5: Поведінка поблизу Equilbria - лінеаризація
Зараз ми розглянемо кілька прикладів для вирішення, і розуміння природи рішень,
˙x=Ax,x∈R2.
Для всіх прикладів метод вирішення системи однаковий.
Кроки для вирішення
- Крок 1. Обчислити власні значенняA.
- Крок 2. Обчислити власні векториA.
- Крок 3. Використовуйте власні векториA для формування матриці перетворенняT.
- Крок 4. ОбчислитиΛ=T−1AT.
- Крок 5. ОбчислитиeAt=TeλtT−1.
Після того, як ми обчислили,eAt ми маємо рішення Equation\ ref {5.1} через будь-яку початкову умовуy(t)y(0)=y0,y0 оскільки,, задаєтьсяy(t)=eAty0.
Приклад5.10
Розглянемо наступні лінійні, автономні ОДУ:
(˙x1˙x2)=(2112)(x1x2)
де
A=(2112),
Крок 1. Обчислити власні значення A.
Власні значення А, що позначаютьсяλ, задаються розв'язками характеристичного многочлена:
det(2−λ112−λ)=(2−λ)2−1=0
=λ2−4λ+3=0,
або
λ1,2=2±12√16−12=3,1
Крок 2. Обчислити власні вектори A.
Для кожного власне значення обчислюємо відповідний власнийвектор. Свій вектор, відповідний власному значенню 3, знаходить шляхом розв'язання:
(2112)(x1x2)=3(x1x2),
або
2x1+x2=3x1,
x1+2x2=3x2.
Обидва ці рівняння дають одне і те ж рівняння, оскільки два рівняння залежні:
x2=x1.
Тому приймаємо як власний вектор, відповідний власному значенню 3:
(11)
Далі обчислюємо власне вектор, відповідний власному значенню 1. Це дається розв'язком наступних рівнянь:
(2112)(x1x2)=(x1x2),
або
2x1+x2=x1,
x1+2x2=x2.
Обидва ці рівняння дають одне і те ж рівняння:
x2=−x1.
Тому візьмемо за свій вектор, відповідний власному значенню:
(1−1)
Крок 3. Використовуйте власні вектори A для формування матриці перетворення T.
Для стовпцівT візьмемо власні вектори, відповідні власним значенням 1 і 3:
T=(11−11)
з оберненою заданою:
T−1=12(1−111)
Крок 4. ОбчислитиΛ=T−1AT.
У нас є:
T−1AT=12(1−111)(2112)(11−11)
=12(1−111)(13−13)
=(1003)≡Λ
Тому вu1−u2 координатах (5.2) стає:
(˙u1˙u2)=(1003)(u1u2)
Уu1−u2 координатах легко помітити, що початок є нестійкою точкою рівноваги.
Крок 5. ОбчислитиeAt=TeλtT−1.
У нас є:
eAT=12(11−11)(et00e3t)(1−111)
=12(11−11)(et−ete3te3t)
=(12et+e3t−et+e3t−et+e3tet+e3t)
Ми бачимо, що походження також нестабільне в вихіднихx1−x2 координатах. Його відносять до джерела, і це характеризується тим, що всі власні значення А мають позитивну дійсну частину. Фазовий портрет проілюстрований на рис.5.1.

Зауважимо це можна зробити висновок про поведінкуeAt якt→∞ з поведінки,eΛtt→∞ оскільки Т не залежить від t.
Приклад5.11
Розглянемо наступні лінійні, автономні ОДУ:
(˙x1˙x2)=(−1−19−1)(x1x2)
де
A=(−1−19−1),
Крок 1. Обчислити власні значення A.
Власні значення А, що позначаютьсяλ, задаються розв'язками характеристичного многочлена:
det(−1−λ−19−1−λ)=(−1−λ)2+9=0,
=λ2+2λ+10=0,
або
λ1,2=−1±12√4−40=−1±3i
Власні вектори є складними, тому ми знаємо, що він не діагональний над дійсними числами. Це означає, що ми не можемо знайти реальні власні вектори, щоб він міг бути перетворений у форму, де є дійсні числа на діагоналі та нулі у записах поза діагоналлю. Найкраще, що ми можемо зробити, це перетворити його у форму, де реальні частини власне значення знаходяться на діагоналі, а уявні частини знаходяться на вимкненому діагональному розташуванні, але вимкнені діагональні елементи відрізняються знаком мінус.
