3: Поведінка поблизу траєкторій та інваріантних множин - стабільність
- Page ID
- 61185
Розглянемо загальне неавтономне векторне поле в n розмірах:
\[\dot{x} = f(x, t), x \in \mathbb{R}^n, \label{3.1}\]
і нехай\(\bar{x}(t, t_{0}, x_{0})\) буде розв'язком цього векторного поля.
Багато питань в ОД стосуються розуміння поведінки сусідніх рішень поблизу заданого, обраного рішення. Ми розробимо загальну основу розгляду таких питань шляхом перетворення Equation\ ref {3.1} в форму, яка дозволяє нам чітко розглядати ці питання.
Розглянуто наступне (залежне від часу) перетворення змінних:
\[x = y+\bar{x}(t, t_{0}, x_{0}). \label{3.2}\]
Ми хочемо висловити Equation\ ref {3.1} через змінні y. Важливо розуміти, що це буде означати з точки зору Equation\ ref {3.2}. Для y small це означає, що х знаходиться поблизу рішення, що цікавить,\(\bar{x}(t, t_{0}, x_{0})\). Іншими словами, вираження векторного поля через y надасть нам явну форму векторного поля для вивчення поведінки поблизу\(\bar{x}(t, t_{0}, x_{0})\). З цією метою ми починаємо з перетворення Equation\ ref {3.1} за допомогою Equation\ ref {3.2} наступним чином:
\[\dot{x} = \dot{y}+ \dot{\bar{x}} = f(x, t) = f(y+\bar{x}, t), \label{3.3}\]
або
\(\dot{y} = f(y+\bar{x}, t)-\dot{\bar{x}}\),
\[= f(y+\bar{x}, t)-f(\bar{x}, t) \equiv g(y, t), g(0, t) = 0. \label{3.4}\]
Отже, ми показали, що розв'язки рівняння\ ref {3.1} поблизу\(\bar{x}(t, t_{0}, x_{0})\) еквівалентні розв'язкам рівняння\ ref {3.4} поблизу y = 0.
Перше питання, яке ми хочемо задати, пов'язане з поведінкою поруч,\(\bar{x}(t, t_{0}, x_{0})\) - чи є це рішення стабільним? Однак спочатку потрібно математично визначити, що мається на увазі під цим терміном «стабільний». Тепер ми повинні знати, що без втрати спільності ми можемо обговорити це питання в терміні нульового розв'язку Рівняння\ ref {3.4}.
Почнемо з визначення поняття «стабільність Ляпунова» (або просто «стабільність»).
Визначення 13 (СТАБІЛЬНІСТЬ ЛЯПУНОВА)
y = 0 кажуть, що Ляпунов стабільний при\(t_{0}\) якщо дано\(\epsilon > 0\) існує\(\delta = \delta (t_{0}, \epsilon)\) таке, що
\[|y(t_{0})|<\delta \Rightarrow |y(t)|<\epsilon, \forall t>t_{0} \label{3.5}\]
Якщо розчин Ляпунов не стабільний, то він, як кажуть, нестабільний.
Визначення 14 (НЕСТАБІЛЬНИЙ)
Якщо y = 0 не є стабільним Ляпунов, то він, як кажуть, нестабільний.
Тоді ми маємо поняття асимптотичної стійкості.
Визначення 15 (АСИМПТОТИЧНА СТАБІЛЬНІСТЬ)
y = 0, як кажуть, є асимптотично стабільним при\(t_{0}\) якщо:
- це Ляпунова стайня при\(t_{0}\),
- існує\(\delta = \delta(t_{0}) > 0\) таке, що:
\[|y(t_{0})| < \delta \Rightarrow lim_{t \rightarrow \infty} |y(t)| = 0 \label{3.6}\]
У нас є кілька коментарів щодо цих визначень.
- Грубо кажучи, стабільне рішення Ляпунова означає, що якщо ви почнете близько до цього рішення, ви залишитеся поруч - назавжди. Асимптотична стабільність не тільки означає, що ви починаєте близько і залишаєтеся поруч назавжди, але й те, що ви насправді «ближче і ближче» до рішення.
- Стабільність - поняття нескінченного часу.
- Якщо ОДА автономна, то величина\(\delta = \delta(t_{0}, \epsilon)\) може бути обрана незалежною від\(t_{0}\).
- Визначення стабільності не говорять нам, як довести, що рішення є стабільним (або нестабільним). Ми вивчимо дві методики аналізу цього питання — лінеаризацію та метод Ляпунова (другий).
- Чому стабільність Ляпунова включена в визначення асимптотичної стійкості? Тому що можна побудувати приклади, де сусідні рішення стають все ближче і ближче до даного рішення\(t \rightarrow \infty\), як, але в процесі є проміжні проміжки часу, коли сусідні рішення роблять «великі екскурсії» від даного рішення.
