13.4: Приклади
Одинарна щілина
Припустимо,\ [f (x, y) =\ left\ {\ begin {масив} {l}
1\ текст {для} -а\ leq x\ leq a\\
0\ текст {для} |x|>a
\ end {масив}\ справа.\]
незалежний відy. Це дійсно двовимірна проблема, тому що ми можемо зберегтиky=0 і ігнорувати її (за винятком фактора2π, про який ми не будемо турбуватися), відкинувшиky інтеграл з (13.19). (13.24)C(kx,ky)=14π2∫dxdyf(x,y)e−i(kxx+kyy)
стає (з2π поправкою зробити його одновимірним) 7\ [\ begin {зібрано}
C\ ліворуч (k_ {x}\ праворуч) =\ frac {1} {2\ pi}\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} d x f (x) e^ {-i k_ {x} x}\
=\ frac {1} {2\ pi}\ int_ -a} ^ {a} д х e^ {-i k_ {x} x} =\ ліворуч. \ frac {1} {-2 i\ пі k_ {x}} e^ {-i k_ {x} x}\ право|_ {-a} ^ {a} =\ frac {\ sin k_ {x} a} {\ pi k_ {x}}.
\ end {зібраний}\]
Таким чином, ми очікуємо, що інтенсивність хвилі вz цілому пропорційна|C(kx)|2,I(x,y)∝sin2(kxa)k2x
деxr=kxk=kxω/v
абоkx=ωvxr.
Таким чином, якщо виміряти інтенсивність дифрагованого променя, відстаньr від отвору, інтенсивність йде наступним чином: 8I(x,y)∝sin2(2πax/rλ)x2
деλ - довжина хвилі світла. СюжетI як функціїx показаний на рис13.5. Це називається дифракційною схемою. У важливому випадку світла, що проходить через невелику діафрагму, дифракційну картину можна легко спостерігати, проектуючи дифрагований промінь на екран. Особливостями цього візерунка варто відзначити великий максимум приx=0, з подвоєною шириною всіх інших максимумів, і періодичні нулі дляx=nrλ/2a. Зверніть увагу також, що зіa зменшенням ширини щілини розмір дифракційного малюнка збільшується.
Мораль: Це зворотне співвідношення між розміром щілини та розміром дифракційного малюнка є ще однією ілюстрацією загальної особливості перетворень Фур'є, розглянутих у главі 10.
Дифракція ближнього поля
Ми зупинимося тут, щоб обговорити область для проміжногоz, дифракції Френеля, де проблема дифракції є складною. Все, що ми можемо зробити, це оцінити інтеграл (13.19), чисельно, за допомогою комп'ютера, і знайти інтенсивність приблизно при різних значенняхz. Наприклад, припустимо, що ми беремоωc=2πλ=100a,
Малюнок13.5: Інтенсивність дифракційної картини як функціяx.
що відповідає досить невеликій щілині, шириною всього в100/π≈32 рази перевищує довжину хвилі. Потім ми будемо використовувати (13.19) для обчислення інтенсивності хвилі при різних значенняхz, в одиницяхa. Дляz малих результат показаний на малюнку13.6. Ви можете бачити, що основна форма променя зберігається деякий час, як ми очікували від (13.28). Однак коливання розвиваються відразу. Досить велика дифракція віглі обумовлена гострими краями. Нижче ми наведемо ще один приклад, в якому дифракція набагато м'якше. Для проміжнихz, показаних на малюнку13.7, коливання починають зливатися і різко змінюють загальну форму балки. При цьому пучок починає розтікатися.
Малюнок13.6: Інтенсивність хвилі, що проходить через щілину, для малихz.
Нарешті, на малюнку13.8 ми показуємо підхід до великихz областей, де дифракція бере на себе повністю і з'являється дифракційна картина далекого поля (13,54).
Малюнок13.7: Інтенсивність хвилі, що проходить через щілину, для проміжнихz.
Малюнок13.8: Інтенсивність хвилі, що проходить через щілину, так самоz стає великою.
Ще один приклад може бути цікавим. Припустимо, що замість того, щоб бути простим отвором в непрозорому екрані, отвір затінено таким чином, що хвилеве порушення приz=0 має виглядf(x,y)=e−|x|/a.
Перетворення Фур'є тут було зроблено в главі 10 в (10.49) - (10.56). Підставляючиω→kx іΓ→1/a в (10.56) даєC(kx)=1πa1+a2k2x.
Це визначає розподіл інтенсивності в ціломуz. Однак, на відміну від попереднього прикладу, цей малюнок дає дуже ніжну дифракцію. Дляz малих малюнок інтенсивності показаний на малюнку13.9. Різка точка в (13,56) зникає, але в іншому випадку зміна відбувається дуже поступово, оскільки початковий візерунок дуже плавний, за виняткомx=0. Для проміжних і великихz, схеми інтенсивності показані на малюнку13.10 і малюнку13.11.
Малюнок13.9: Розподіл інтенсивності від (13,56) для малихz.