Крок 2. Обчислити власні вектори A.
Власний вектор A, відповідний власному вектору,−1−3i є розв'язком наступних рівнянь:
(−1−19−1)(x1x2)=(−1−3i)(x1x2),
або
−x1−x2=−x1−3ix2,
9x1−x2=−x2−3ix2.
Розв'язок цих рівнянь дається:
(13i)=(10)+i(03)
Крок 3. Використовуйте власні вектори A для формування матриці перетворення T.
Для першого стовпця T візьмемо дійсну частину свого вектора, відповідну власному значенню−1−3i, а для другого - комплексну частину свого вектора:
T=(1003)
з оберненою заданою:
T−1=(10013)
Крок 4. ОбчислитиΛ=T−1AT.
T−1AT=12(10013)(−1−19−1)(1003)
=(10013)(−1−39−3)
=(−1−33−1)≡Λ
ΛУ цій формі ми знаємо з попереднього розділу, що:
eΛt=e−t(cos3t−sin3tsin3tcos3t)
Тоді у нас є:
eAt=TeΛtT−1.
З цього виразу можна зробити висновок, щоeAt→0 якt→∞. Звідси походження асимптотично стабільне. Його називають раковиною, і вона характеризується реальними частинами власних значень А, що є негативними. Фазова площина начерчена на рис.5.2.

Приклад5.12
Розглянемо наступні лінійні, автономні ОДУ:
(˙x1˙x2)=(−1111)(x1x2)
де
A=(−1111),
Крок 1. Обчислити власні значення A.
Власні значення А, що позначаютьсяλ, задаються розв'язками характеристичного многочлена:
det(−1−λ111−λ)=(−1−λ)(1−λ)−1=0
=λ2−2=0,
які є
λ1,2=±√2
Крок 2. Обчислити власні вектори A.
Власний вектор, відповідний власному значенню,√2 задається розв'язком наступних рівнянь:
(−1111)(x1x2)=√2(x1x2),
або
−x1+x2=√2x1,
x1+x2=√2x2.
Рішення дається:
x2=(1+√2)x1.
що відповідає власному вектору
(11+√2)
Власний вектор, відповідний власному значенню,−√2 задається розв'язком наступних рівнянь:
(−1111)(x1x2)=−√2(x1x2),
або
−x1+x2=−√2x1,
x1+x2=−√2x2.
Рішення дається:
x2=(1−√2)x1.
що відповідає власному вектору:
(11−√2)
Крок 3. Використовуйте власні вектори A для формування матриці перетворення T.
Для стовпців T візьмемо власні вектори, відповідні власним значенням√2 і−√2:
T=(111+√21−√2)
з оберненою заданою:
T−1=−12√2(1−√2−1−1−√21)
Крок 4. ОбчислитиΛ=T−1AT. У нас є:
T−1AT=−12√2(1−√2−1−1−√21)(−1111)(111+√21−√2)
=−12√2(1−√2−1−1−√21)(√2−√22+√22−√2)
=(√200−√2)≡Λ
Тому вu1−u2 координатах (5.30) стає:
(˙u1˙u2)=(√200−√2)(u1u2)
Фазовий портрет (5.42) показаний в 5.3.
Легко помітити, що походження нестабільне для (5.42). На рис. 5.3 ми бачимо, що походження має структуру сідлової точки, і ми хочемо вивчити цю ідею далі.
Уu1−u2 координатах проліт власноговектора, відповідного власному значенню,√2 задаєтьсяu2=0, тобтоu1 віссю. Проліт власного вектора, відповідного власному значенню,−√2 задаєтьсяu1=0, тобтоu2 віссю. Більш того, ми бачимо з форми (5.42), що ці координатні осі є інваріантними. u1Віссю називають нестабільним підпростором, позначаєтьсяEu, аu2 вісь іменується як стійкий підпростір, позначаєтьсяEs. Іншими словами, нестабільний підпростір - це проміжок свого вектора, відповідного власному значенню з додатною дійсною частиною, а стабільний підпростір - проліт свого вектора, відповідного власному значенню, що має від'ємну дійсну частину. Стабільні та нестабільні підпростори є інваріантними підпросторами щодо потоку, породженого (5.42).