«Стабільність» - це поняття, яке застосовується до «сусідства» траєкторії. На цьому етапі ми хочемо формалізувати різні поняття, пов'язані з відстанню та околицями у фазовому просторі. Для простоти вираження цих ідей ми візьмемо як наш фазовий простір Rn. Точки в цьому фазовому просторі позначаються\(x \in \mathbb{R}^n\),\(x \equiv (x_{1}, ..., x_{n})\). Норма, або довжина, х, позначається |x| визначається як:
\[|x| = \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+ \cdots + x_{n}^{2}} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}.\]
Відстань між двома точками в\(x, y \in \mathbb{R}^n\) визначається як:
\[ d(x,y) \equiv |x-y| = \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2 + \cdots + (x_{n}-y_{n})^2} \]
\[= \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \sqrt{(x_{i}-y_{i})^2}. \label{3.7}\]
Відстань між точками в\(\mathbb{R}^n\) має бути дещо звичним, але тепер ми вводимо нове поняття, відстань між точкою і множиною. Розглянемо набір М\(M \subset \mathbb{R}^n\), нехай\(p \in \mathbb{R}^n\). Тоді відстань від p до M визначається наступним чином:
\[dist(p, M) \equiv inf_{x \in M}|p-x|. \label{3.8}\]
Зауважимо, що з Визначення випливає\(p \in M\), що якщо, то діст (р, М) = 0.
Раніше ми визначили поняття інваріантної множини. Грубо кажучи, інваріантні множини складаються з траєкторій. Тепер у нас є фон для обговорення поняття. Нагадаємо, що поняття інваріантної множини розроблялося лише для автономних векторних полів. Отже, розглянемо автономне векторне поле:
\[\dot{x} = f(x), x \in \mathbb{R}^n, \label{3.9}\]
і позначити потік, що генерується цим векторним полем по\(\phi_{t}(\cdot)\). Нехай M є замкнутим інваріантним множиною (у багатьох додатках ми також можемо вимагати обмеженого M) і нехай U M позначає околицю M.
Визначення стійкості Ляпунова інваріантної множини полягає в наступному.
ВИЗНАЧЕННЯ 16 (СТАБІЛЬНІСТЬ ЛЯПУНОВА М)
М кажуть, що Ляпунова стабільна, якщо для будь-якого сусідства\(U \supset M, x \in U \Rightarrow \phi_{t}(x) \in U, \forall t > 0\).
Аналогічно, ми маємо наступне визначення асимптотичної стійкості інваріантної множини.
ВИЗНАЧЕННЯ 17 (АСИМПТОТИЧНА СТІЙКІСТЬ M)
Кажуть, що М є асимптотично стабільним, якщо
- це Ляпунова стайня,
- існує\(U \supset M\) таке сусідство, що\(\forall x \in U, dist((\phi_{t}x), M) \rightarrow 0\) як\(t \rightarrow \infty\).
У динамічному системному підході до звичайних диференціальних рівнянь зазвичай використовується деяка альтернативна термінологія.
ВИЗНАЧЕННЯ 18 (ЗАЛУЧЕННЯ НАБОРУ)
Якщо М є асимптотично стабільним, це, як кажуть, є привабливим набором.
Значення залучення множин полягає в тому, що вони є «спостережуваними» регіонами у фазовому просторі, оскільки вони є регіонами, до яких траєкторії розвиваються у часі. Набір точок, які еволюціонують до певного набору залучення, називається басейном тяжіння для цього інваріантного набору.
ВИЗНАЧЕННЯ 19 (БАСЕЙН ТЯЖІННЯ)
Нехай\(B \subset \mathbb{R}^n\) позначають множину всіх точок,\(x \in B \subset \mathbb{R}^n\) таких, що
\(dist(\phi_{t}(x), M) \rightarrow 0\)як\(t \rightarrow \infty\)
Тоді виклик Б називається басейном тяжіння М.
Зараз ми розглянемо приклад, який дозволяє нам явно досліджувати ці ідеї.
Приклад\(\PageIndex{9}\)
Розглянемо наступні автономні векторні поля на площині:
\(\dot{x} = x\),
\[\dot{y} = y^{2}(1-y^2) \equiv f(y), (x, y) \in \mathbb{R}^2. \label{3.10}\]
По-перше, корисно відзначити, що x і y компоненти Equation\ ref {3.10} є незалежними. Отже, це може здатися банальним прикладом. Однак ми побачимо, що такі приклади дають багато розуміння, тим більше, що вони дозволяють прості обчислення багатьох математичних ідей.
На рис. 3.1 ми проілюструємо перебіг x і y складових рівняння\ ref {3.10} окремо.
Двовимірне векторне поле Equation\ ref {3.10} має точки рівноваги за адресою: (x, y) = (0, 0), (0, 1),\((0, -1)\).
У цьому прикладі легко визначити три інваріантні горизонтальні лінії (приклади інваріантних множин). Оскільки y = 0 означає\(\dot{y} = 0\), що це означає, що вісь x є інваріантною. Оскільки y = 1 означає\(\dot{y} = 0\), що, це означає, що рядок y = 1 є інваріантною. Так як\(y = -1\) має на увазі те\(\dot{y} = 0\), що має на увазі,\(y = -1\) що лінія інваріантна. Це проілюстровано на рис. 3.2. Нижче ми наводимо деякі додаткові інваріантні набори для (3.10). Повчально розуміти, чому вони інваріантні, і чи є інші інваріантні множини чи ні.
Додаткові інваріантні набори для (3.10).
{(x, y) |\(-\infty < x < 0, -\infty < y < 1\)},
{(x, y) |\(0 < x < \infty, -\infty < y < 1\)},
{(x, y) |\(-\infty < x < 0, 1 < y < 0\)},
{(x, y) |\(0 < x < \infty, 1 < y < 0\)},
{(x, y) |\(-\infty < x < 0, 0 < y < 1\)},
{(x, y) |\(0 < x < \infty, 0 < y < 1\)},
{(x, y) |\(-\infty < x < 0, 1 < y < \infty\)},
{(x, y) |\(0 < x < \infty, 1 < y < \infty\)}.