Малюнок13.10: Розподіл інтенсивності від (13,56) для проміжнихz.
Малюнок13.11: Розподіл інтенсивності від (13,56) для великихz.
Прямокутник
Припустимо,\ [f (x, y) -\ left\ {\ begin {масив} {l}
1\ текст {для} -a_ {x}\ leq x\ leq a_ {x}\ текст {і} -a_ {y}\ leq y\ leq a_ {y},\\
0\ текст {інакше}.
\ end {масив}\ право.\]
Це виріб єдиного розрізу візерунка вx з єдиним розрізом візерунком вy. Перетворення Фур'є є добутком одновимірних перетворень Фур'є\ [\ begin {вирівняний}
C\ лівий (k_ {x}, k_ {y}\ правий) =&\ frac {1} {4\ pi^ {2}}\ int_ {-a_ {x}} ^ {a_ {x}} d x e^ {-i k_ {x}} -a_ {y}} ^ {a_ {y}} d y e^ {-i k_ {y} y}\
&=\ frac {\ sin\ ліворуч (k_ {x} a_ {x}\ праворуч)} {\ pi k_ {x}}\ frac {\ sin\ ліворуч (k_ {y} a_ {y}\ праворуч)} {\ pi k_ {y}}
\ кінець {вирівняний}\]
Таким чином, інтенсивність виглядає приблизно так:I(x,y)∝sin2(2πaxx/rλ)x2sin2(2πayy/rλ)y2.
Звичайно, ще раз, через загальні властивості перетворення Фур'є, якщо прямокутник вузькийx, дифракційний малюнок розкидається вkx, і аналогічно дляy.
δ«Функції»
Коли щілина в (13,49) стає вужчою, дифракційна картина поширюється. Звичайно, інтенсивність також зменшується. Інтенсивність приkx=0 пов'язана з перетворенням Фур'єf на нуль, яке є лише інтеграломf над усімx. У міру того, як щілина звужується, цей інтеграл зменшується. Але припустимо, що ми збільшуємо інтенсивність вхідного пучка, якa зменшується, щоб зберегти інтенсивність максимуму дифракційної картини фіксованою. Ігноруючиy залежність, ми вимагаємо\ [f_ {a} (x) =\ left\ {\ begin {масив} {l}
\ frac {1} {2 a}\ text {для} -a\ leq x\ leq a,\\
0\ текст {для} |x|>a.
\ end {масив}\ право.\]
Межаfa as насправдіa→0 не існує як функція. Вона дорівнює нулю скрізь, крімx=0. Але це йде∞ дуже швидко наx=0, так щоlim
Надзвичайно зручно винаходити об'єкт з цими властивостями, званий «\delta-функцією». Тобто\delta(x) має властивість, що вона дорівнює нулю крім приx = 0, і що\int d x \delta(x)=1.
Насправді цей об'єкт має своєрідний математичний сенс, до тих пір, поки ви його не квадратизуєте. \delta-функціями можна маніпулювати, як звичайні функції, додаються разом, множаться на константи або гладкі\delta функції - -функції різних змінних можна навіть помножити - просто не квадрат їх! Наприклад, дельта-функцію можна помножити на звичайну неперервну функцію:f(x) \delta(x)=f(0) \delta(x)
де рівність випливає, тому що дельта-функція зникаєx = 0, крім at, так що значення значенняf при 0 має значення.
Тепер з (13.63) і (13.64) повинно бути зрозуміло, що перетворення Фур'є\delta(x) є лише константою:C(k)=\frac{1}{2 \pi} \int d x e^{-i k x} \delta(x)=\frac{1}{2 \pi}.
Дифракційна картина для цієї речі, таким чином, дуже нудна. Відбувається рівномірне освітлення під усіма кутами.
Звичайно, у фізиці ми не можемо зробити\delta -функції. Однакa, якщо в (13.61) набагато менше, ніж довжина хвилі хвилі, то це може бути також\delta -функція, тому що це має значення тільки для чогоC(k_{x})k_{x}<k=2 \pi / \lambda. Більшіk_{x} відповідають експоненціальним хвилям, які швидко відмираютьz. Але для такихk_{x} продуктуk_{x}a дуже мало, таким чиномC\left(k_{x}\right)=\frac{1}{2 \pi} \frac{\sin k_{\underline{x}} a}{k_{x} a} \rightarrow \frac{1}{2 \pi}\left(1-\frac{\left(k_{\underline{x}} a\right)^{2}}{6}+\cdots\right) \approx \frac{1}{2 \pi}
і ми все ще отримуємо рівномірну дифракцію по всіх кутах.
Мораль:\delta -функції - це просто зручність. Коли фізики говорять про\delta -функції, вони означають (або, принаймні, вони повинні означати) функцію типуf_{a}(x), деa менше будь-якої фізичної відстані, яка важлива в проблемі. Після того, якa стає, що мало, часто легше відстежувати математику, коли ви йдете весь шлях до нефізичної межі,a = 0.