Стабільні та нестабільні підпростори відповідають осям координат у системі координат, заданих власними векторами. Далі ми хочемо зрозуміти, як вони будуть відображатися в вихіднихx1−x2 координатах. Це досягається шляхом перетворення їх у вихідні координати за допомогою матриці перетворення (Equation\ ref {5.39}).
Спочатку ми трансформуємо нестабільний підпростір відu1−u2 координат доx1−x2 координат. Уu1−u2 координатах точки на нестабільному підпросторі мають координати(u1,0). Діючи на ці точки з Т дає:
T(u10)=(111+√21−√2)(u10)=(x1x2),
що дає наступне відношення між точками на нестабільному підпросторі вu1−u2 координатах до точокx1−x2 координат:
u1=x1,
(1+√2)u1=x2,
або
(1+√2)x1=x2.
Це рівняння для нестабільного підпростору вx1−x2 координатах, яке ми проілюструємо на рис.5.4.

Далі ми трансформуємо стабільний підпростір відu1−u2 координат доx1−x2 координат. Уu1−u2 координатах точки на стійкому підпросторі мають координати(0,u2). Діючи на ці точки з Т дає:
T(0u2)=(111+√21−√2)(0u2)=(x1x2),
що дає наступне відношення між точками на стабільному підпросторі вu1−u2 координатах до точокx1−x2 координат:
u2=x1,
(1−√2)u2=x2,
або
(1−√2)x1=x2.
Це рівняння для стійкого підпростору вx1−x2 координатах, яке ми проілюструємо на рис.5.5.

На рис. 5.6 ми проілюструємо як стабільний, так і нестабільний підпростори у вихідних координатах.

Тепер ми хочемо обговорити деякі загальні результати з цих трьох прикладів.
Для всіх трьох прикладів дійсні частини власних значень A були ненульовими, а стабільність походження визначалася знаком дійсних частин власних значень, наприклад, наприклад 10 походження було нестабільним (дійсні частини власних значень А були позитивними), наприклад 11 походження було стабільним ( дійсні частини власних значень A були від'ємними), а наприклад 12 походження було нестабільним (A мав одне додатне власне значення та одне від'ємне власне значення). Це, як правило, вірно для всіх лінійних автономних векторних полів. Ми констатуємо це більш формально.
Розглянемо лінійне, автономне векторне поле наRn:
˙y=Ay,y(0)=y0,y∈Rn.
Тоді якщо А не має власних значень, що мають нульові дійсні частини, стійкість початку визначається дійсними частинами власних значень А. Якщо всі дійсні частини власних значень строго менше нуля, то походження асимптотично стійке. Якщо хоча б одне з власних значень А має дійсну частину строго більше нуля, то походження нестабільне.
Існує термін, застосований до цієї термінології, який пронизує всю теорію динамічних систем.
ВИЗНАЧЕННЯ 20: ГІПЕРБОЛІЧНА ТОЧКА РІВНОВАГИ
Походження рівняння\ ref {5.51} вважається, якщо жодна з дійсних частин власних значень A не має нульових дійсних частин.
Звідси випливає, що гіперболічні рівноваги лінійних, автономних векторних полів наRn можуть бути або потоками, або джерелами, або сідлами. Ключовим моментом є те, що власні значення A мають ненульові дійсні частини.
Якщо обмежитися двома вимірами, то можна скласти (короткий) список всіх різних канонічних форм для А. ці дані наступними шістьма2×2 матрицями.
Перша - діагональна матриця з дійсними, ненульовими власними значеннямиλ,μ≠0, тобто початком є гіперболічна фіксована точка:
(λ00μ)
У цьому випадку orgin може бути потоком, якщо обидва власні значення від'ємні, джерелом, якщо обидва власні значення є додатними, і сідлом, якщо власні значення мають протилежний знак.
