7.2: Набір проблем

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61177

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

ВПРАВА\(\PageIndex{1}\)

Розглянемо наступні автономні векторні поля на площині:

\(\dot{x} = y\),

\(\dot{y} = x-x^3-\delta y, \delta \ge 0, (x,y) \in \mathbb{R}^2\).

Використовуйте метод Ляпунова, щоб показати, що рівноваги\((x, y) = (\pm 1, 0)\) є стабільними для Ляпунова\(\delta = 0\) та асимптотично стабільними для\(\delta > 0\).

ВПРАВА\(\PageIndex{2}\)

Розглянемо наступні автономні векторні поля на площині:

\(\dot{x} = y\),

\(\dot{y} = -x-\epsilon x^{2}y, \epsilon > 0, (x, y) \in \mathbb{R}^2\).

Використовуйте принцип інваріантності LaSalle, щоб показати, що

(х, у) = (0, 0),

асимптотично стабільна.

ВПРАВА\(\PageIndex{3}\)

Розглянемо наступні автономні векторні поля на площині:

\(\dot{x} = y\),

\(\dot{y} = x-x^3- \alpha x^{2}y, a > 0, (x, y) \in \mathbb{R}^2\),

використовувати принцип інваріантності LaSalle, щоб описати долю всіх траєкторій як\(t \rightarrow \infty\).

ВПРАВА\(\PageIndex{4}\)

Розглянемо наступні автономні векторні поля на площині:

\(\dot{x} = y\),

\(\dot{y} = x-x^3+\alpha xy, (x, y) \in \mathbb{R}^2\),

де\(\alpha\) - реальний параметр. Визначте рівноваги і обговоріть їх лінеаризовану стійкість як функцію\(\alpha\).

ВПРАВА\(\PageIndex{5}\)

Розглянемо наступні автономні векторні поля на площині:

\(\dot{x} = ax+by\),

\[\dot{y} = cx + dy, (x, y) \in \mathbb{R}^2, \label{7.34}\]

де\(a, b, c, d \in \mathbb{R}\). У наведених нижче питаннях вам пропонується дати умови щодо констант a, b, c та d, щоб задовольнити конкретні динамічні явища. Вам не потрібно давати всі можливі умови на константи, щоб динамічна умова була задоволена. Однією умовою буде достатньо, але ви повинні обґрунтувати свою відповідь.

Дайте умови на a, b, c, d, для яких векторне поле не має періодичних орбіт.
Дайте умови на a, b, c, d, для яких всі орбіти є пері- одичними.
Використання
\(V(x,y) = \frac{1}{2}(x^2+y^2)\)

як функція Ляпунова навести умови на a, b, c, d, для яких (x, y) = (0, 0) є асимптотично стабільними.
Дайте умови на a, b, c, d, для яких x = 0 - стійкий чоловік- ifold (x, y) = (0,0) і y = 0 - нестабільний многовид (x, y) = (0, 0).

ВПРАВА\(\PageIndex{6}\)

Розглянемо наступні автономні векторні поля на площині:

\(\dot{x} = y\),

\[\dot{y} = x-x^{2}y, (x,y) \in \mathbb{R}^2. \label{7.35}\]

Визначте лінеаризовану стійкість (x, y) = (0, 0).
Опишіть інваріантну багатоподібну структуру для лінеаризації (7.35) про (x, y) = (0, 0).
Використовуючи в\(V(x, y) = \frac{1}{2}(x^2 + y^2)\) якості функції Ляпунова, що можна зробити висновок про стабільність походження? Чи погоджується це з результатом лінеаризованої стабільності, отриманим вище? Чому чи чому ні?
Використовуючи принцип інваріантності LaSalle, визначити долю траєкторії, що починається з довільної початкової умови як\(t \rightarrow \infty\)? Що дозволяє зробити висновок про стабільність (x, y) = (0, 0)?