13.5: Згортка

Існує досить проста теорема, відома як теорема згортки, яка надзвичайно корисна при роботі з перетвореннями Фур'є. Припустимо, що у нас є дві функції,$f_{1}(x)$ і$f_{2}(x)$. Визначте функцію$f_{1} \circ f_{2}$ наступним чином: $$f_{1} \circ f_{2}(x)=\int_{-\infty}^{\infty} d y f_{1}(x-y) f_{2}(y)$$

Цей інтеграл буде добре визначено, якщо$f_{1}(x)$ і$f_{2}(x)$ падають досить швидко на нескінченності (і, звичайно, якщо вони ненульові тільки в кінцевій області$x$). Зверніть увагу, що$f_{1} \circ f_{2}$ є функцією однієї змінної. Він також симетричний під обмін двома функціями, тому що шляхом простої зміни змінних$(y \rightarrow x-y)$ $$f_{1} \circ f_{2}(x)=\int_{-\infty}^{\infty} d y f_{1}(x-y) f_{2}(y)=\int_{-\infty}^{\infty} d y f_{1}(y) f_{2}(x-y)=f_{2} \circ f_{1}(x)$$

Тепер теорема полягає в тому, що перетворення Фур'є згортки в$2\pi$ рази є добутком перетворень Фур'є двох функцій. Доказ є негайним (всі інтеграли виконуються від -$\infty$ до$\infty$):\ [\ begin {вирівняні}
C_ {f_ {1}\ circ f_ {2}} (k) =\ frac {1} {2\ pi}\ int d x e^ {i k x} f_ {1}\ circ f_ {2} (x)\\
= &\ frac {1} {2}}\ int д х e^ {i k x}\ int d y f_ {1} (x-y) f_ {2} (y)
\ кінець {вирівняний}\]

Тепер підставляємо$x \rightarrow y+z$ і записуємо інтеграл над$y$ і$z$,\ [\ begin {зібрано}
=\ frac {1} {2\ пі}\ int d z e^ {i k (y+z)}\ int d y f_ {1} (x-y) f_ {2} (y)\\
=\ frac {1} {2\ pi}\ int d z e^ {i k z} f_ {1} (z)\ int d y e^ {i k y} f_ {2} (y) =2\ пі С_ {f_ {1}}} (k) C_ {f_ {2}} (k).
\ end {зібраний}\]

Двовимірний аналог (13.79) є прямим розширенням. Двовимірна згортка - це $$f_{1} \circ f_{2}(x, y)=\int d x^{\prime} d y^{\prime} f_{1}\left(x-x^{\prime}, y-y^{\prime}\right) f_{2}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$$

$$C_{f_{1} \circ f_{2}}\left(k_{x}, k_{y}\right)=4 \pi^{2} C_{f_{1}}\left(k_{x}, k_{y}\right) C_{f_{2}}\left(k_{x}, k_{y}\right)$$

Повторні візерунки

Теорема згортки може бути використана для розуміння багатьох цікавих ситуацій. Розглянемо наступний дуже повчальний шаблон двох широких прорізів:\ [f (x, y) =\ left\ {\ begin {масив} {l}
1\ текст {для} -a\ leq x\ leq a\\
1\ text {для} -a\ leq x-b\ leq a\\
0\ text {інакше}
\ end {масив}\ право.

для$b > 2a$. Шматок викрійки показаний$13.15$ на малюнку для$b = 3.5a$.

Малюнок$13.15$: Шматок непрозорого бар'єру з двома широкими прорізами.

Це можна розцінювати як згортку двох функцій: $$f=f_{1} \circ f_{2}$$

де\ [f_ {1} (x, y) =\ left\ {\ begin {масив} {l}
1\ текст {для} -а\ leq x\ leq a\\
0\ текст {інакше}
\ end {масив}\ право.\]

і $$f_{2}(x, y)=\delta(x) \delta(y)+\delta(x-b) \delta(y)$$

f2 (х, у) = δ (х) δ (у) + δ (х − б) δ (у). Відповідні перетворення Фур'є: від (13,70) (13,84) (13,85) Cf1 (kx, ky) = sin (kxa) π kx δ (ky) (13,86) та від (13,73) Cf2 (kx, ky) = 1 4π2 cos box 2 eib−kx/2. Тепер застосування теореми згортки дає (13,87) CF1◦ f2 (kx, ky) = cos box 2 e−ibkx/2 sin (kxax) π kx δ (ky). (13,88) 13,6. ПЕРІОДИЧНИЙ f (x, y) 395 Оскільки b > 2a, це описує візерунок, який швидко коливається за шкалою, встановленою 1/b, з амплітудою, яка змінюється залежно від однієї щілини дифракційної картини, що характеризується розміром 1/a. візерунок для однієї широкої щілини (порівняйте (13,5)).

Малюнок$13.16$: Дифракційна картина для двох широких прорізів.