11.3: Пошук функцій Ляпунова

Метод Ляпунова і принцип інваріантності ЛаСалля - дуже потужні прийоми, але завжди виникає очевидне питання: «як знайти функцію Ляпунова? Нещаслива відповідь полягає в тому, що при довільному ODE немає загального методу знайти функцію Ляпунова, відповідну заданому ODE для застосування цих методів.

Загалом, для визначення функції Ляпунова, відповідної заданому ОДУ, ОДА повинна мати структуру, яка піддається побудові функції Ляпунова. Тому наступне питання - «що це за структура?» Якщо ОДА виникає в результаті фізичного моделювання, може бути «енергетична функція», яка «майже збережена». Це означає, що при нехтуванні певними термінами ОДА результуюча ОДА має збережену величину, тобто скалярну цінну функцію, похідна часу якої по траєкторіях дорівнює нулю, і ця збережена величина може бути кандидатом на функцію Ляпунова. Якщо це звучить туманно, це тому, що побудова функцій Ляпунова часто вимагає трохи «математичного артистизму». Цю процедуру ми розглянемо на деяких прикладах. Енергетичні методи є важливими прийомами для розуміння проблем стабільності в науці та техніці; див., наприклад, книгу Лангхаара та статтю Машке.

Для початку розглянемо рівняння Ньютона для руху частинки масою m при консервативній силі в одному вимірі:

$$m\ddot{x} = -\frac{d\Phi}{dx} (x), x \in \mathbb{R}, \label{C.1}$$

Написання цього як система першого замовлення дає:

$$\begin{align} \dot{x} &= y \\[4pt] \dot{y} &= -\frac{1}{m}\frac{d\Phi}{dx} (x). \label{C.2} \end{align}$$

Легко помітити, що похідна за часом наступної функції дорівнює нулю

$$E = \frac{my^2}{2} + \Phi (x), \label{C.3}$$

так як

$$\begin{align} \dot{E} &= my\dot{y}+\frac{d \Phi}{dx}(x)\dot{x} \\[4pt] &= -y\frac{d \Phi}{dx}(x) + y\frac{d \Phi}{dx}(x) = 0. \label{C.4} \end{align}$$

З точки зору динаміки функція в Equation\ ref {C.3} має інтерпретацію як збереженої кінетичної енергії, пов'язаної з (С.1).

Зараз ми розглянемо кілька прикладів. У всіх випадках ми спростимо питання, взявши$m = 1$.

Приклад$\PageIndex{38}$

Розглянемо наступні автономні векторні поля на$\mathbb{R}^2$:

$\dot{x} = y$,

$$\dot{y} = -x-\delta y, \delta \ge 0, (x, y) \in \mathbb{R}^2. \label{C.5}$$

Для$\delta = 0$ рівняння\ ref {C.5} має вигляд (С.1):

$\dot{x} = y$,

$$\dot{y} = x, (x, y) \in \mathbb{R}^2. \label{C.6}$$

із

$$E = \frac{y^2}{2}+\frac{x^2}{2}. \label{C.7}$$

Легко перевірити, що$\frac{dE}{dt} = 0$ вздовж траєкторій (C.6).

Тепер диференціюємо Е по траєкторіях (С.5) і отримаємо:

$$\frac{dE}{dt} = -\delta y^2. \label{C.8}$$

(C.6) має лише одну точку рівноваги, розташовану біля початку. Е явно позитивний скрізь, крім походження, де воно дорівнює нулю. Використовуючи Е як функцію Ляпунова, можна зробити висновок, що походження є стабільним Ляпунова. Якщо використовувати E для застосування принципу інваріантності LaSalle, можна зробити висновок, що походження асимптотично стабільне. Звичайно, в цьому випадку ми можемо лінеаризувати і зробити висновок, що походження є гіперболічною раковиною для$\delta > 0$.

Приклад$\PageIndex{39}$

Розглянемо наступні автономні векторні поля на$\mathbb{R}^2$:

$\dot{x} = y$,

$$dot{y} = x-x^3-\delta y, \delta \ge 0, (x, y) \in \mathbb{R}^2. \label{C.9}$$

Для$\delta = 0$, Рівняння\ ref {C.9} має вигляд (С.1):

$\dot{x} = y$,

$$dot{y} = x-x^3, (x, y) \in \mathbb{R}^2. \label{C.10}$$

із

$$E = \frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4}. \label{C.11}$$

Це легко перевірити, що$\frac{dE}{dt} = 0$ по траєкторіях (C.10).

Питання тепер полягає в тому, як ми будемо використовувати Е для застосування методу Ляпунова або принципу інваріантності LaSalle? (C.9) має три точки рівноваги, гіперболічне сідло на початку для$\delta \ge 0$ і гіперболічні занурення при (x, y) =$(\pm1, 0)$ for$\delta > 0$ і центри для$\delta = 0$. Таким чином, лінеаризація дає нам повну інформацію для$\delta > 0$. Для$\delta = 0$ лінеаризації досить дозволити зробити висновок про те, що походження є сідлом. Рівноваги (x, y) =$(\pm 1, 0)$ є стабільними для Ляпунова$\delta = 0$, але аргумент, що включає функцію E, був би необхідний для того, щоб зробити це. Лінеаризація дозволяє зробити висновок, що рівноваги (x, y) =$(\pm 1, 0)$ асимптотично стійкі для$\delta > 0$.

Функція E може бути використана для застосування принципу інваріантності ЛаСалля, щоб зробити висновок, що для$\delta > 0$ всіх траєкторій наближається одна з трьох рівноваг як$t \rightarrow \infty$.