2.1: Набір проблем

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61202

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

ВПРАВА$\PageIndex{1}$

Розглянемо автономне векторне поле на площині, що має гіперболічну нерухому точку з гомоклінічної орбітою, що з'єднує гіперболічну нерухому точку, як показано на рис.1. Ми припускаємо, що існування та унікальність розв'язків має місце. Чи може траєкторія, що починається в будь-якій точці гомоклінічної орбіти, досягти гіперболічної фіксованої точки за кінцевий час? (Ви повинні обґрунтувати свою відповідь.)

$Знімок екрана 2019-09-12 в 1.37.59 PM.png$

ВПРАВА$\PageIndex{2}$

Чи може автономне векторне поле$\mathbb{R}$, на якому немає точок рівноваги, мати періодичні орбіти? Ми припускаємо, що існування та унікальність розв'язків має місце. (Ви повинні обґрунтувати свою відповідь.)

ВПРАВА$\PageIndex{3}$

Чи може неавтономне векторне поле$\mathbb{R}$, на якому немає точок рівноваги, мати періодичні орбіти? Ми припускаємо, що існування та унікальність розв'язків має місце. (Ви повинні обґрунтувати свою відповідь.)

ВПРАВА$\PageIndex{4}$

Чи може автономне векторне поле на колі, яке не має точок рівноваги, мати періодичні орбіти? Ми припускаємо, що існування та унікальність розв'язків має місце. (Ви повинні обґрунтувати свою відповідь.)

ВПРАВА$\PageIndex{5}$

Розглянемо наступні автономні векторні поля на площині:

$\dot{x} = -\omega y$,

$\dot{y} = \omega x$,$(x, y) \in \mathbb{R}^2$,

де$\omega > 0$

Показати, що потік, згенерований цим векторним полем, задається:
\[\begin{pmatrix} {x(t)}\\{y(t)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {cos \omega t}&{-sin \omega t}\\ {sin \omega t}&{cos \omega t} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {x_{0}}\\ {y_{0}} \end{pmatrix} \nonumber\]
Показати, що потік підпорядковується властивості зсуву часу.
Дайте початкову умову на час зміщеного потоку.

ВПРАВА$\PageIndex{6}$

Розглянемо наступні автономні векторні поля на площині:

$\dot{x} = \lambda y$,

$\dot{y} = \lambda x$,$(x, y) \in \mathbb{R}^2$,

Показати, що потік, згенерований цим векторним полем, задається:
\[\begin{pmatrix} {x(t)}\\{y(t)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {cosh \lambda t}&{sinh \lambda t}\\ {sinh \lambda t}&{cosh \lambda t} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {x_{0}}\\ {y_{0}} \end{pmatrix} \nonumber\]
Показати, що потік підпорядковується властивості зсуву часу.
Дайте початкову умову на час зміщеного потоку.

ВПРАВА$\PageIndex{7}$

Показати, що властивість тимчасового зсуву для автономних векторних полів передбачає, що траєкторії не можуть «перетинати один одного», тобто перетинатися, у фазовому просторі.

ВПРАВА$\PageIndex{8}$

Показати, що об'єднання двох інваріантних множин є інваріантною множиною.

ВПРАВА$\PageIndex{9}$

Показати, що перетин двох інваріантних множин є інваріантною множиною.

ВПРАВА$\PageIndex{10}$

Показати, що доповнення позитивного інваріантного множини є негативним інваріантним множиною.