%94%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B9_-_%D0%BB%D1%96%D0%BD%D0%B5%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F/4.01%3A_%D0%9D%D0%B0%D0%B1%D1%96%D1%80_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B5%D0%BC
Припустимо $\Lambda$ , це $n \times n$ матриця, а T - $n \times n$ оборотна матриця. \(\begin{pmatrix} {\dot{x_{1}}}\\ {\dot{x_{2}}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {0}&{0} \end{pmatrix} \...Припустимо $\Lambda$ , це $n \times n$ матриця, а T - $n \times n$ оборотна матриця. $\begin{pmatrix} {\dot{x_{1}}}\\ {\dot{x_{2}}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {0}&{0} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {x_{1}}\\ {x_{2}} \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} {\dot{x}}\\ {\dot{y}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {0}&{0}\\ {0}&{0} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {x_{1}}\\ {x_{2}} \end{pmatrix}$
11.3: Пошук функцій Ляпунова
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%97%D0%B2%D0%B8%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Wiggins)/11%3A_%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B8/11.03%3A_%D0%9F%D0%BE%D1%88%D1%83%D0%BA_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D0%B9_%D0%9B%D1%8F%D0%BF%D1%83%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0
Метод Ляпунова і принцип інваріантності ЛаСалля - дуже потужні прийоми, але завжди виникає очевидне питання: «як знайти функцію Ляпунова? Нещаслива відповідь полягає в тому, що при довільному ODE нема...Метод Ляпунова і принцип інваріантності ЛаСалля - дуже потужні прийоми, але завжди виникає очевидне питання: «як знайти функцію Ляпунова? Нещаслива відповідь полягає в тому, що при довільному ODE немає загального методу знайти функцію Ляпунова, відповідну заданому ODE для застосування цих методів.
2.1: Набір проблем
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%97%D0%B2%D0%B8%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Wiggins)/02%3A_%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D1%80%D1%96%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%9E%D0%94%D0%A3/2.01%3A_%D0%9D%D0%B0%D0%B1%D1%96%D1%80_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B5%D0%BC
\[\begin{pmatrix} {x(t)}\\{y(t)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {cos \omega t}&{-sin \omega t}\\ {sin \omega t}&{cos \omega t} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {x_{0}}\\ {y_{0}} \end{pmatrix} \nonumber\... $\begin{pmatrix} {x(t)}\\{y(t)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {cos \omega t}&{-sin \omega t}\\ {sin \omega t}&{cos \omega t} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {x_{0}}\\ {y_{0}} \end{pmatrix} \nonumber$ $\begin{pmatrix} {x(t)}\\{y(t)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {cosh \lambda t}&{sinh \lambda t}\\ {sinh \lambda t}&{cosh \lambda t} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {x_{0}}\\ {y_{0}} \end{pmatrix} \nonumber$
5: Поведінка поблизу Equilbria - лінеаризація
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%97%D0%B2%D0%B8%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Wiggins)/05%3A_%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D1%83_Equilbria_-_%D0%BB%D1%96%D0%BD%D0%B5%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F
\[T\begin{pmatrix} {u_{1}}\\ {0} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {1}&{1}\\ {1+\sqrt{2}}&{1-\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {u_{1}}\\ {0} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {x_{1}}\\ {x_{2}} \end{... $T\begin{pmatrix} {u_{1}}\\ {0} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {1}&{1}\\ {1+\sqrt{2}}&{1-\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {u_{1}}\\ {0} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {x_{1}}\\ {x_{2}} \end{pmatrix}, \label{5.43}$ $T\begin{pmatrix} {0}\\ {u_{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {1}&{1}\\ {1+\sqrt{2}}&{1-\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {0}\\ {u_{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {x_{1}}\\ {x_{2}} \end{pmatrix}, \label{5.47}$
7.2: Набір проблем
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%97%D0%B2%D0%B8%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Wiggins)/07%3A_%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%9B%D1%8F%D0%BF%D1%83%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D1%96%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96_%D0%9B%D0%B0%D0%A1%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D1%8F/7.02%3A_%D0%9D%D0%B0%D0%B1%D1%96%D1%80_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B5%D0%BC
Використовуйте метод Ляпунова, щоб показати, що рівноваги $(x, y) = (\pm 1, 0)$ є стабільними для Ляпунова $\delta = 0$ та асимптотично стабільними для $\delta > 0$ . \(\dot{y} = -x-\epsilon x^{2}y,...Використовуйте метод Ляпунова, щоб показати, що рівноваги $(x, y) = (\pm 1, 0)$ є стабільними для Ляпунова $\delta = 0$ та асимптотично стабільними для $\delta > 0$ . $\dot{y} = -x-\epsilon x^{2}y, \epsilon > 0, (x, y) \in \mathbb{R}^2$ . як функція Ляпунова навести умови на a, b, c, d, для яких (x, y) = (0, 0) є асимптотично стабільними. Дайте умови на a, b, c, d, для яких x = 0 - стійкий чоловік- ifold (x, y) = (0,0) і y = 0 - нестабільний многовид (x, y) = (0, 0).