Деякі властивості\delta -функцій
Перетворення Фур'є\delta -функції є комплексною експоненціальною:\text { if } f(x)=\delta(x-a) \text { then } C(k)=\frac{1}{2 \pi} e^{-i k a} \text { . }
Перетворення Фур'є комплексної експоненціальної є\delta -функцією:\text { if } f(x)=e^{-i \ell x} \text { then } C(k)=\delta(k-\ell).
\deltaФункція -може бути досягнута як ліміт різними способами. Наприклад, з (13.68) ми очікуємо, що якa \rightarrow \infty, перетворення Фур'є з (13.49) має наблизитися до\delta -функції:\lim _{a \rightarrow \infty} \frac{\sin k_{x} a}{k_{x}}=\delta\left(k_{x}\right) \text { . }
Вимір від двох
Використовуючи\delta -функції, ми можемо більш елегантно сказати, що мається на увазі під твердженням, яке ми зробили вище, що якщоf(x, y) не залежить відy, проблема є одновимірною. Якщо ми подивимося на межу (13.58) якa_{y} \rightarrow \infty, вона переходить в (13.49). Іншими словами, коли прямокутник нескінченно довгий, це щілина. У цій межі перетворення Фур'є, (13.59) переходить в\frac{\sin \left(k_{x} a_{x}\right)}{\pi k_{x}} \delta\left(k_{y}\right).
Це реальний сенс (13.50). Вона одновимірна в тому сенсі,k_{y} що застрягла на 0. Дифракції вy напрямку немає.
Багато вузьких прорізів
Цікавим застосуванням Δ-функцій є дифракційна картина для декількох вузьких щілин. Ми будемо використовувати це пізніше різними способами. Розглянемо функцію,f(x, y) форми\sum_{j=0}^{n-1} \delta(x-j b)
Малюнок 13.12: Якщоb k_{x} / k=n \lambda, то перешкоди конструктивні.
Малюнок 13.13: Дифракційна картина для трьох вузьких прорізів.
Це описує рядn вузьких прорізів 9 вx = 0x = bx = 2b, і т. Д., аж доx = (n − 1)b. Перетворення Фур'є (13.71) являє собою суму внесків від окремих\delta -функцій,
Малюнок 13.14: Дифракційна картина для 6 вузьких прорізів.
від (13.67) і (13.68)C\left(k_{x}, k_{y}\right)=\delta\left(k_{y}\right) \frac{\perp}{2 \pi} \sum_{j=0}^{n-1} e^{-i j b k_{x}}.
Але сума є геометричним рядом, який можна зробити явно:\ [\ begin {зібрано}
\ sum_ {j=0} ^ {n-1} e^ {-i j b k_ {x}} =\ frac {1-e^ {-i n b k_ {x}}} {1-e^ {-i b k_ {x}}}\\
=\ frac {e^ {-i n б к_ {х}/2}\ ліворуч (e^ {i n b k_ {x}/2} -e^ {-i n b k_ {x}/2}\ праворуч)} {e^ {-i b k_ {x}/2}\ ліворуч (e^ {i b k_ {x}/ 2} -e^ {-i b k_ {x}/2}\ право)} =e^ {-i (n-1) b k_ {x}/2}\ frac {\ sin n b k_ {x}/2} {\ sin b k_ {x}/2}.
\ end {зібраний}\]
Таким чином, інтенсивність дифракційної картини пропорційна\frac{\sin ^{2} n b k_{x} / 2}{\sin ^{2} b k_{x} / 2}.
Дляn = 2, (13.74) просто4 \cos ^{2} \frac{b k_{x}}{2}=2\left(1+\cos b k_{x}\right).
Це проблема, з якої ми почали главу. Колиb k_{x}=2 m \pi для цілого числаm, то хвиля з однієї щілини рухається далі, ніж хвиля від іншоїm \lambda, де\lambda=2 \pi / k довжина хвилі. Таким чином, дляb k_{x}=2 m \pi втручання є конструктивним, як показано на малюнку 13.12.
Для більшихn ми все одно отримуємо конструктивні перешкодиb k_{x}=2 m \pi, але максимуми гостріші, тому що при більшій кількості щілин є більше можливостей для руйнівного втручання під іншими кутами. На рисунку 13.13 та рисунку 13.14 ми будуємо графік (13.74) протиbk_{x} from (−\pi to,3\pi щоб ви могли бачити два повних періоди) дляn = 3 і6. Зверніть увагу на появуn − 2 вторинних максимумів між первинними максимумами інтенсивності. До цих відносин ми повернемося, коли обговоримо дифракційні решітки.
____________________________________
6 Знову ж таки, це спрощено, ігноруючи ускладнення з кордонів так само, як (13.15).
7 Зверніть увагу,\sin k a / k що чітко визначено (= a) atk = 0.
8 Тут ми припускаємо невеликі кути, так що\sin \theta \approx \tan \theta. У нашому обговоренні дифракційних решіток нижче ми побачимо, що відбувається, коли різниця важлива.
9 «Вузький» тут означає вузький порівняно з довжиною хвилі світла — див. Мораль вище.