Наступна ситуація відповідає комплексним власнимзначенням, при цьому дійсна частинаα, і уявна частинаβ, причому обидва є ненульовими. При цьому точка рівноваги гіперболічна, іα потоком дляα<0, і джерелом дляα>0. Ознакаβ не впливає на стабільність:
(αββ−α)
Далі ми розглянемо випадок, коли власні значення є дійсними, однаковими і ненульовими, але матриця є недіагональной, тобто два власні вектори знайти неможливо. У цьому випадку походження є гіперболічним дляλ≠0, і є раковиною дляλ<0 і джерелом дляλ>0:
(λ10λ)
Далі ми розглянемо деякі випадки, що відповідають походженню, що є негіперболічним, які можна було б включити в обговорення попередніх випадків, але більш повчально чітко вказати на ці випадки окремо.
Спочатку розглянемо випадок, коли A є діагональним з одним ненульовим дійсним власним значенням і одним нульовим власним значенням:
(λ000)
Розглянемо випадок, коли дві власнізначення є чисто уявними,±i√b. У цьому випадку походження - ref! Помилка в якості центру.
(0β−β0)
Для повноти розглянемо випадок, коли обидва власні значення дорівнюють нулю, а A - діагоналі.
(0000)
Нарешті, ми хочемо розширити дискусію, пов'язану з геометричними аспектами Прикладу 12. Нагадаємо, що для цього прикладу проміжок власне вектора, що відповідає власному значенню з від'ємною дійсною частиною, був інваріантним підпростором, іменованим стабільним підпростором. Траєкторії з початковими умовами в стабільному підпросторі занепали до нуля з експоненціальною швидкістю якt→+∞. Стабільний інваріантний підпростір позначалиEs. Аналогічно, проліт власне вектора, що відповідає власному значенню з додатною дійсною частиною, був інваріантним підпростором, іменованим нестабільним підпростором. Траєкторії з початковими умовами в нестабільному підпросторі занепали до нуля з експоненціальною швидкістю якt→−∞. Нестійкий інваріантний підпростір позначалиEu.
Ми можемо легко побачити, що Equation\ ref {5.52} має таку поведінку, колиλ іμ мають протилежні ознаки. Якщоλ іμ обидва негативні, то проміжок власних векторів, відповідних цим двом власним значеннямR2, є, а весь фазовий простір є стабільним підпростором. Аналогічно, якщоλ і обидваμ позитивні, то проміжок власних векторів, відповідних цим двом власним значеннямR2, є, а весь фазовий простір є нестабільним підпростором.
Аналогічний випадок Equation\ ref {5.53}. Для цього випадку не існує пари дійсних власних векторів, що відповідають кожному з комплексних власних значень. Вектори, що перетворюють вихідну матрицю в цю канонічну форму, називаються узагальненими власними векторами. Якщоα<0 проліт узагальнених власних векторів єR2, то весь фазовий простір є стійким підпростором. Аналогічно, якщоα>0 проліт узагальнених власнихвекторів єR2, а весь фазовий простір є нестабільним підпростором. Аналогічна ситуація і для (5.54). Дляλ<0 всього фазового простору є стійким підпростором, дляλ>0 всього фазового простору - нестійким підпростором.
Справа в рівнянні\ ref {5.55} відрізняється. Проліт власне вектора,λ що відповідає, є стабільним підпростором дляλ<0, а нестабільний підпростір дляλ>0 Простір власних векторів, що відповідає нульовому власному значенню, називають центральним підпростором.
Для випадку (5.56) не існує двох дійсних власних векторів, що ведуть до отриманої канонічної форми. Швидше, існує два узагальнені власні вектори, пов'язані з цією парою складних власних значень, що мають нульову дійсну частину. Проліт цих двох власних векторів є двовимірним центральним підпростором, відповіднимR2. Точка рівноваги з чисто уявними власнимизначеннями іменується центром.
Нарешті, випадок у Equation\ ref {5.57} включений для повноти. Це нульове векторне поле, деR2 знаходиться центр підпростору.
Ми можемо охарактеризувати стабільність походження за термінами стійкого, нестабільного та центрального підпросторів. Походження асимптотично стабільне якщоEu=∅ іEc=∅ .Походження нестабільне, якщоEu≠∅.