9.1: Біфуркація рівноваг II
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%97%D0%B2%D0%B8%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Wiggins)/09%3A_%D0%91%D1%96%D1%84%D1%83%D1%80%D0%BA%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%B3_II/9.01%3A_%D0%91%D1%96%D1%84%D1%83%D1%80%D0%BA%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%B3_II
Біфуркація Пуанкаре — Андронова — Хопфа дуже важлива в додатках і є біфуркацією фіксованої точки автономного векторного поля, де фіксована точка є негіперболічною внаслідок того, що якобіан має пару ч...Біфуркація Пуанкаре — Андронова — Хопфа дуже важлива в додатках і є біфуркацією фіксованої точки автономного векторного поля, де фіксована точка є негіперболічною внаслідок того, що якобіан має пару чисто уявних власних значень, ±iw, w0. Тому цей вид біфуркації вимагає (як мінімум двох вимірів), і він характеризується не зміною кількості нерухомих точок, а створенням залежних від часу періодичних рішень.
3: Поведінка поблизу траєкторій та інваріантних множин - стабільність
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%97%D0%B2%D0%B8%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Wiggins)/03%3A_%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D1%83_%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%94%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B9_%D1%82%D0%B0_%D1%96%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BD_-_%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B1%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C
Важливо розуміти, що це буде означати з точки зору Equation\ ref {3.2}. Для y small це означає, що х знаходиться поблизу рішення, що цікавить, $\bar{x}(t, t_{0}, x_{0})$ . Отже, ми показали, що розв'я...Важливо розуміти, що це буде означати з точки зору Equation\ ref {3.2}. Для y small це означає, що х знаходиться поблизу рішення, що цікавить, $\bar{x}(t, t_{0}, x_{0})$ . Отже, ми показали, що розв'язки рівняння\ ref {3.1} поблизу $\bar{x}(t, t_{0}, x_{0})$ еквівалентні розв'язкам рівняння\ ref {3.4} поблизу y = 0. М кажуть, що Ляпунова стабільна, якщо для будь-якого сусідства $U \supset M, x \in U \Rightarrow \phi_{t}(x) \in U, \forall t > 0$ .
F: Короткий вступ до характеристик хаосу
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%97%D0%B2%D0%B8%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Wiggins)/zz%3A_%D0%9D%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D0%B4_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D1%96%D1%8F/02%3A_%D0%9A%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B2%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D1%85%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA_%D1%85%D0%B0%D0%BE%D1%81%D1%83
Тепер вибираємо початкові умови в $\mathcal{A}$ $(r_{1}', \theta_{1})$ ,, $(r_{2}', \theta_{2})$ , с $r_{1} \le r_{1}' < r_{2}' \le r_{2}$ . \(|\phi_{t}(r_{1}', \theta_{1}) \phi_{t}(r_{2}', \theta_{2...Тепер вибираємо початкові умови в $\mathcal{A}$ $(r_{1}', \theta_{1})$ ,, $(r_{2}', \theta_{2})$ , с $r_{1} \le r_{1}' < r_{2}' \le r_{2}$ . $|\phi_{t}(r_{1}', \theta_{1}) \phi_{t}(r_{2}', \theta_{2})| = |(r_{1}', r_{1}' t+ \theta_{1}) - (r_{2}', r_{2}' t+\theta_{2})|$ , $|\phi_{t}(\theta_{1}, \theta_{2}) - \phi_{t}(\theta_{1}', \theta_{2}')| = |(\omega_{1} t+\theta_{1}, \omega_{2} t+\theta_{2}) - (\omega_{1} t+\theta_{1}', \omega_{2} t+\theta_{2}'|$ ,